Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Перестановки

Название: Перестановки
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 20:47:01 29 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 505 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Описываются понятия r-перестановок множества, r-сочетания, перестановки с повторениями.

п.1. r- перестановки.

Определение. r- перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения.

Если (a, ..., a) есть r- перестановка n- элементного множества, то r £ n.

Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r- перестановок n- элементного множества, где n, rÎN. Положим P(n, 0) = 1 для nÎN0.

Теорема 1. Число всех r- перестановок n- элементного множества, где

n, rÎN, вычисляется по формуле

P(n, r) = n= n(n -1)...(n - r + 1). (1)

Доказательство. Первая координата r- перестановки n- элементного множества может быть выбрана n способами, если первая координата выбрана, то вторая координата может быть выбрана n-1 способами, если выбраны первые две координаты, то третья координата может быть выбрана n-2 способами и т.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1 способами. Из теоремы 2, п.3, следует равенство (1).

Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества, |A| = n, |B| = r, где

n, r ÎN. Тогда число всех инъекций f: B ® A равно P(n, r) = n.

Доказательство. Обозначим B={b, ..., b}, инъекция f: B ®A может быть записана в табличной форме

,

где кортеж есть r- перестановка множества A. Поэтому искомое число равно P(n, r).

Определение. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества A называется n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множества A это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу.

Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного множества равно n!.

Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n= n(n-1)...(n-n+1) =

= n!.

Следствие 3. Пусть A и B- конечные множества, |A| = |B| = n, nÎN. Тогда число всех биекций f: B ® A равно n!.

Доказательство. Т.к. |A| = |B|, то каждая биекция f: B ® A является инъекцией и наоборот. По следствию 1, искомое число равно P(n, n) = n!.

п.2. r -элементные подмножества (r - сочетания).

Определение. Пусть A- конечное множество. r- сочетанием множества A называется любое r- элементное подмножество множества A.

Теорема 1. Пусть A есть n- элементное множество, n, rÎN. Справедливы утверждения:

1. Число всех r- сочетаний n- элементного множества равно .

2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного множества равно .

Доказательство. Обозначим K- число всех r- сочетаний n- элементного множества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного множества A определяет r! перестановок множества A, при этом разные подмножества определяют разные перестановки. Поэтому K×r! - число всех r- перестановок множества A, равное n. Отсюда следует, что K = n/ r! = =.

Пример 1. Каждый кортеж N, где , кодируется k-элементным подмножеством множества . Поэтому, при фиксированном k, число всех кортежей N, где , равно .

Пример 2. Перечисление беспорядков степени n. Обозначим U- множество всех перестановок степени n, . Будем считать, что элементами перестановок являются числа . Перестановка степени n называется беспорядком, если для всех .

Существует только один беспорядок степени 2.

Существует только два беспорядка степени 3.

Для обозначим множество всех перестановок степени n таких, что . Число всех беспорядков степени n равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих множеству . Обозначим число всех беспорядков степени n. По формуле включения- исключения

, (1)

где суммирование ведётся по всем кортежам Nтаким, что

. Легко видеть, что для любого кортежа N, где справедливо равенство

.

При фиксированном k число всех кортежей N, где , равно . Из равенства (1) следует, что

.

Поэтому

.

п.3. Перестановки с повторениями.

Определение. Кортеж t = (b, ..., b) называется перестановкой с повторениями состава (n, ..., n) множества {a, ..., a}, если элемент a входит в t n раз, ..., a входит в t n раз, где n, ..., nÎN, .

Обозначение. Обозначим P(n, ..., n) число всех перестановок с повторениями состава (n, ..., n) некоторого k - элементного множества, где n = = n+...+n.

Теорема 1. Для любого (n, ..., n)ÎN

P(n, ..., n) = n!/n!...n! , где n = n+...+n .

Доказательство. Перестановка (b, ..., b) состава (n, ..., n) множества {a, ..., a} кодируется кортежем длины k: на первом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке на которых расположен элемент ; на втором месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент ; ...; на k - ом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке, на которых расположен элемент . Первый элемент кортежа может быть выбран способами; если первый элемент выбран, то второй можно выбрать способами; ...; если первые элементов выбраны, то k- ый элемент может быть выбран способами. По правилу произведения получаем, что число всех перестановок с повторениями состава (n, ..., n) из {a, ..., a} равно

P(n, ..., n) = ...=

=

Обозначение. Для " n, ..., nÎN полиномиальный коэффициент определяется равенствами:

если n +...+ n = n, то ;

если n +...+ n¹ n, то .

Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества такие, что |A| = n, |B| = k, (n, ..., n)ÎN, n +...+ n = n, B = {b, ..., b}. Тогда число всех функций

f:A®B таких, что |f (b)| = n для всех i = 1, ..., k, равно .

Доказательство. Пусть A={a, ..., a}. Запишем функцию f:A®B в табличном виде .

Кортеж (f(a), ..., f(a)) есть перестановка с повторениями состава (n, ..., n) множества {b, ..., b}.

Следствие 2. Пусть U- конечное множество, |U| = n. Тогда число кортежей множеств (A, ..., A) таких, что

|A| = n, ..., |A| = n,

|AÇA| = Æ для всех i ¹ j,

AÈ...ÈA = U, равно.

Доказательство. По теореме 2 п.3 число таких кортежей равно

...= .

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:02:23 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:02:00 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Перестановки

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150043)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru