Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных

Название: Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 16:41:18 03 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 11 Комментариев: 1 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-31

____________ Бондаренко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Заключение

Литература


Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

--- пустое множество;

--- множество всех , для которых выполняется условие ;

--- множество всех простых чисел;

--- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида ;

--- множество всех целых положительных чисел.

--- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .

Запись означает, что предшествует в упорядочении , .

Пусть --- группа. Тогда:

--- порядок группы ;

--- порядок элемента группы ;

--- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

--- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

--группа --- группа , для которой ;

--группа --- группа , для которой ;

--- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

--- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

--- коммутант группы ;

--- --холловская подгруппа группы ;

--- силовская --подгруппа группы ;

--- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;

--- группа всех автоморфизмов группы ;

--- является подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;

--- является нормальной подгруппой группы ;

--- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

--- индекс подгруппы в группе ;

;

--- централизатор подгруппы в группе ;

--- нормализатор подгруппы в группе ;

--- центр группы ;

--- циклическая группа порядка ;

Если и --- подгруппы группы , то:

--- прямое произведение подгрупп и ;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу называют --нильпотентной, если .

Группу порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого .

Нормальный ряд называется главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех --групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Пусть --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется:

-нормальной, если ;

-абнормальной, если .

Максимальная -цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.

Группа называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп и группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.


Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп из , где не максимальна в , найдется -подгруппа такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что является -нормальной максимальной подгруппой в для любого . Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.


Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

Доказательство. Пусть --- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как неразрешима, то она имеет подгруппу порядка , где --- простое число. По условию, имеет -субнормальную подгруппу такую, что делит . Поэтому в существует максимальная подгруппа, содержащая . Таким образом, .

По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы . Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы . Так как класс всех разрешимых групп и класс всех -нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что . Очевидно, имеет минимальную нормальную подгруппу , содержащуюся в .

1. Рассмотрим случай . Допустим, что неразрешима. Тогда содержит подгруппу порядка , где . Так как 1 не максимальна в , то в существует -субнормальная подгруппа такая, что . По лемме, есть -число. Мы получаем, что и , т.е. оказывается -нильпотентной -группой. Противоречие. Следовательно, разрешима.

Ввиду леммы , лемма верна для . Значит, либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой. Так как , то мы видим, что лемма верна и для .

2. Теперь рассмотрим случай . Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы . Следовательно, каждая собственная подгруппа группы либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

2.1. Предположим, что содержит разрешимую -нормальную максимальную подгруппу. Тогда разрешима, а --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Из следует, что является -группой для некоторого простого .

Предположим, что и . Так как неразрешима, то имеет подгруппу порядка , где . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как --- -группа, а по лемме, индекс является -числом, то мы получаем, что --- -нильпотентная -группа. Противоречие.

Случай и невозможен, так как --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Поэтому остается рассмотреть случай . Но тогда является -разрешимой -группой. Так как неразрешима, то в холловой -подгруппе из найдется нециклическая силовская подгруппа . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Обозначим через формацию всех -нильпотентных групп. По лемме, -субнормальна в . Теперь по теореме, мы имеем . Следовательно, , а значит, централизует . Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из централизует . Так как не принадлежит , то не централизует . Итак, в имеется циклическая силовская подгруппа , которая не централизует . Ввиду теоремы, не максимальна в . Теперь, применяя к те же рассуждения, что и для , получаем, что централизует . Пришли к противоречию.

2.2. Итак, пусть теперь каждая -нормальная максимальная подгруппа группы является -нильпотентной -группой. Тогда оказывается -группой, а ее -корадикал -нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что имеет -абнормальную максимальную подгруппу , которая не является -нильпотентной. По предположению, разрешима. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, является -группой для некоторого простого числа . Если , то -нильпотентна, противоречие. Таким образом, , т.е. есть -группа. Выберем в подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: 1) --- степень простого числа; 2) не является -группой; 3) не максимальна в . По условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . По теореме , , а потому мы имеем . Так как не -нильпотентна, то мы получаем, что не является -группой. Мы видим, что в существует силовская -подгруппа такая, что максимальна в , и . Если нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы и , которые, как мы доказали, централизуют . Отсюда следует, что и централизует , что невозможно. Следовательно, --- циклическая максимальная подгруппа в . Группа у нас -разрешима. Будем считать, что содержится в холловой -подгруппе группы . Если максимальна в , то учитывая, что циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа разрешима. Но тогда и разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как , мы получаем, что -субнормальна в . По теореме , . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Предположим, что , --- -группа, не -нильпотентна, а все ее -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа из совпадает с и является ее минимальной нормальной подгруппой;

3) , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , имеющая индекс в , а подгруппа является циклической, причем .

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа из . Тогда, по условию, некоторая холлова -подгруппа входит в и нормализует ее силовскую -подгруппу . Так как --- -группа, то . А так как и -нильпотентна, то из вытекает, что . Рассмотрим два случая: и .

1. . По лемме, либо максимальна в , либо -субнормальна в . Пусть вначале -субнормальна в . Тогда, по теореме, . Так как , то получается, что --- силовская -подгруппа из , нормализующая . Это противоречит тому, что не -нильпотентна. Пусть теперь максимальна в . Тогда . Значит, либо совпадает с силовской -подгруппой , либо .

1.1. . Допустим, что в имеется ненильпотентная -нормальная максимальная подгруппа . Будем считать, что ее холлова -подгруппа содержится в . Так как не максимальна в и , то, по лемме, -субнормальна в , а значит, и в . Теперь по теореме, , а значит, нильпотентна. Итак, --- группа Шмидта. Но тогда нормальна в , а значит, ввиду теоремы, не может быть абелевой. Таким образом, . Так как , то . Итак, --- группа типа 1).

1.2. не является силовской -подгруппой в . Тогда и Таким образом, является минимальной нормальной подгруппой в . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа нормальна в и не -нильпотентна. Подгруппа содержится в и характеристична в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то --- силовская -подгруппа из . Пусть --- такая строго содержащая подгруппа из , что максимальна в . Из равенства следует, что не является -нильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в , а значит, и в . Теперь по лемме, --- минимальная не -группа, т.е. --- группа Шмидта. Таким образом, --- циклическая -группа, . Так как , то . Лемма в этом случае доказана.

2. . Таким образом, --- дополнение к подгруппе , которая является в этом случае силовской подгруппой в и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа из -субнормальна в , то по лемме, является группой Шмидта, т.е. --- группа типа 3).

Предположим, что не является группой Шмидта. Тогда в имеется не -нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа , холлова -подгруппа которой входит в , принадлежит и, ввиду теоремы, не является -субнормальной в (в противном случае, по теореме, подгруппа была бы -нильпотентной). Выберем в такую подгруппу , что и максимальна в . Допустим, что в имеется -субнормальная в подгруппа , не содержащаяся в . Тогда, по теореме, , т.е. . Тогда содержит и , т.е. . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то . Любая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в . Теперь по лемме, примененной к , получаем, что --- минимальная не -группа. Таким образом, --- группа Шмидта. Значит, --- примарная циклическая группа. Так как разрешима и --- минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что --- группа типа 2).

Итак, каждая подгруппа из , -субнормальная в , содержится в . Пусть --- простой делитель индекса . Силовская -подгруппа из не входит в и потому не является -субнормальной в . Поэтому по лемме, максимальна в . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп, и каждая -абнормальная максимальная подгруппа из -нильпотентна. Тогда либо является -нильпотентной -группой, либо группой одного из типов:

1) --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа является минимальной нормальной подгруппой в ;

3) , , где --- минимальная нормальная подгруппа в , , циклическая, .

Доказательство. Пусть не является -нильпотентной -группой. По лемме, разрешима. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Так как , то каждая -абнормальная максимальная подгруппа является -абнормальной, а значит, ввиду условия, и -нильпотентной. По тереме , --- -группа, и теперь мы применяем лемму в случае . Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- не -нильпотентная группа c плотной системой -субнормальных подгрупп и . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо -нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено.

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа группы . По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп в плотно. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, --- -группа. Значит, --- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем обозначает формацию всех -нильпотентных групп. Пусть --- группа типа 1), т.е. --- группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и . Тогда не максимальна в . По условию, в имеется -субнормальная подгруппа такая, что . Кроме того, . Получается, что -субнормальна в , а значит, и в . По теореме, , что невозможно. Итак, либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

1. , . Тогда холлова -подгруппа группы строго содержит некоторую .

Предположим, что --- типа 2). Пусть --- произвольная собственная подгруппа из . Так как не максимальна в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Подгруппа будет -субнормальна в . Поэтому и будет -субнормальна в . По теореме, , т.е. . Таким образом, каждая собственная подгруппа из -нильпотентна, а значит, --- группа Шмидта, в которой --- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.

Итак, ---группа типа 3), т.е. , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , силовская -подгруппа из циклическая и . Если -субнормальна в , то, по теореме, нильпотентна и, значит, , что невозможно. Значит, не -субнормальна в . Если не максимальна в , то, по условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Получается, что --- нормальная подгруппа -субнормальной разрешимой -подгруппы , а потому будет -субнормальной в . Итак, максимальна в , а значит, . Пусть --- силовская -подгруппа из , являющейся дополнением к в , очевидно, . Так как не максимальна в , то для некоторой -субнормальной подгруппы из . Тогда . Так как , то мы видим, что не содержится в . Ввиду леммы , -абнормальные максимальные подгруппы -абнормальных максимальных подгрупп из принадлежат , поэтому, по теореме, имеем . Получается, что . Вспоминая, что --- минимальная нормальная подгруппа в , мы получаем, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает с , либо с . Случай не возможен, так как и не -нильпотентна. Значит, . Рассмотрим -нильпотентную подгруппу . По условию, содержится в некоторой подгруппе из , которая -субнормальна в . Так как , то будет -абнормальна в , а значит, и в . Тогда, по теореме , -нильпотентна, что противоречит тому, что не -нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.

2. . Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для -абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью , утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности: --- либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

Рассмотрим сначала случай, когда типа 2), т.е. , силовская -подгруппа из совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Ясно, что содержит силовскую -подгруппу группы , а нормальна в ; а кроме того, холлова -подгруппа из является холловой -подгруппой в . Подгруппа является -абнормальной максимальной подгруппой в ; кроме того, --- холлова -подгруппа в . Если --- любая -абнормальная максимальная подгруппа из , не сопряженная с , то индекс не делится на . Но тогда --- -абнормальная максимальная подгруппа в с индексом, не делящимся на . По доказанному, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что . Заметим, что . Если --- -замкнутая группа Миллера-Морено, то --- минимальная нормальная подгруппа в и, значит, , что невозможно. Таким образом, в все -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. По теореме, --- -группа. Вспоминая, что , получаем . Допустим, что в имеется максимальная подгруппа такая, что не -нильпотентна. По теореме, не -субнормальна в . Так как не максимальна в , то для некоторой собственной -субнормальной подгруппы из . Значит, . Подгруппа максимальна в и содержится в . Поэтому . Так как и , то является собственной -субнормальной подгруппой в , и поэтому является собственной подгруппой в . Так как не -нильпотентна, то . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . По индукции, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что --- группа Миллера-Морено. Тогда , где максимальна в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Так как и , то , что невозможно, так как --- собственная подгруппа в . Значит, -нильпотентна и, более того, принадлежит . Если не максимальна в , то, по условию, , где -субнормальна в . Но тогда -субнормальна в , что невозможно. Таким образом, максимальна в и, значит, , где . Так как и максимальна в и имеет силовскую -подгруппу порядка , то --- максимальная нормальная подгруппа в , а значит, --- тоже элементарная абелева -группа.

2.1. , . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то . По теореме Машке, , где . Так как , то -главные факторы и центральны. Но тогда и содержатся в . Если , то из вытекает, что , а это противоречит тому, что --- -эксцентральный главный фактор в . Значит, . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа не максимальна в , поэтому , где --- некоторая -субнормальная подгруппа из . Так как , то не может быть -субнормальной в . Поэтому . Из максимальности в выводим, что совпадает либо с , либо с . В обоих случаях . Отсюда и из -субнормальности подгруппы следует, что -субнормальна в , и мы приходим к противоречию.

2.2. , . Так как , то главные факторы и изоморфны, откуда выводим, что содержится в . Но тогда --- неединичная подгруппа из , что невозможно, так как -эксцентральна. Получили противоречие.

2.3. . Так как , то из следует, что , а это противоречит минимальности в . Поэтому остается принять, что . Это означает, что -нильпотентна. Но была выбрана ранее так, что не -нильпотентна. Снова получили противоречие.

Таким образом, в нет максимальных подгрупп таких, что не -нильпотентна. Получается, что --- минимальная не -нильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой , т.е. --- группа Миллера-Морено.

Пусть теперь --- группа типа 3), т.е. , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , не являющаяся силовской в , а силовская -подгруппа из является циклической и . Если -субнормальна в , то -нильпотентна по теореме и, кроме того, дополнение к в тоже -нильпотентно. А это противоречит тому, что не -нильпотентна. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду, что не -субнормальна в .

Если не максимальна в , то по условию, , где -субнормальна в . Так как , то получается, что -субнормальна в , что невозможно. Итак, максимальна в . Пусть --- дополнение к в , а --- дополнение к в силовской -подгруппе из . Тогда , . Подгруппа не максимальна в , но максимальна в , т.е. . Поэтому, по условию, существует -субнормальная подгруппа такая, что . Значит, содержится в максимальной подгруппе группы , содержащей . Равенство показывает теперь, что не содержится в . Подгруппа максимальна в , поскольку ее индекс равен . Так как ---собственная -субнормальная подгруппа в , то не равна , но содержит . Значит, . Но --- собственная -субнормальная подгруппа в , поэтому . Получается, что --- собственная подгруппа из . Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Для лемма верна по индукции, поэтому либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Если -нильпотентна, то из выводим, что и поэтому , что невозможно. Таким образом, --- группа Миллера-Морено, у которой --- силовская -подгруппа. Но тогда ввиду того, что и , мы получаем . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- -группа, не принадлежащая непустой -замкнутой -нильпотентной формации такой, что содержит и не совпадает с множеством всех простых чисел. Скажем, что является:

1) группой типа , если - не -нильпотентная -группа Шмидта с ;

2) группой типа , если , , нециклическая, --- минимальная нормальная подгруппа в , является нильпотентной максимальной подгруппой в , а любая другая максимальная подгруппа из , содержащая , является группой Миллера-Морено;

3) группой типа , если , , , , в имеется нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа, а также -абнормальная максимальная подгруппа, являющаяся группой Миллера--Морено;

4) группой типа , если , , где , , нормальна в , циклическая, --- минимальная нормальная подгруппа в , имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются , и ;

5) группой типа , если , --- минимальная нормальная подгруппа в , является циклической максимальной подгруппой в , --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , и --- группа Фробениуса;

6) группой типа , если , и если , и --- силовская база группы , то нормальна в , нормальна в , одна из подгрупп , нормальна в , максимальна в , имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп в , представителями которых являются: --- группа Миллера-Морено, и ;

7) группой типа , если , , --- группа порядка , не являющаяся группой Фробениуса и имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , --- группа типа , ;

8) группой типа , если , , --- группа Фробениуса порядка , имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , .

Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Будем считать, что и таковы, что , но . Так же, как и в примере, строим группу Шмидта порядка . По теореме Гольфанда, существует группа Шмидта порядка . Очевидно, . Таким образом, группы и --- группы типа .

Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Будем считать, что . Пусть --- неабелева группа порядка . Тогда , где , , . Рассмотрим группу , где . Ясно, что , . Таким образом, --- группа типа .

Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Пусть --- циклическая группа порядка , --- такая подгруппа из , что --- простое число, делящее и входящее в . Пусть . Так как циклическая, то из теоремы вытекает, что и . Отсюда следует, что --- -нормальная нильпотентная максимальная подгруппа, а любая подгруппа порядка является группой Миллера-Морено. Значит, --- группа типа .

Пусть --- нециклическая группа порядка , --- неабелева неприводимая группа автоморфизмов порядка группы , где и --- простые числа из , --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Тогда , где --- группа типа .

Пусть --- группа порядка такая, что имеет силовскую -подгруппу порядка . Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Тогда --- группа типа .

Пусть и --- нечетные простые числа, --- группа простого порядка , --- группа порядка . В существует элемент порядка , который действует нетривиально на и . Циклическую группу порядка превратим в группу операторов группы с помощью гомоморфизма с ядром порядка . Пусть . Очевидно, что и --- группы Миллера-Морено, а --- нильпотентная максимальная подгруппа. Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа --- группа типа .

Пусть , , --- различные простые числа и порядок по модулю равен . Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Пусть --- группа из примера . Допустим, что существует неабелева группа автоморфизмов порядка группы . Тогда --- группа Миллера-Морено. Ясно, что группа --- группа типа . Эта ситуация реализуется, например, в случае , , .

Пусть --- группа простого порядка . Тогда имеет порядок , и можно подобрать так, что в ней найдется подгруппа порядка , где и --- различные простые числа. Рассмотрим группу . Подгруппа будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы и --- максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа --- группа типа .

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- не -нильпотентная -группа, у которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно. Тогда является группой одного из типов для некоторого .

Доказательство. Пусть не -нильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1, разрешима.

1. Допустим, что обладает не -нильпотентной -абнормальной максимальной подгруппой . По лемме, --- бипримарная группа Миллера-Морено, а значит, . Заметим еще, что , где --- минимальная нормальная подгруппа в .

1.1. Рассмотрим вначале случай . Тогда есть степень либо простого , либо . Пусть . Пусть ---силовская -подгруппа из , содержащая . Если не максимальна в , то , где --- некоторая -субнормальная в подгруппа. Тогда -субнормальна в , а значит, и в (напомним, что из следует, что ). Но тогда, по теореме, , противоречие. Значит, и . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как -абнормальна, то, по лемме, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому ясно, что не может быть -замкнутой группой. Таким образом, -нильпотентна. Если , то из и из условия вытекает, что существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то , что противоречит равенству . Итак, мы должны рассмотреть только случай . Подгруппа является циклической и максимальна в . Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа из нормальна в . Пусть ---минимальная нормальная подгруппа в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то --- -группа, не входящая в , а значит, . Так как максимальна и не нормальна в , то . Ясно теперь, что , а значит, нормальна в . Таким образом, получается, что , что противоречит равенству . Итак, теперь надо рассмотреть случай , т.е. --- силовская -подгруппа в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Допустим, что силовская -подгруппа из не равна 1. Так как , то . Тогда -нильпотентна, а значит, силовская -подгруппа из содержится в . Но это противоречит равенству . Итак, . По теореме Бернсайда, -нильпотентна и, значит, --- силовская -подгруппа в . Максимальная подгруппа из не максимальна в , поэтому для некоторой -субнормальной в подгруппы . Так как --- абелева -группа, то . Значит, оказывается -субнормальной в . По теореме, . Мы получаем, что --- группа типа .

1.2. Рассмотрим теперь случай . Тогда ясно, что --- холлова подгруппа в ; будем полагать, что делится на и . Пусть , и --- попарно перестановочные силовские подгруппы из такие, что . Так как и , то . Рассмотрим максимальную подгруппу из , содержащую . Если не максимальна в , то ввиду условия , где --- -субнормальная собственная подгруппа группы , а значит, , что противоречит равенству . Значит, максимальна в и поэтому , где , так как . Понятно, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает либо с , либо с . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как --- группа Миллера-Морено, то холлова -подгруппа из нильпотентна. Таким образом, если , то -нильпотентна и . Если не максимальна в , то существует -субнормальная подгруппа такая. что . Тогда -субнормальна в , где --- формация всех -нильпотентных групп, а -нильпотентна по теореме , т.е. . Следовательно, если не нормальна в , то , максимальна в и . В любом случае, силовская -группа из нормальна в . Пусть --- еще одна максимальная подгруппа индекса . Тогда , так как циклическая. Понятно теперь, что и сопряжены. Итак --- группа типа .

2. Теперь будем полагать, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа группы -нильпотентна. Тогда --- группа одного из типов 1)-3) леммы Если --- группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть --- группа типа 3), т.е. , , где , , , циклическая, а --- минимальная нормальная подгруппа в . Заметим, что -сверхразрешима. Пусть --- максимальная подгруппа группы . Если содержит и не содержит , то . Если содержит и , то . А если содержит , то и . Таким образом, имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются , и . Значит, в этом случае группа --- группа типа . Пусть и --- минимальная нормальная подгруппа в . Рассмотрение этого случая разобьем на две части: и .

2.1. Пусть вначале . Пусть . Очевидно, . Предположим, что имеет максимальную подгруппу , являющуюся -субнормальной в . По теореме , . Очевидно, . Ясно, что любая максимальная подгруппа из , отличная от , не является -субнормальной в . Если циклическая, то --- группа типа . Поэтому считаем, что нециклическая. Пусть --- максимальная подгруппа из , отличная от . Рассмотрим подгруппу , являющуюся -субнормальной в . Так как не -субнормальна, то . Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа из . Так как , то --- степень , т.е. содержится в подгруппе, сопряженной с в . Будем считать, что . Силовская -подгруппа из нормальна в и в , т.е. нормальна в . Но ---минимальная нормальная подгруппа. Поэтому --- -группа, т.е. максимальна в . По лемме , каждая собственная подгруппа из будет -субнормальной в (мы применяем утверждение 2) леммы для случая ). Теперь, по лемме , является минимальной не -группой, откуда следует, что --- группа Миллера-Морено, т.е. --- группа типа . Предположим теперь. что любая максимальная подгруппа из не является -субнормальной в . Пусть --- максимальная подгруппа из , причем . Подгруппа не принадлежит , иначе была бы -субнормальной. Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Если не максимальна в , то строго содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Подгруппа не -нильпотентна, так как в противном случае , что противоречит тому, что не -субнормальна. Итак, , в существует не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа, . Но этот случай уже рассмотрен, т.е. --- группа типа . Таким образом, максимальная подгруппа из нормальна в . Рассмотрим группу , ее порядок равен . Понятно, что если и --- две различные подгруппы из , то , и значит, , так как каждая максимальная подгруппа из не нормальна в . Следовательно, --- группа Фробениуса с циклической подгруппой порядка . Так как , то получается, что циклическая. Так как --- единственная максимальная подгруппа, содержащая , то . Итак, --- группа типа .

2.2. Пусть теперь . По лемме, --- минимальная нормальная подгруппа группы . Если собственная подгруппа из не является максимальной в , то, по условию, существует -субнормальная в -группа , содержащая . По теореме , , а значит, . Итак, каждая собственная не максимальная подгруппа из поэлементно перестановочна с . Так как не -нильпотентна, то ясно, что силовская -подгруппа и силовская -подгруппа из не могут одновременно быть не максимальными в , т.е. либо обе они максимальны в , либо только одна из них максимальна в . Эти два случая мы рассмотрим.

2.2.1. Пусть максимальна в . Тогда, как отмечалось, нильпотентна, а ненильпотентна. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в и, по условию, содержится в некоторой -субнормальной -подгруппе, которая, по теореме , будет поэлементно перестановочна с . Отсюда следует, что --- группа Миллера-Морено. Если нормальна в , то . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Каждая собственная подгруппа из , как отмечалось, поэлементно перестановочна с . Значит, каждая собственная подгруппа из будет -нильпотентна. Но . Поэтому не может быть группой Шмидта. Значит, -нильпотентна и . Значит, . Получается, что каждая максимальная подгруппа из нормальна в , т.е. нильпотентна. Итак, если нормальна в , то --- группа типа .

Пусть теперь не нормальна в . По теореме Бернсайда, -нильпотентна, т.е. . Учитывая, что нильпотентна, получаем, что нормальна в , т.е. оказывается группой типа .

2.2.2. Пусть теперь подгруппы и являются максимальными в . Тогда одна из них нормальна в . Пусть . Тогда . В этом случае , и --- максимальные подгруппы в . Если одна , нильпотентна, то --- группа типа . Предположим, что и не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из поэлементно перестановочна с , а подгруппа ненильпотентна, то является циклической. Но тогда , так как максимальна в сверхразрешимой подгруппе . Рассмотрим подгруппу . Так как , то . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как и , то -корадикал подгруппы является неединичной -группой. Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Мы видим, что --- группа типа .

Возможны два случая: нормальна в и ненормальна в .

Пусть не нормальна в . Если , то --- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой , что противоречит нашему допущению. Пусть , где , . Так как элементарная абелева, то существует такая -подгруппа , что . Мы видим, что --- группа типа , а сама --- группа типа .

Предположим теперь, что нормальна в , т.е. нильпотентна и имеет порядок . Очевидно, что в этом случае является группой Фробениуса с ядром , а --- группа типа , либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Получается, что --- группа типа . В этом случае оказывается группой типа . Теорема доказана.

Таким образом, теоремы дают описание не -нильпотентных групп, у которых множество всех -субнормальных подгрупп плотно, где --- некоторая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп.

В случае, когда --- формация всех -нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Теорема остается новой в случае, когда --- формация всех нильпотентных -групп. В частности, при мы получаем результат В.В.Пылаева.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- формация всех -нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская -подгруппа группы , где --- силовская подгруппа максимальной подгруппы группы , , является элементарной абелевой группой, утверждается, что , что в общем случае не верно.


Заключение

В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случаях, когда --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы и такие, что , не максимальна в , и из всегда следует, что не -субнормальна в .


Литература

1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.

4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.

6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.

7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.

8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.

9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.

10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.

11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.

12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.

13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:50:20 19 марта 2016

Работы, похожие на Курсовая работа: Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150503)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru