Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: Кривые, заданные в полярных координатах

Название: Кривые, заданные в полярных координатах
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 11:49:17 04 мая 2011 Похожие работы
Просмотров: 15919 Комментариев: 5 Оценило: 2 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать

Кривые, заданные в полярных координатах

Р.Л. Ткачук

Вологда


Введение

Тема «Полярная система координат» позволяет познакомить учащихся с красивейшими результатами математической науки.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием точки O(полюс), луча Ох (полярная ось) и единичного отрезка т. Кроме того, должен быть указан поворот луча Ох, называемый положительным. Пусть это будет поворот в направлении против движения часовой стрелки. Повороты луча, совершаемые в направлении, противоположном положительному, будем называть отрицательными.

Пусть М — произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Обозначим через длину отрезка ОМ, а через — величину угла, образованного лучами Ох и ОМ. Числа и такие, что р>0 и 0 ф < 2π, именуют полярными координатами точки М. Число называют первой полярной координатой, или полярным радиусом, число — второй полярной координатой, или полярным углом (рис. 1) Если точка М совпадает с полюсом, то = 0, а полярный утол считаем равным нулю. Заметим, что при заданных нами условиях > 0, 0 ≤ < 2π, полярные координаты любой точки определяются однозначно.

Введение таких координат очень естественно, ведь местонахождение любой точки на земной поверхности для неподвижного наблюдателя удобно определять с помощью расстояния от наблюдателя до этой точки и направления к точке от наблюдателя (в этом случае точка, в которой находится наблюдатель, служит полюсом).

Школьникам можно напомнить, что в повести Р.Л.Стивенсона «Остров сокровищ» описано, как старый пират Флинт определил местоположение закопанного клада: «Десять футов к северу от высокого дерева на склоне Подзорной Трубы» (рис. 2).

Построение кривых, заданных полярными уравнениями, имеет некоторые специфические особенности, которые мы проиллюстрируем на примерах. Как известно, математики Древней Индии заменяли доказательства теорем геометрическим чертежом, сопровождая его короткой подписью: «Смотри!». Мы пользовались тем же принципом, заменив долгие разъяснения рисунками, из которых видны все свойства кривых.

В дальнейшем, при построении кривых мы позволим углу принимать любые неотрицательные значения, выделяя на рисунках жирной линией фрагменты кривых, получающиеся при ограниче-нии 0 ≤ < 2π.


Алгебраические спирали

Сначала рассмотрим так называемые алгебраические спирали, т.е. кривые, полярные уравнения которых являются алгебраическими относительно и и имеют вид F(, ) = 0, ≥0, ≥ 0. Если перейти к прямоугольной системе координат, то эти уравнения уже не будут алгебраическими относительно х и у. Кривые, задаваемые такими уравнениями, принято называть трансцендентными.

Достаточно громоздкие декартовы уравнения упрощаются при переходе к полярной системе координат. Зависимость между полярными и декартовыми координатами весьма проста.

Пусть полюс Oсовпадает с началом декартовой системы координат, полярная ось совмещена с положительным направлением оси Ох; М(х; у) — произвольная точка декартовой плоскости. Легко убедиться, что

И обратно:

x=

Спираль Архимеда

= .

Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед (ок. 287-212 гг. до н.э.). Архимеду, в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2π (рис. 3).

Кстати, в силу этой особенности в расположении витков реальный образ спирали Архимеда можно видеть, например, наблюдая туго завернутый рулон бумаги с его торцевой стороны.

На внеклассных занятиях полезно показать построение первого витка спирали Архимеда.

Начертим окружность. Разделим ее и радиус ОА на п равных частей.

Пусть n = 8. Проведем ко всем точкам деления лучи из центра О окружности и пронумеруем их (рис. 4). На луче 1 отметим точку на расстоянии=ОА от центра окружности. На луче 2 отметим точку на расстоянии = ОА, на луче 3 - точку на расстоянии =ОА и т.д. На луче 8 поставим точку на расстоянии =ОА.

Соединив последовательно плавной кривой полученные точки, мы увидим первый виток спирали Архимеда. Построение будет тем более точным, чем больше точек деления радиуса и окружности будет выбрано первоначально.

Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых готовальнях в старину в состав рабочих инструментов входила металлическая пластинка с тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого приспособления было нетрудно разделить угол на несколько равных частей. Например, для трисекции угла ВАС достаточно приложить пластину ее ровной частью к одному из лучей угла (рис. 5) и поделить получившийся отрезок АВ на 3 равные части. На дуге спирали следует сделать засечку радиусом АО = - АВ. Тогда угол САО будет равен одной трети угла ВАС.


В области техники спираль Архимеда находит применение в так называемых кулачковых механиз-мах, которые преобразуют вращательное движение шайбы в поступательное движение стержня. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно. Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда.

В качестве второго объекта для применения спирали Архимеда в технике можно привести самоцентрирующийся патрон (рис. 6), направляющие канавки которого выполнены по спирали Архимеда. При одном повороте диска этого патрона кулачки перемещаются на величину радиального расстояния смежных канавок.

Кроме того, форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.

Логарифмическая спираль

lg = , = . При = 0 получаем = 1. При →+∞ видно, что →+∞ и спираль развертывается против хода часовой стрелки (рис. 7)


Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

Логарифмическую спираль можно построить с помощью так называемого золотого прямоугольника, т.е. такого, у которого отношение сторон равно золотому сечению: .

Если от золотого прямоугольника АВСDотрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник ЕFСD, но меньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавной кривой вершины квадратов, как это сделано на рис. 8, то получим логарифмическую спираль.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

• расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;

• последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;

• образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны другдругу.

Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с определенными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а все более и более утолщаются. Во многих случаях приближенные значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. Во многих раковинах обнаруживается поразительно близкое совпадение между результатами измерений и теоретическими значениями, ожидаемыми для точной логарифмической спирали (рис. 9). В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким, как показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмической спирали. В связи с подобными фактами некоторые ученые считают логарифмическую спираль кривой, являющейся одним из выражений законов органического роста.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом2 . На этом свойстве основаны применения логарифмической спирали в технике. Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах (рис. 10) имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.

Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. Это позволяет обеспечить минимальные потери энергии на изменение направления течения, и, следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью.

В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638 г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.

Логарифмическая спираль - кривая с «твердым» характером. Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно ее полюса - то же самое, что повернуть ее на определенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто Якобом Бернулли, называвшим ее spiramirablis— дивная спираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной при различных преобразованиях настолько поразили ученого, что он был склонен придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечь логарифмическую спираль на своем надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eademmutateresurgo» — «Измененная, возрождаюсь прежней».

Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где принимает значения от 0 до 2π.

Семейство роз Гранди

=sink ,

где k - положительная постоянная.

В XVIII в. итальянский геометр Гвидо Гранди (1671—1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрас-ные цветы, о которых вы, наверное, подумали. Розы Гранди радуют нас правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы — они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как


| sin(k | ≤1,

то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11,б, может показаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).

Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,

В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть0≤. Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от, то радиус изменяется от 1 до 0. Такимобразом, при изменении угла от 0 до , точкана плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .

Функция — периодическая с периодом π, кроме того,

sin(2( ,

поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.

Функция = sin2 на отрезке [0;монотонновозрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.

Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:

• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;

• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .

Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.

Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2kлепестков при четном kи из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k - иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков.

Лемниската Бернулли

р2 = 2соs2.

Лемниската Бернулли — одна из самых замечательных алгебраических линий. Из вида уравнения кривой следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться нера-венство соs2, поэтому она расположена между прямыми у=±х. Отметим также, что = при = 0.

Покажем, как построить лемнискату Бернулли. Но сначала отметим, что, поскольку квадрат полярного радиуса неотрицателен, должно выполняться неравенство соs2. Решая это неравенство, находим область допустимых углов:

0≤ ,

В силу периодичности функции соs2 (ее период равен π) достаточно построить график для углов в промежутке а в остальных случаях использовать периодичность

Итак, пусть Если угол изменяется от до π ,то cos2изменяется от 0 до 1 и, следовательно, изменяется от 0 до

Если угол изменяется от π до , то изменяется от до 0 .Таким образом при изменении угла от точка на плоскости описывает кривую, напоминающую половинку от восьмерки, и возвращается в начало координат. Вторая половинка получится, когда уголизменяется в пределах от 0 до и от до 2π.

Лемниската Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:

• угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке с радиус-вектором точки касания равен 2

• перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

• эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus— украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r1 , и r2 до двух данных точек F1 , и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния.

Впервые лемниската была рассмотрена Якобом Бернулли (1654—1705) в 1694 г. Впоследствии Бернулли много часов своих занятий уделял лемнискате и нашел несколько ее интересных свойств.

В технике лемниската используется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвай-ных путях. Таким образом она обеспечивает плавность закругления, без которой центробежная сила, действующая на поезд, возрастала бы резко, доставляя неудобство пассажирам.

В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.


Кардиоида

логарифмическая спираль полярный координата лемниската

= 2(1 — соs).

Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos— сердцеобразная).

Покажем способ построения кардиоиды.

Сначала выберем опорную окружность и ее радиус ОА примем за 1, а прямую ОА — за ось абсцисс, причем точка А произвольно выбирается на опорной окружности. Проведем другую окружность с центром в точке М, произвольно взятой на опорной окружности, и радиусом МА. Повторив затем такие построения для достаточно большого числа точек М, равномерно распределенных по опорной окружности, увидим, что огибающая всех окружностей радиуса МА и есть кардиоида (рис. 13).

Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользяший по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков. Этим свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда, у которой, благодаря постоянности скорости стержня, в конце каждого хода стержня происходят удары (скорость скачком меняет значение скорости с vна —v), что вызывает быстрое изнашивание механизма.

Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия' или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора, что очень важно.

Кардиоида также хорошо знакома конструкторам и возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.

В заключение заметим, что полярные координаты широко применяются при определении длин кривых, площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел вращения, а также в задачах на определение центра масс и момента инерции тела. Кривые, рассмотренные в статье, нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.

Логарифмическая спираль в природе и технике

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нуж-но, чтобы угол резания сохранял постоянное значению, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала (рис. 64).

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение направления течения в трубе оказываются минимальными, и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рисунке 65, и через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причем одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая — против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т. е. отношение угловых скоростей этих колес, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам (рис. 66). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и ;роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечки расположены по дугам,близким к логарифмической спирали и т. д. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
При значении угла, равном 3П/4, радиус r= sin(2*3П/4)= sin (3П/2)-- это отрицательное число и радиус не определен. Откуда вы получаете четыре лепестка?
ирина10:29:29 06 сентября 2016Оценка: 2 - Плохо
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:24:45 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:42:18 29 ноября 2015
мне нравится,всё понятно и доступно
умница15:22:28 23 января 2012Оценка: 5 - Отлично
R2(9 cos2 φ+ 4 sin2 φ) = 36 решите
17:06:46 16 ноября 2011

Работы, похожие на Статья: Кривые, заданные в полярных координатах
Плоские кривые
1. История изучения плоских кривых Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды ...
Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определённым образом и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче ...
К ним относятся точки прекращения, обладающие той особенностью, что окружность достаточно малого радиуса, проведённая из такой точки как из центра, пересекает кривую только в одной ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 1878 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Спиральные антенны
Введение Современное состояние техники связи радиодиапазона нельзя представить без спиральных антенн. Этот тип антенных систем используется благодаря ...
1.2.1). Уравнение этой спирали в полярных координатах
где - радиус-вектор в начале спирали (); а - коэффициент, определяющий степень увеличения радиус-вектора с увеличением полярного угла .
Раздел: Рефераты по коммуникации и связи
Тип: дипломная работа Просмотров: 11036 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия
Оглавление Введение Глава I. Развитие геометрии 1.1 История геометрии 1.2 Постулаты Евклида 1.3 Аксиоматика Гильберта 1.4 Другие системы аксиом ...
Полученная таким образом простейшая кривая одновременно является окружностью радиуса r с центром в точке А и эквидистантой с высотой r' = R/2 - r. Можно установить, что окружность ...
При этом считаем конгруентными те отрезки (углы), которым на сфере чисто мнимого радиуса отвечают совмещающиеся при некоторых вращениях сферы дуги больших окружностей (углы между ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 1280 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Геометрические построения
План. I. Введение. II. Геометрические построения. Деление отрезков. Построение углов. Деление окружностей. Сопряжение линий. Коробовые кривые линии ...
4,б) произвольным радиусом R описывают дугу окружности до пересечения ее со сторонами прямого угла в точках а и в, из которых проводят дуги окружности того же радиуса R до ...
Для построения спирали Архимеда задают ее шаг P, из центра О проводят окружность радиусом, равным шагу P спирали, и делят шаг и окружность на несколько равных частей(рис.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 4435 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 9 человек Средний балл: 3.3 Оценка: 3     Скачать
Живая геометрия
ЖИВАЯ ГЕОМЕТРИЯ Оглавление Введение Глава 1. Теоретические изложения 1.1 Краткий анализ литературы 1.2 Описание геометрических законов 1.3 Сущность ...
Спираль Архимеда, названная так потому, что Архимед описал ее в своей работе о спиралях, имеет очень простое уравнение в полярных координатах: r = aѭ.
Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А; Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 5237 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Динамические системы в плоской области
ТЕМА ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 1. Введение Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида (I) где Р (х, у) и Q (х, у ...
В частности, мы часто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который, очевидно, не является регулярным преобразованием координат.
Как и в предыдущем примере, ось t является интегральной кривой системы (45) в пространстве (х, у, t). Остальные интегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 572 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Аналитическая геометрия
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Институт бизнеса, информационных технологий и финансов Кафедра "Гуманитарных и ...
Пример 17 (координаты центра и радиус окружности)
Где точка 0 - полюс, луч 0А - полярная ось, - полярный радиус, ѭ - полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 24675 Комментариев: 1 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Лекции по физике
Лекция 10 8.5. Линии равной толщины Как ясно уже из заголовка, речь пойдет о пластинах (тонких пленках), толщина которых непостоянна. И, по существу ...
При стремлении ширины полоски Dx к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса R, угловой размер дуги
Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности (2, j=3p).
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Просмотров: 752 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Проектирование кулачковых механизмов
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана ...
Такая геометрическая интерпретация ограничения по углу давления позволяет получить аналитические выражения для определения основных размеров механизма - , (или w). Для этого нужно ...
8. Полярные координаты - текущее значение радиуса центрового профиля кулачка и угол , определяющий его положение относительно оси:
Раздел: Рефераты по технологии
Тип: реферат Просмотров: 6940 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Графика в системе Maple V
1. Двумерная графика 1.1. Основные возможности двумерной графики Лидером по графическим возможностям среди математических систем для персональных ...
Графики в полярной системе координат представляют собой линии, которые описывает конец радиус вектора r(t) при изменении угла t в определенных пределах - от tmin до tmax.
где с - список с координатами центра окружности, к которой принадлежит дуга, г - радиус этой окружности, а..Ь - диапазон углов.
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: доклад Просмотров: 7848 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Статья: Кривые, заданные в полярных координатах (2479)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150407)
Комментарии (1831)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru