Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Диференціальне рівняння

Название: Диференціальне рівняння
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 15:56:04 24 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 7 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

ПЛАН

1. Основи означення.

2. Диференціальні рівняння І порядку.

3. Задача Коші.

4. Теорема існування та єдності розв'язку.

5. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.


І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у( N ) .

Символічно диференціальне рівняння записується так:

(1)

Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0;

Sinу'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, що входять в дане рівняння.

Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

у'''+7у'-3у-0 диференціальне рівняння ІІІ порядку.

Отже розв'язком диференціального рівняння (1) називається інтегральною кривою цього рівняння. Виявляється, що рівняння (1) має безліч розв'язків. Сім'я розв'язків яка залежить від n довільних параметрів називається загальний розв'язком рівняння 1. Процес знаходження розв'язків рівняння (1) називається інтегруванням цього рівняння. Розв'язок рівняння (1) може бути у явному у=у(х) або в неявному – G (х1 у(х)), яка визначає розв'язок у (х) рівняння (1) називається інтегралом цього рівняння.

2. Диференціальним рівнянням першого порядку виду (2)

де у-у(х) – шукана невідома функція, у'у'(х) – її похідна по х,

F – задана функція змінних х, у, у' . Якщо розв'язати рівняння (2) відносно похідної у'´(якщо це можливо), одержуємо (3)

Означення. Рівняння у'-f(х; у) називається рівнянням першого порядку що розв'язується відносно похідної.

Означення. Функція φ (х) є (а; и) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо вона має похідну φ' (х) на (а; в) і якщо для будь-якого х є )а; в) правильна рівність: φ' (х) = f (х; φ (х) ) (тобто функція φ (х) , х є (а; в) називається розв'язком диференціального рівняння (3), якщо рівняння (3) при підстановці її замість у перетвориться в тотожність по х на інтервалі (а; в)).

Аналогічно визначається розв'язок диференціального рівняння (2) функція φ (х) розв'язок рівняння, а крива, що задана рівнянням у - φ (х) , називається інтегральною кривою.

3. Задача знаходження розв'язку рівняння (3), що задовольняє умові де х0 , у0 – задані числа, називається задачею Коші. Умова (4) називаються початковою умовою.

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву рівняння (3), яка проходить через задану точку М00 ; у0 ).

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А00 ; у0 ) області D.

4. Теорема. Нехай маємо рівняння і області D1 в якій функції f (х0 ; у0 ) і визначені і неперервні. Нехай А00 ; у0 ) – довільна точка з області D1 . Тоді існує єдиний розв'язок.

у = φ (х)

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х0 і задовольняє початкову умову φ (х0 ) = у0 .

Приклад 2. Розглянемо рівняння

(5)

Його права частина f (х0 ; у0 ) неперервна при у0, тобто у верхній півплощині, включаючи вісь, Ох (область D'1 ). Функція неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох (область D1 ). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків:

, , , (6)

де С – довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком рівняння (5). Тоді у = (х+с)2 , при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)2 є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

Припустимо, що через кожну точку областіD1 проходить єдина інтегральна крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D1 називається функція у = φ (х, с),

Яка: 1) є розв'язком рівняння (2) при всіх значеннях довільної сталої;

2) дає розв'язок Коші є довільними початковими даними (х0 , у0 ) з області D1 при відповідному значення С=С0 .

Геометрично розв'язок (6) являє собою сім'ю пів парабол в області D1 . Коєжнак інтегральна крива одержується з пів параболи у=х2 , х>0 зсувом вліво та вправо на осі Ох .

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що рівняння (5) має розв'язок у=0, який не можна одержати ні при якому значенні довільної сталої С.

Розв'язок у=0 називається особливим розв'язком рівняння (5)

у

0 х

Частинним розв'язком рівняння (2) називається розв'язок цього рівняння при фіксованому значенні величини С.

Для знаходження частинного розв'язку, який відповідає початковій умові, потрібно підставити х0 і у0 у рівняння (7) і визначити С = С0 з рівняння

У0 =φ (х0 , С) (8)

Шуканий частинний розв'язок матиме вигляд У0 =φ (х, С0 ) . Особливим розв'язком рівняння (2) називається такий його розв'язок, який не може бути одержаним ні при якому значенні С. Отже, виходить, що інтегральна крива, яка відповідає особливому розв'язку, проходить поза областю єдності задачі Коші.

5. Розглянемо деякі задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

Приклад 1. Дослідним шляхом встановлено, що швидкість розмноження бактерій в будь-який момент часу додатня і пропорційна їх масі. Знайти залежність маси бактерій від часу.

Позначимо m (t) масу бактерій в момент часу t; тоді - швидкість розмноження цих бактерій. Згідно умові задачі швидкість розмноження пропорційна масі m (t) бактерій, тому - km (t) (9), де k>0. Рівняння (90 містить шукану функцію m (t) і її похідну, тому є диференціальним рівнянням. Переконаємось, що будь-яка функція виду (10) де С – довільна змінна, є розв'язком рівняння 9.

Дійсно, замінивши в рівнянні (9) mйогозначенням з рівності (10) маємо

Одержали тотожність, отже, дійсно функція (10) є розв'язком рівняння (9). Так як функція m (t) – cekt означає масу бактерій в залежності від часу t, то задача розв’язана в загальному вигляді (10) є загальним розв'язком рівняння (9). При цьому коефіцієнт kзалежить від виду бактерій і від зовнішніх умов.

Якщо ми знаємо значення k і масу то бактерій і деякий момент часу t0 , то за формулою (10) одержимо масу бактерій в будь-який момент часу t. Дійсно, нехай (11)

Тоді, m0 – cekt , c- m0 – ce- kt отже (12)

Функція (11) є розв'язком рівняння (9) і, крім того, задовольняє умові (11).

Умова (11) називається початковою умовою.

Таким чином, рівняння 9 має безліч розв'язків, а завдання початкової умови виділяє єдиний розв'язок з цієї множини.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Яке рівняння називається диференціальним?

2. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням першого порядку?

3. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням другого порядку?

4. Що називається порядком диференціального рівняння?

5. Записати загальний вид диференціального рівняння першого порядку.

6. Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, розв'язання відносно похідної?

7. Що називається розв'язком диференціального рівняння у' =F(х; у)?

8. Що називається інтегральною кривою диференціальне рівняння у' =F(х; у)?

9. Як формується задача Коші для диференціального рівняння у' =F(х; у)?

10. Сформулювати теорему існування та єдності розв'язку.

11. Що називається загальним розв'язком диференціального рівняння у' =F(х; у)?

12. Як із загального розв'язку одержати частинний розв'язок?

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:36:00 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:18:29 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Диференціальне рівняння

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150860)
Комментарии (1841)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru