Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп

Название: Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 04:41:48 04 февраля 2010 Похожие работы
Просмотров: 2 Комментариев: 1 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ГРУПП С УСЛОВИЕМ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-33 ____________

Цыганцова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1 Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

2 Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп

3 Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп

Заключение

Литература


Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

--- пустое множество;

--- множество всех , для которых выполняется условие ;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

--- множество всех целых положительных чисел.

--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении , .

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- порядок элемента группы ;

--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- коммутант группы ;

--- --холловская подгруппа группы ;

--- силовская --подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

--- группа всех автоморфизмов группы ;

--- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу называют --нильпотентной, если .

Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.


Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.


1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп

Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- подгруппа группы . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) если -субнормальна в и является подформацией формации , то -субнормальна в .

Доказательство. 1) Из того, что

следует, что . Это значит, что .

2) Так как , то и . Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:

1) если , то в множество всех -субнормальных подгрупп плотно ;

2) если --- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из является плотным в .

Доказательство. 1) Пусть --- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы , из которых первая не максимальна во второй. Тогда и не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Следовательно, -субнормальна в .

2) Пусть --- подгруппа из и --- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа , для которой . Ввиду леммы, -субнормальна в . Лемма доказана.

Если --- -субнормальная подгруппа группы , то

.

Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в при любом . Таким образом, и потому

для каждого . Следовательно, .

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:

1) если --- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо , либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит ;

2) если и , то либо максимальна в , либо -субнормальна в .

Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме ,

.

Так как -субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему:

Докажем 2). Пусть и . Допустим, что не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как -замкнута, то . Поэтому -субнормальна в . Теперь ясно, что -субнормальна в . Лемма доказана.

Пусть --- насыщенная -замкнутая формация, --- группа с нормальной силовской -подгруппой , удовлетворяющая следующим условиям:

1) ;

2) холлова -подгруппа -группы является максимальной в и принадлежит ;

3) любая собственная подгруппа из -субнормальна в .

Тогда является минимальной не -группой.

Доказательство. Из условия прямо следует, что совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда . Так как -замкнута, то . Подгруппа является собственной в и по условию -субнормальна в . По теореме ,

.

Итак, каждая максимальная подгруппа из принадлежит . Лемма доказана.

2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп

В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.

Пусть далее --- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- максимальная подгруппа в ;

2) --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе из .

Доказательство. Пусть --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме --- -группа. Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда содержит некоторую -холлову подгруппу . По нашему предположению, не максимальна в . Тогда по лемме -субнормальна в . Если --- -максимальный простой делитель , то подгруппа нормальна в . Тогда, по теореме ,

.

Противоречие. Пусть --- множество простых делителей порядка группы , больших при упорядочении . По доказанному выше множество не пусто. Тогда . По индукции максимальна в . Противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Предположим, что утверждения леммы не выполняются и в существует -абнормальная максимальная подгруппа , не удовлетворяющая утверждениям леммы. Ввиду леммы и теоремы, , где --- -абнормальная максимальная подгруппа из , --- -группа, . Очевидно, что содержит некоторую -холлову подгруппу из .

1. Предположим, что . Если , то каждая -нормальная максимальная подгруппа группы будет иметь вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как не максимальна в , то, по лемме , -субнормальна в . Тогда по теореме и --- минимальная не -группа. Предположим теперь, что . Если предположить, что , то не максимальна в . Тогда . Если не -максимальный простой делитель порядка группы , то в существует нормальная силовская -подгруппа , . Тогда подгруппа

.

Если -холлова подгруппа из не максимальна в , то применяя лемму и теорему, получаем, что . Пусть максимальна в . Тогда каждая собственная подгруппа из будет не максимальна в и, следовательно, по лемме, -субнормальна в . Если подгруппа , то, по теореме, . максимальна в , так как в противном случае не максимальна в . Применяя лемму и теорему, получаем, что --- минимальная не -группа и -корадикал группы является силовской -подгруппой. Так как по нашему предположению , то порядок группы делится на и, следовательно, . Тогда, по теореме , . Противоречие. Значит, --- -максимальный простой делитель порядка группы . Тогда и каждая собственная подгруппа из не максимальна в . Если -субнормальна в , то по теореме . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что

.

Так как , то

.

Отсюда следует, что и . Очевидно, что . Подгруппа содержится в некоторой -нормальной максимальной подгруппе из .

1.1

Тогда --- -максимальный простой делитель порядка группы и силовская -подгруппа группы нормальна в . Отсюда следует, что . Так как --- -группа, то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . По индукции либо принадлежит формации, либо является минимальной не -группой. Если --- минимальная не -группа, то и . Противоречие. Значит, . Пусть --- -главный фактор из . Но так как , то --- -главный фактор и выполняется изоморфизм . Так как , то --- -центральный -главный фактор. Противоречие.

1.2 ,

Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда в существует -абнормальная максимальная подгруппа . Если не максимальна в , то, по лемме, -субнормальна в . Противоречие. Значит, максимальна в . По условию найдется -субнормальная в подгруппа такая, что

.

Так как , то . Если , то и, следовательно, -субнормальна в . Значит, . Но тогда -субнормальна в . Противоречие.

2. и --- минимальная нормальная подгруппа в . Если каждая максимальная подгруппа из -субнормальна в , то --- минимальная не -группа. Значит, в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Очевидно, что . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Так как не максимальна в , то, по условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как и , то . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . По индукции либо принадлежит , либо является минимальной не -группой.

2.1

Тогда . Если предположить, что является -максимальным простым делителем порядка группы , , то силовская -подгруппа нормальна в и, по теореме,

.

Значит, --- -максимальный простой делитель порядка группы . Это значит, что и . Пусть --- минимальная не -группа. Тогда совпадает с силовской -подгруппой группы и, следовательно, . Получили, что . С другой стороны, -субнормальна в , а значит, и в . Поэтому

.

Противоречие. Значит, . Это значит, что . Из того, что максимальна в , а максимальна в , следует, что --- абелева дополняемая в подгруппа. Так как и , то и . По теореме Гашюца имеет дополнение в . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Из того, что следует, что . Но тогда -субнормальна в . Противоречие.

2.2

Тогда --- силовская -подгруппа группы . Рассмотрим -холлову подгруппу группы , содержащую . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если не максимальна в , то будет -субнормальна в . Потому максимальна в . Ввиду теоремы --- -группа. Если , то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит, --- минимальная нормальная подгруппа в . максимальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то . Но подгруппа будет содержаться в подгруппе группы . Если , то -субнормальна в . Если же , то получаем противоречие с тем, что --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Теорема доказана

3. Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп

В работе Закревской Л.Н. был исследован вопрос о строении группы , в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. При рассмотрении произвольной формации возможен случай, когда . Строение таких групп исследуется в в данном разделе.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации , . Тогда разрешима.

Доказательство. Пусть и --- группа минимального порядка, для которой теорема не верна. Так как , то содержит все силовские -подгруппы, . Следовательно, каждая -субнормальная подгруппа должна содержать все силовские -подгруппы, .

Пусть --- силовская -подгруппа группы и . Тогда если в ней существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Тогда, по доказанному, содержит все силовские -подгруппы, . Противоречие. Значит, в нет вторых максимальных подгрупп и .

Предположим, что . Тогда каждая максимальная подгруппа группы будет -абнормальной в . Пусть некоторая неединичная силовская подгруппа группы . Если предположить, что в существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Отсюда следует, что . Противоречие. Следовательно, --- простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа из имеет простой порядок и, значит, разрешима, что противоречит нашему предположению.

Пусть теперь . Так как, по доказанному, , то . Тогда по индукции --- разрешимая группа. По доказанному, каждая силовская подгруппа фактор-группы имеет простой порядок, и, значит, разрешима. Следовательно, разрешима и сама группа . Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, в которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно, . Тогда --- группа одного из следующих типов:

1) , , ;

2) , , максимальна в , , ;

3) , , .

Доказательство. По лемме, разрешима. Так как , то ясно, что . Положим и рассмотрим холлову -подгруппу группы . Если единичная подгруппа не является максимальной в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . По лемме , и, значит, --- -группа. Получили противоречие. Таким образом, равен либо 1, либо является простым числом.

Рассмотрим теперь холлову -подгруппу группы . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа из . Пусть , . Если 1 не максимальна в , то между 1 и можно вставить -субнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме , является -числом. Понятно, что этот индекс делится на . Получаем противоречие. Значит, равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.

Если , то ясно, что либо типа 1), либо типа 3). Пусть --- простое число. Если --- простое число, то --- группа типа 1). Пусть , где --- простые числа. Предположим, что в существует подгруппа порядка . Так как 1 не максимальна в , то между 1 и существует, по условию, -субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, является -числом. Но этот индекс делится и на . Остается принять, --- максимальная подгруппа группы . Но тогда и --- группа типа 2). Теорема доказана.

Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.

Пусть --- такая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп, что не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть --- любое простое число, не входящее в . Тогда всякая группа порядка , где --- любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка или является группой типа 3) теоремы. Предположим, что и существует такое простое число , что и (в частности, можно взять и ). В сплетении группы порядка с группой порядка возьмем подгруппу Шмидта . Тогда имеет порядок и является группой типа 2) теоремы.


Заключение

В данной работе рассматривались конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- произвольная -замкнутая насыщенная формация. В первом разделе данной главы установлены общие свойства, которые могут быть использованы для изучения строения конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп. Во втором разделе исследуются свойства максимальных подгрупп в конечных группах с плотной системой -субнормальных подгрупп. В частности, установленно, что в -дисперсивной группе с плотной системой -субнормальных подгрупп каждая -абнормальная максимальная подгруппа либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. В третьем разделе данной главы описаны конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случае, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация и .


Литература

1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.

4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.

6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.

7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.

8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.

9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.

10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.

11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.

12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.

13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:50:20 19 марта 2016

Работы, похожие на Курсовая работа: Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151335)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru