Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Математическая статистика

Название: Математическая статистика
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 09:20:36 13 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 8706 Комментариев: 2 Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

математическая статистика


1. Генеральная совокупность и выборка

В предыдущем разделе нас интересовала распределение признака в некоторой совокупности элементов. Совокупность, которая объединяет все элементы, имеющая этот признак, называется генеральный. Если признак человеческий (национальность, образование, коэффициент IQ т.п.), то генеральная совокупность — все население земли. Это очень большая совокупность, то есть число элементов в совокупности n велико. Число элементов называется объемом совокупности. Совокупности могут быть конечными и бесконечными. Генеральная совокупность – все люди хотя и очень большая, но, естественно, конечная. Генеральная совокупность – все звезды, наверное, бесконечно.

Если исследователь проводит измерение некоторой непрерывной случайной величины X, то каждый результат измерения можно считать элементом некоторой гипотетической неограниченной генеральной совокупности. В этой генеральной совокупности бесчисленная количество результатов распределены по вероятности под влиянием погрешностей в приборах, невнимательности экспериментатора, случайных помех в самом явлении и др.

Если мы проведем n повторных измерений случайной величины Х, то есть получим n конкретных различных численных значений , то этот результат эксперимента можно считать выборкой объема n из гипотетической генеральной совокупности результатов единичных измерений.

Естественно считать, что действительным значением измеряемой величины является среднее арифметическое от результатов . Эта функция от n результатов измерений называется статистикой, и она сама является случайной величиной, имеющей некоторое распределение называемая выборочным распределением. Определение выборочного распределения той или иной статистики — важнейшая задача статистического анализа. Ясно, что это распределение зависит от объема выборки n и от распределения случайной величины Х гипотетической генеральной совокупности. Выборочное распределение статистики представляет собой распределение Хq в бесконечной совокупности всех возможных выборок объема n из исходной генеральной совокупности.

Можно проводить измерения и дискретной случайной величины.

Пусть измерение случайной величины Х представляет собой бросание правильной однородной треугольной пирамиды, на гранях которой написаны числа 1, 2, 3, 4. Дискретная, случайная величина Х имеет простое равномерное распределение:

Эксперимент можно производить неограниченное число раз. Гипотетической теоретической генеральной совокупностью является бесконечная совокупность, в которой имеются одинаковые доли (по 0.25) четырех разных элементов, обозначенных цифрами 1, 2, 3, 4. Серия из n повторных бросаний пирамиды или одновременное бросание n одинаковых пирамид можно рассматривать как выборку объема n из этой генеральной совокупности. В результате эксперимента имеем n чисел . Можно ввести некоторые функции этих величин , которые называются статистиками, они могут быть связаны с определенными параметрами генерального распределения.

Важнейшими числовыми характеристиками распределений являются вероятности Рi , математическое ожидание М, дисперсия D. Статистиками для вероятностей Рi являются относительные частоты , где ni — частота результата i (i=1,2,3,4) в выборке. Математическому ожиданию М соответствует статистика

,

которая называется выборочным средним. Выборочная дисперсия

,

соответствует генеральной дисперсии D.

Относительная частота любого события (i=1,2,3,4) в сериях из n повторных испытаний (или в выборках объема n из генеральной совокупности) будет иметь биномиальное распределение.

У этого распределения математическое ожидание равно 0.25 (не зависит от n), а среднее квадратическое отклонение равно (быстро убывает с ростом n). Распределение является выборочным распределением статистики, относительная частота любого из четырех возможных результатов единичного бросания пирамиды в n повторных испытаниях. Если бы мы выбрали из бесконечной, генеральной совокупности, в которой четыре разных элемента (i=1,2,3,4) имеют равные доли по 0.25, все возможные выборки объемом n (их число также бесконечно), то получили бы так называемую математическую выборку объема n. В этой выборке каждый из элементов (i=1,2,3,4) распределен по биномиальному закону.

Допустим, мы выполнили бросания этой пирамиды, и число двойка выпало 3 раза (). Мы можем найти вероятность этого результата, используя выборочное распределение. Она равна

.

Наш результат оказался весьма маловероятным; в серии из двадцати четырех кратных бросаний он встречается примерно один раз. В биологии такой результат обычно считается практически невозможным. В этом случае у нас появится сомнение: является пирамида правильной и однородной, справедливо ли при одном бросании равенство , верно ли распределение и, следовательно, выборочное распределение.

Чтобы разрешить сомнение, надо выполнить еще один раз четырехкратное бросание. Если снова появится результат , то вероятность двух результатов с очень мала . Ясно, что мы получили практически совершенно невозможный результат. Поэтому исходное распределение неверное. Очевидно, что, если второй результат окажется еще маловероятней , то имеется еще большее оснований разобраться с этой "правильной" пирамидой. Если же результат повторного эксперимента будет и , тогда можно считать, что пирамида правильная, а первый результат (), тоже верный, но просто маловероятный.

Нам можно было и не заниматься проверкой правильности и однородности пирамиды, а считать априори пирамиду правильной и однородной, и, следовательно, правильным выборочное распределение. Далее следует выяснить, что дает знание выборочного распределения для исследования генеральной совокупности. Но поскольку установление выборочного распределения является основной задачей статистического исследования, подробное описание экспериментов с пирамидой можно считать оправданным.

Будем считать, что выборочное распределение верное. Тогда экспериментальные значения относительной частоты в различных сериях по n бросаний пирамиды будут группироваться около значения 0.25, являющегося центром выборочного распределения и точным значением оцениваемой вероятности. В этом случае говорят, что относительная частота является несмещенной оценкой . Поскольку, выборочная дисперсия стремиться к нулю с ростом n, то экспериментальные значения относительной частоты будут все теснее группироваться около математического ожидания выборочного распределения с ростом объема выборки. Поэтому является состоятельной оценкой вероятности .

Если бы пирамида оказалась направильной и неоднородной, то выборочные распределения для различных (i=1,2,3,4) имели бы отличные математические ожидания (разные ) и дисперсии.

Отметим, что полученные здесь биномиальные выборочные распределения при больших n () хорошо апроксимируются нормальным распределением с параметрами и , что значительно упрощает расчеты.

Продолжим случайный эксперимент — бросание правильной, однородной, треугольной пирамиды. Случайная величина Х, связанная с этим опытом, имеет распределение. Математическое ожидание здесь равно

.

Проведем n бросаний, что эквивалентно случайной выборке объема n из гипотетической, бесконечной, генеральной совокупности, содержащей равные доли (0.25) четырех разных элементов. Получим n выборочных значений случайной величины Х (). Выберем статистику, которая представляет собой выборочное среднее. Величина сама является случайной величиной, имеющей некоторое распределение, зависящее от объема выборки и распределения исходной, случайной величины Х. Величина является усредненной суммой n одинаковых, случайных величин (то есть с одинаковым распределением). Ясно, что

.

Поэтому статистика является несмещенной оценкой математического ожидания. Она является также состоятельной оценкой, поскольку

.

Таким образом, теоретическое выборочное распределение имеет тоже математическое ожидание, что и у исходного распределения, дисперсия уменьшена в n раз.

Напомним, что равна

.

Математическая, абстрактная бесконечная выборка, связанная с выборкой объема n из генеральной совокупности и с введенной статистикой будет содержать в нашем случае элементов. Например, если , то в математической выборке будут элементы со значениями статистики . Всего элементов будет 13. Доля крайних элементов в математической выборке будет минимальной, так как результаты и имеют вероятности, равные . Среди множества элементарных исходов четырех кратного бросания пирамиды имеются только по одному благоприятному и . При приближении статистик к средним значениям, вероятности будут возрастать. Например, значение будет реализоваться при элементарных исходах , , и т. д. Соответственно возрастет и доля элемента 1.5 в математической выборке.

Среднее значение будет иметь максимальную вероятность. С ростом n экспериментальные результаты будут теснее группироваться около среднего значения. То обстоятельство, что среднее выборочного среднего равно среднему исходной совокупности часто используется в статистике.

Если выполнить расчеты вероятностей в выборочном распределении с , то можно убедиться, что уже при таком небольшом значении n выборочное распределение будет выглядеть как нормальное. Оно будет симметричным, в котором значение будет медианой, модой и математическим ожиданием. С ростом n оно хорошо апроксимируется соответствующим нормальным даже, если исходное распределение прямоугольное. Если же исходное распределение нормально, то распределение является распределением Стьюдента при любом n.

Для оценки генеральной дисперсии необходимо выбрать более сложную статистику, которая дает несмещенную и состоятельную оценку . В выборочном распределении для S2 математическое ожидание равно , а дисперсия . При больших объемах выборок выборочное распределение можно считать нормальным. При малых n и нормальном исходном распределении выборочное распределение для S2 будет χ2 ‑распределение.

Выше мы попытались представить первые шаги исследователя, пытающегося провести простой статистический анализ повторных экспериментов с правильной однородной треугольной призмой (тетраэдром). В этом случае нам известно исходное распределение. Можно в принципе теоретически получить и выборочные распределения относительной частоты, выборочного среднего и выборочной дисперсии в зависимости от числа повторных опытов n. При больших n все эти выборочные распределения будут приближаться к соответствующим нормальным распределениям, так как они представляют собой законы распределения сумм независимых случайных величин (центральная предельная теорема). Таким образом, нам известны ожидаемые результаты.

Повторные эксперименты или выборки дадут оценки параметров выборочных распределений. Мы утверждали, что экспериментальные оценки будут правильными. Мы не выполняли эти эксперименты и даже не приводили результаты опытов, полученные другими исследователями. Можно подчеркнуть, что при определении законов распределений теоретические методы используются чаще, чем прямые эксперименты.


2. Анализ вариационных рядов

Статистическое исследование может быть полным и выборочным. При полном исследовании измерение интересующего вас признака производится у каждого элемента совокупности. При этом определяется точное распределение признака. Например, декан получил точное распределение оценок на экзамене по математике у всех 230 студентов. Он может определить точные доли отличников и не успевающих, процент успеваемости, процент качества обучения и т.п. Но это не "настоящая" статистика.

Статистика решает задачу как, обследовав элементы выборки из генеральной совокупности, получить необходимую информацию о генеральной совокупности. Первое, что должен решить статистик — это как провести выборку, чтобы она наилучшим образом соответствовала генеральной совокупности, то есть, чтобы выборка была репрезентативной. Выборка будет репрезентативной, если отбор элементов в выборку производится случайно. Это означает, что все элементы генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Один из способов получения случайной выборки состоит в том, что каждому элементу генеральной совокупности присваивается номер; билеты с номерами помещаются в шляпу или шарики с номерами в барабан; случайно извлекается билет или шарик, а затем выбирается соответствующий элемент. В настоящее время случайные числа выдают ЭВМ.

Обеспечить случайность выборки не так просто как кажется. Ни в коем случае не следует полагаться на свою интуицию, следует подчеркнуть: если выборка окажется не репрезентативной (ее называют смещенной), то с ростом ее объема может уменьшаться точность или могут появляться ошибочные выводы. Закон больших чисел сработает наоборот. По видимому, по этой причине Дизраэли пошутил: "На свете есть ложь наглая, ложь и статистика".

Раздел статистики, в котором изучаются виды выборок, разрабатываются методики, обеспечивающие репрезентативность выборок, изучается влияние объема выборки на получаемые результаты и др., называется теорией выборки. Очевидна ее важная роль в планировании статистического исследования.

2.1 Дискретный вариационный ряд

Допустим, произведено n измерений случайной дискретной величины Х и получено k различных значений . При этом Х1 наблюдалось m1 раз, Х2 — m2 раз, …, Хk — mk раз. Можно сказать, что из бесконечной гипотетической совокупности результатов измерений сделана выборка объемом . Числа являются частотами измеренных значений , которые называют вариантами. Величины , ,…, называют относительными частотами вариант Хi . Ясно, что . Будем считать, что варианты мы расположили в возрастающем порядке.

Полученные результаты удобно представить в виде таблицы.

Вторая строка таблицы представляет собой вариационный ряд для частот, третья — для относительных частот, четвертая — для кумулятивных относительных частот. Если число вариант k не очень велико, то для того, чтобы получить более наглядное представление о распределение случайной величины Х строят полигоны или кумуляты. Для этого на оси абсцисс откладывают значения вариант , а на оси ординат соответствующие значения частот или относительных частот или кумулятивных относительных частот Fi . Ясно, что полигон относительных частот дает представление о распределение вероятностей, а график кумулятивных относительных частот можно назвать эмпирической функцией распределения.

Эмпирическая функция распределения определена на всей числовой оси. Ясно, что для всех и для всех . На интервале функция будет иметь вид ступенчатой монотонно возрастающей от 0 до 1 функции такой, что .

Рассмотрим пример. Пусть в результате обследования получены следующие значения вариант:

8 8 9 8 10 9 7 7 6 10 5 11 10 8 7 8
5 8 7 7 11 10 11 9 7 8 5 10 8 7 9 6
10 7 8 6 6 10 9 9 9 8 7 6 7 8 9 8
8 5 8 9 7 11 9 9 9 8 6 9 11 10 7 6

Все значения () вариант целочисленные, , . Таблица для этих данных принимает следующий вид (таблица ):


3. Интервальный вариационный ряд

Как уже отмечалось выше, для непрерывной случайной величины всю область ее возможных значений нужно разделить на интервалы, которые называют классами. Обычно ширины всех классов выбирают одинаковыми. Ширину интервалов ΔX определяют формулой

,

где Xmax и Xmin — наибольшее и наименьшее значение признака в выборке, а k— количество классов. Оптимальное число классов зависит от объема выборки. При этом используют таблицу

Объем выборки — n 25 ¸ 40 40 ¸ 60 60 ¸ 100 100 ¸ 200 200 ¸ 1000
Число классов — k 5 ¸ 6 6 ¸ 8 7 ¸ 10 8 ¸ 12 10 ¸ 15

Количество вариант в классе есть частота попадания в данный класс. Все классы кроме последнего представляют собой полуоткрытые справа интервалы (например ), а последний закрытый . Можно составить таблицу интервальных вариационных рядов; ее общий вид таков:


Здесь ai – границы классовых интервалов.

Если на оси абсцисс отложить классовые интервалы и над ними построить прямоугольники с высотами, равными соответствующим плотностям fi относительной частоты, то площадь каждого прямоугольника будет равна относительной частоте . Полученная таким образом ступенчатая фигура называется гистограммой. Площадь под гистограммой равна единице, так как она равна сумме площадей всех прямоугольников . Понятно, что линия, которая идет по оси абсцисс, затем огибает гистограмму и затем снова идет по оси абсцисс является графиком эмпирической функции плотности вероятности.

Интервальный вариационный ряд можно построить и для дискретной случайной величины, если объем выборки достаточно большой. Нужно, чтобы в каждом классе было не менее трех вариант. В этом случае мы как бы совершаем переход от дискретной случайной величины к непрерывной.

Рассмотрим пример. Измерена частота пульса Xi (число сокращений сердца за минуту) у 1060 студентов (— объем выборки), , . Выборка очень большая, поэтому выберем число классов . Тогда , то есть в интервале содержится четыре значения Х (здесь у нас дискретная случайная величина). Допустим, на основании имеющихся вариант мы построили таблицу интервальных вариационных рядов.

№ класса Классовый интервал Частота mi Отн. частота pi Плотность отн. частоты fi Комулятивная отн. частота Fi
1 [43;47[ 1 0.0008 0.0002 0¸0.0008
2 [47;51[ 3 0.0028 0.0007 0.0008¸0.0036
3 [51;55[ 6 0.0056 0.0014 0.0036¸0.0092
4 [55;59[ 22 0.0208 0.0052 0.0092¸0.0300
5 [59;63[ 52 0.0492 0.0123 0.0300¸0.0792
6 [63;67[ 79 0.0744 0.0186 0.0792¸0.1536
7 [67;71[ 118 0.1112 0.0278 0.1536¸0.2648
8 [71;75[ 165 0.1556 0.0389 0.2648¸0.4204
9 [75;79[ 186 0.1756 0.0439 0.4204¸0.5960
10 [79;83[ 165 0.1556 0.0389 0.5960¸0.7516
11 [83;87[ 103 0.0972 0.0243 0.7516¸0.8488
12 [87;91[ 82 0.0772 0.0193 0.8488¸0.9260
13 [91;95[ 45 0.0424 0.0106 0.9260¸0.9684
14 [95;97[ 19 0.0180 0.0045 0.9684¸0.9864
15 [99;103[ 11 0.0104 0.0026 0.9864¸0.9970
16 [103;107[ 3 0.0021 0.0007 0.9970¸0.9999
Сумма 1060 1 0.25 1

На основании этих результатов строим гистограмму и эмпирическую функцию распределения. Так как мы перешли от дискретной случайной величины к непрерывной, то мы считаем плотность вероятности постоянной внутри каждого интервала, а функция распределения на каждом интервале будет возрастать линейно от начального до конечного ее значения на интервале.

На рис. представлена гистограмма, которая почти симметрична относительно вертикали . Три центральных класса с наибольшими частотами (модальная группа) оказались точно симметричными (см. таблицу). Поэтому хорошей оценкой моды, медианы и математического ожидания будет значение . Огибающая гистограммы и сама гистограмма с ростом объема выборки будут приближаться к кривой нормального распределения (кривой Гаусса) с параметрами и , то есть к кривой

.


Убеждаемся, что центральная предельная теорема выполняется.

На рис. представлена эмпирическая функция распределения — кумулята pi . Эта функция приближенно выражается через функцию Лапласа (или интеграл вероятностей) :

,

по формуле

.

При функция распределения F имеет точку перегиба () и , то есть точка является медианой.


4. Точечные оценки параметров распределения признака

Построение графиков эмпирических функций плотности вероятности гистограммы и функции распределения (кумяляты) дают общее представление о распределении случайной величины. Для уточнения деталей распределения по данным выборки статистики разработаны специальные методы. Очень помогают исследования, если удается определить тип закона распределения признака в генеральной совокупности (нормальный, биноминальный и др.). Очевидно, что благодаря центральной предельной теореме распределение генеральной совокупности часто является нормальным. И, следовательно, для уточнения модели остается точнее определить численные значения математического ожидания и дисперсии. Поэтому были точно рассчитаны распределения различных статистик для выборок из генеральной нормальной совокупности (c2 , Стьюдента, Фишера). Теория статистики, построена на расположении о нормальности исходного распределения, была первой. Ее можно назвать Гауссовской статистикой.

Раздел статистики, в которой изучается проблема получения информации о генеральной совокупности по выборочным данным, называется статистические выводы. Этот раздел можно разделить на два отдела: оценивания параметров и проверка гипотез.

Для оценивания параметра распределения можно использовать несколько выборочных статистик. Например, оценка генерального среднего может служить и выборное среднее , и медиана , и мода. Наилучшая оценка должна обладать такими свойствами как: несмещенность, эффективность и состоятельность. Для несмещенности необходимо, что бы выборочная статистика имела математическое ожидание равное оцениваемому параметру. Если имеется две несмещенные оценки, то из них следует выбирать ту, которая имеет меньшую выборочную дисперсию (она считается более эффективной). Оценка должна также быть состоятельной. Это означает, что с ростом объема выборки, дисперсия оценки должна стремится к нулю.

Иногда становится важным и такое свойство оценки как простота вычислений, малое время обработки. Можно выбрать такую оценку вместо более эффективной, но и более дорогой и длительной.

Обычно оценку случайний величины (статистику) обозначают большими латинскими буквами (), значение оценки из данных выборки – соответствующими малыми латинскими буквами (), действительное значение параметра генеральной совокупности — малыми буквами греческого алфавита ().

Признаки каждого объекта выборки объема n можно считать независимыми случайными величинами Хi (i=1,2,…,n) имеющими одинаковые законы распределения (одинаковые параметры m и s). Точечной оценкой математического ожидания будет статистика

.

Случайную величину называют усредненным значением признака выборочным средним. Значение для конкретной выборки будет среднее арифметическое из данных выборки

.

Если данные выборки сгруппировать в вариационный ряд, то находят по формуле


,

где xi — значение варианты для дискретного вариационного ряда или средина классового интервала для интервального вариационного ряда; mi – частота варианта или классовая частота.

Точечной оценкой дисперсии s2 признака, при неизвестной величине математического ожидания m является статистика

.

Значение этой статистики s2 для конкретной выборки равно

.

Удобно пользоваться формулой

,

где или .

Точечной оценкой стандартного отклонения (среднего квадратического отклонения) s является статистика

.


Точечной оценкой стандартного отклонения выборочной средней будет статистика

Значение этой статистики для конкретной выборки равно

.

Подчеркнем, что s является характеристикой отдельного измерения, а — характеристикой совокупности измерений.

Если данные выборки представлены интервальным вариационным рядом, то для большего объема n и малого числа классов k.

Оценка дисперсии признака является завышенной на величину , называемой поправкой Шеппарда с учетом этой поправки имеем

,

где Dx— ширина классового интервала.

Если объем генеральной совокупности N, а объём выборки n соизмерим с N (), то дисперсия выборочной средней рассчитывается по формуле

.


Рассмотрим пример. Результаты измерения признака Х из элементов выборки объёма представлены интервальным вариационным рядом с :

№ интервала, i Интервал Середина интервала, xi Частота, mi mi xi mi xi 2
1 [76;85] 80 2 160 12800
2 [86;95] 90 5 450 40500
3 [96;105] 100 17 1700 170000
4 [106;115] 110 25 2750 302500
5 [116;125] 120 45 5400 648000
6 [126;135] 130 27 3510 456300
7 [136;145] 140 21 2940 411600
8 [146;155] 150 3 450 67500
9 [156;165] 160 1 160 25600
Сумма 146 17520 2134800

По формуле находим выборочное среднее . Среднее от х2 равно . Стандартные отклонение S находим с учетом поправки Шеппарда

Из расчета видно, что поправка Шеппарда незначительна. По формуле определяем стандартное отклонение выборочной средней .

Такие величины как выборочные мода и медиана также могут служить для оценки среднего генеральной совокупности (особенно если генеральное распределение симметрично). Разность выборочного среднего и выборочной медианы (или моды) может быть оценкой коэффициента асимметрии. Статистики для моды и медианы определяются выборочными значениями. Например, для доли определенных элементов в генеральной совокупности (это вероятность Р случайно выбрать такой элемент) наилучшей точечной оценкой будет статистика где Х число этих элементов в выборке n, то есть доля тех же элементов в выборке.

Для двухмерной случайной величины выборка объёма n состоит из последовательности n пар чисел . Точечной оценкой корреляционного момента является статистика

Для коэффициента корреляции точечной оценкой служит выражение

.

Для нахождения точечной оценки неизвестного параметра используется также метод наибольшего правдоподобия. Он состоит в том, что в качестве наиболее правдоподобного значения параметра Q берут то его значение Q, при котором вероятность получить в n опытах данную выборку является максимально большой. Каждая из величин Xi имеет плотность вероятности . Функция правдоподобия определяется соотношением

.

Эта функция имеет максимум при , где является решением управления


или .

Пусть —выборка из распределения Пуассона . Тогда

,

.

Уравнение для определения l имеет вид

,

решение которого даёт известный результат

математический дисперсия выборка дискретный

.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:51:49 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:54:53 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Математическая статистика
Статистические наблюдения
ТЕМА 1. ПРЕДМЕТ, МЕТОД И ЗАДАЧИ СТАТИСТИКИ Gegenstand, Methoden und Aufgaben der Statistik Subject matter, methods and tasks of statistics 1.1 ...
И среднее квадратическое отклонение, и дисперсия - показатели, широко применяемые в статистике, математической статистике и теории вероятностей.
В качестве теоретических основ выборочного наблюдения используется теория вероятностей и математическая статистика, в особенности теоремы Бернулли, Пуассона, Чебышева, Ляпунова ...
Раздел: Рефераты по экономике
Тип: учебное пособие Просмотров: 9891 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Управление процентным риском портфеля ГКО-ОФЗ в посткризисный период
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики На правах рукописи Мельников Роман Михайлович Управление процентным риском ...
где h11,t - условная дисперсия первой случайной переменной в момент времени t, h11,t-1 - условная дисперсия первой случайной переменной в момент времени t-1, h22,t - условная ...
Полученная выборка доходностей облигаций позволяет оценить математическое ожидание E(h(m)) и среднеквадратическое отклонение s(h(m)) распределения доходности портфеля за период m ...
Раздел: Рефераты по финансовым наукам
Тип: дипломная работа Просмотров: 621 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Статистические методы изучения экономических явлений
Введение. Статистические дисциплины играют важную роль в системе экономического образования. Для общеэкономических специальностей, статистика является ...
Мерой колеблемости возможных значений выборочной средней является средний квадрат отклонений вариантов выборочной средней от генеральной, взвешенной по их вероятностям, т.е ...
Задаваясь определенной допустимой ошибкой выборки =x с вероятностью ошибки р и зная дисперсию изучаемого признака определяют число единиц n подлежащих отбору в выборочную ...
Раздел: Рефераты по экономике
Тип: реферат Просмотров: 2030 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Учебное пособие по курсу всего маркетинга
Оглавление Введение 4 1. Основной текст 6 1.1. Сущность и цели маркетинга. Организация маркетинга 6 Окружающая среда маркетинга и сегментирование ...
панели потребителей - разовые или постоянные выборочные обследования семей потребителей, которые за специальную плату ведут учет своих доходов и расходов, регистрируют свои покупки ...
8. Панель потребителей - это: а) часть мостовой; б) деревянная обивка стены; в) выборочная совокупность семей потребителей, представляющих фирме информацию о доходах, расходах ...
Раздел: Рефераты по маркетингу
Тип: книга Просмотров: 7866 Комментариев: 10 Похожие работы
Оценило: 14 человек Средний балл: 4.1 Оценка: 4     Скачать
Психологический словарь
Борис Гурьевич Мещеряков, Владимир Петрович Зинченко Большой психологический словарь Оглавление Предисловие Персоналии Список авторов Список ...
ВЫБОРОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ (англ. sampling inquiry) - исследование, в котором с помощью выборочного метода делают заключение о т. н. генеральной совокупности (англ. population), т. е ...
Пусть m - число возможных альтернатив стимула (и ответов), P - наблюдавшаяся частота правильных ответов, тогда p, т. е. скорректированная частота правильных ответов, вычисляется по ...
Раздел: Рефераты по психологии
Тип: книга Просмотров: 4612 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Метрология и ее разделы
Пензенская Государственная Технологическая Академия структурное подразделение среднего профессионального образования Химико-Технологический Техникум ...
- Выборочная поверка - поверка группы средств измерений, отобранных из партии случайным образом, по результатам которой судят о пригодности всей партии.
Доверительный интервал в математической статистике - это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он накрывает данный ...
Раздел: Рефераты по коммуникации и связи
Тип: учебное пособие Просмотров: 34702 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 4.7 Оценка: неизвестно     Скачать
Финансовые отношения
содержание 1. Экономическая сис-ма: понятие, элементы, классификация. 4 2. Рыночная эк-ка и ее характерные черты. Субъекты рыночной экономики ...
Чтобы определить распределение вероятностей случайной величины r необходимо знать, какие фактические значения ri принимает данная величина, и какова вероятность Р i каждого ...
Оно характеризуется невозможностью математической оценки вероятности наступления страховых случаев и крайне высокими размерами ущерба.
Раздел: Рефераты по финансовым наукам
Тип: шпаргалка Просмотров: 10745 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Организации: структуры, процессы и результаты
Предисловие к русскому изданию Книга американского профессора Ричарда Холла "Организации: структуры, процессы и результаты" с 1972 по 1999 гг ...
... единицу типа нация - государство; 2) следует применять статистическую выборку организаций; 3) организационные признаки должны быть по возможности инклюзивными; 4) при таком большом ...
Это неверно, так как частота взаимодействий может быть случайной, а весьма интенсивные взаимодействия - нечастыми.
Раздел: Рефераты по экономике
Тип: книга Просмотров: 2819 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Курс лекций по теории вероятностей
Раздел 1. Классическая вероятностная схема 1.1 Основные формулы комбинаторики В данном разделе мы займемся подсчетом числа "шансов". О числе шансов ...
Если Ѭ есть множество всех подмножеств Ѭ, то ѭ и ѭ являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит Ѭ, в том числе и {ѭ: ѭ(ѭ) < x} или {ѭ ...
Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027 - см. свойство 9. Мы получим верную для ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 2208 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Теория вероятностей и математическая статистика
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Южный ...
Применение этих трёх распределений в математической статистике основано на предположении о нормальном распределении исследуемого количественного признака, определённого на ...
Критерий проверки основной гипотезы - случайная величина, статистика элементов выборки, закон распределения вероятностей которой зависит от предполагаемой гипотезы.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 21966 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Математическая статистика (23694)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150558)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru