Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Метод квадратных корней

Название: Метод квадратных корней
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 08:40:32 17 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 1284 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Введение

Система линейных алгебраических уравнений – математическая модель, которая описывает состояние равновесия экономического объекта, которое называется установившимся режимом или статикой объекта. Экономическая статика изучает допустимые и рациональные состояния экономического объекта.

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

(1.1)

или в матричной форме

Ax = b,

где

- матрица коэффициентов,


- столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно.

Если матрица А неособенная, т.е.

то система (1.1) имеет единственное решение. В этом случае решение системы (1.1) с теоретической точки зрения не представляет труда. Значения неизвестных xi (i=1,2,…n) могут быть получены по известным формулам Крамера

крамер квадратный корень матрица

где матрица Ai получается из матрицы А заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов.

Но такой способ решения линейной системы с n неизвестными приводит к вычислению n + 1 определителей порядка n, что представляет собой весьма трудоемкую операцию при сколько-нибудь большом числе n.

Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы: точные и приближенные.

Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), приводят к точным значениям неизвестных xi . Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные точным методом, неизбежно будут содержать погрешности. К точным методам относятся, например, метод Гаусса, метод квадратных корней.

Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x1 , x2 , …, xn ) лишь с заданной точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и др. Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений.

Данная контрольная работа имеет следующую структуру: в начале рассматривается математическая постановка задачи для метода квадратных корней при решении систем линейных алгебраических уравнений. Затем производится реализация данного метода с помощью вычислительных средств ЭВМ, а именно прикладной программой Matlab 6.5. На примере реализации нескольких тестовых задач проводится анализ точности данного метода, а именно когда наиболее эффективно применять метод квадратных корней при решении систем линейных алгебраических уравнений. Анализ проводится на основе матрицы А (ее мерности, разреженности, обусловленности. Результаты, полученные на основе метода квадратных корней, приведены в конце данной работы. Также в работе представлен графический материал. По окончании проведения исследования работа завершается логическим заключением.


Математическая постановка задачи

Метод квадратных корней используется для решения линейной системы

Ax = b,

(1.2)

у которой матрица А симметрическая, т.е.

aij = aji (i, j = 1, 2, …, n).

Метод является более экономным и удобным по сравнению с решением систем общего вида.

Решение системы осуществляется в два этапа.

Прямой ход. Представим матрицу А в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц:

(1.3)
А = Т¢ Т,

где

.


Перемножая матрицы T¢ и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения tij :

(1.4)
После того, как матрица Т найдена, систему (1.2) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами
(1.5)

T¢y = b, Tx = y.

Обратный ход. Записываем в развернутом виде системы (1.5):

Отсюда последовательно находим


При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки.

Заметим, что при действительных aij могут получиться чисто мнимые tij . Метод применим и в этом случае.

Описание программного обеспечения (согласно стандартам на ИТ)

Для изучения данного метода было выбрано программное обеспечение: Matlab 6.5, в операционной системе WindowsXPProfessional. На этапе проектирования была создана программа Square (‘квадрат’). Входными переменными для данной программы является матрица A и соответствующая ей матрица B. Результатом выполнения данной программы является матрица X (выходная переменная), которая является решением системы линейных алгебраических уравнений.

Ниже описан алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5:

A=input('Введите матрицу A=');

B=input('Введите B=');

if A==A'

if det(A)~=0

s=size(A,1);

if size(B',1) == s

T=zeros(s);

T(1,1)=sqrt(A(1,1));

for k=2:s

T(1,k)=A(1,k)/T(1,1)

end

for j=2:s

for i=2:s

if i==j

sm=0

for k=1:(i-1)

sm=sm+T(k,i)^2

end

T(i,i)=sqrt(A(i,i)-sm)

else

if i<j

sm=0

for k=1:(i-1)

sm=sm+T(k,i)*T(k,j)

end

T(i,j)=(A(i,j)-sm)/T(i,i)

end

end

end

end

Y=zeros(s,1)

Y(1)=B(1)/T(1,1)

for i=2:s

sm=0

for k=1:(i-1)

sm=sm+T(k,i)*Y(k)

end

sm

Y(i)=(B(i)-sm)/T(i,i)

end

X=zeros(s,1)

X(s)=Y(s)/T(s,s)

for m=1:(s-1)

i=s-m

sm=0

for k=(i+1):s

sm=sm+T(i,k)*X(k)

sm

end

X(i)=(Y(i)-sm)/T(i,i)

E=A*X-B'

end

else

error('B не соответствует матрице А')

end

else

error('det А = 0')

end

else

B = B*A'

A = A*A'

if det(A)~=0

s=size(A,1);

if size(B',1) == s

T=zeros(s);

T(1,1)=sqrt(A(1,1));

for k=2:s

T(1,k)=A(1,k)/T(1,1)

end

for j=2:s

for i=2:s

if i==j

sm=0

for k=1:(i-1)

sm=sm+T(k,i)^2

end

T(i,i)=sqrt(A(i,i)-sm)

else

if i<j

sm=0

for k=1:(i-1)

sm=sm+T(k,i)*T(k,j)

end

T(i,j)=(A(i,j)-sm)/T(i,i)

end

end

end

end

Y=zeros(s,1)

Y(1)=B(1)/T(1,1)

for i=2:s

sm=0

for k=1:(i-1)

sm=sm+T(k,i)*Y(k)

end

sm

Y(i)=(B(i)-sm)/T(i,i)

end

X=zeros(s,1)

X(s)=Y(s)/T(s,s)

for m=1:(s-1)

i=s-m

sm=0

for k=(i+1):s

sm=sm+T(i,k)*X(k)

sm

end

X(i)=(Y(i)-sm)/T(i,i)

end

else

error('B не соответствует матрице А')

end

else

error('det А = 0')

end

end

Описание тестовых задач

Результатом разработки программы является этап реализации и тестирования метода квадратных корней. На этапе выполнения программы может появляться неточность полученного решения из-за ошибки вычисления (например, ошибки округления ЭВМ). Исследуем влияние мерности матрицы A, ее обусловленности, разреженности на точность полученного решения. Результат будем оценивать по невязке ε = Ax* - b (x* - полученное решение). Для этого рассмотрим разного рода матрицы:

- влияние мерности матрицы А;

Рассмотрим матрицы мерности 2´2, 3´3, 4´4 и 5´5. Зададим матрицу мерностью 2´2:

, ей соответственно зададим , в результате выполнения программы получим решение:

X =

ε =

Зададим матрицу размерностью 3´3:

, ей соответственно зададим , в результате выполнения программы получим решение:

X =

ε =

Зададим матрицу размерностью 4´4:

, ей соответственно зададим , в результате выполнения программы получим решение:


X =

ε =

Зададим матрицу размерностью 5´5:

, ей соответственно зададим , в результате выполнения программы получим решение:

X =

ε =

Сравним полученные результаты, для этого проанализируем точность полученного решения. Результат мы можем оценить двумя способами и , где E – матрица, полученная в результате подстановки найденного решения в систему линейных алгебраических уравнений: Е=A*x-b. Проиллюстрируем результаты графически. Для этого была разработана программа в среде Matlab 6.5.

E2=input('Введите матрицу Е2=');

E3=input('Введите матрицу Е3=');

E4=input('Введите матрицу Е4=');

E5=input('Введите матрицу Е5=');

Q1=sqrt(sum(power(E2,2)));

Q2=sqrt(sum(power(E3,2)));

Q3=sqrt(sum(power(E4,2)));

Q4=sqrt(sum(power(E5,2)));

Q = [Q1 Q2 Q3 Q4];

abs(E2);

abs(E3);

abs(E4);

abs(E5);

a1=max(abs(E2));

a2=max(abs(E3));

a3=max(abs(E4));

a4=max(abs(E5));

A = [a1 a2 a3 a4];

E = [2 3 4 5];

plot (Q,E)

pause

plot (A,E)



На основе проведенного анализа и иллюстрации графиков можно сделать вывод, что с увеличением мерности матрицы увеличивается неточность решения.

- влияние обусловленности матрицы А;

Для исследования возьмем матрицу следующего вида, которую в последствии будем заполнять нулями, прослеживая результат изменения ошибки:

, ей соответственно зададим

X =

-6.1000

-2.2000

-6.8000

-0.9000

0.2000

E =

-0.0389

-0.7994

0.2665

-0.0888

0.0888

, ей соответственно зададим


X =

-0.7869

-1.3706

-2.1805

-0.0204

1.5371

E =

0

0

0.2665

0

0

, ей соответственно зададим

X =

-0.4950

0.1575

5.0050

4.7700

-5.5025

E =

0

0

0

-0.7105

0.4441


, ей соответственно зададим

X =

-4.1125

1.0263

-1.0750

1.2947

-1.2313

E =

-0.0444

0

0.0888

-0.0888

0.1776

, ей соответственно зададим

X =

0.5000

1.0263

1.6667

1.2947

0.8250

E =

0

0

0.8882

-0.8882

0

Четкой тенденции проследить невозможно, хотя видно на основе предложенной матрицы А, что с увеличение числа нулей, присутствующих в матрице, точность решения увеличивается, т.к. уменьшается число элементов задействованных в вычислении, то и снижается ошибка вычислений.

- обусловленность матрицы А;

Зададим матрицу с практически равными элементами. В последствии будем увеличивать ее размерность.

, ей соответствует

X =

-1.6499

-1.6501

E =

0

-0.9313

, ей соответствует

X =

-1.6522

0.7500

2.3978

E =

0

0.1863

0


, ей соответствует

X =

0.0018

2.4041

2.3978

0.0033

E =

-0.0167

0.0371

-0.0371

-0.3558

Обусловленность матрицы снижает ошибку вычислений у матриц с более высокой размерностью, т.е. с увеличением размерности разряженной матрицы ее точность увеличивается (ошибка вычислений снижается).

Анализ результатов

Подводя итоги можно сделать следующий вывод. Точность решения зависит как от обусловленности, разреженности и мерности матрицы, так и в целом комбинация этих составляющих влияет на точность полученного решения. Хотя в некоторых случаях однозначного ответа дать невозможно, так как точность зависит еще и от того, насколько громоздки были вычисления, и как много требовалось округлений, а также все ли были учтены недочеты. А также если корни будут близки к целым корням, то и точность решения будет выше.


Заключение

В данной контрольной работе был проанализирован один из методов решения систем линейных алгебраических уравнений: метод квадратных корней. Метод был предложен для решения системы Ax=b, где матрица A – симметрическая, хотя не исключено, что метод может использоваться и не для симметрических матриц, тогда исходную систему можно привести к виду AA¢x=bA¢, полученную систему легко можно решить методом квадратных корней.

Также в данной системе были проанализированы разного рода матрицы, и их влияние на точность полученного решения. Основываясь на полученных выводах, можно контролировать в каких конкретно моментах удобно решать систему линейных алгебраических уравнений методом квадратных, а когда лучше использовать другой метод.


Литература

1. Государственные стандарты. ИТ. комплекс стандартов и руководящих документов на АС. Издание официальное. Комплект стандартизации и метрологии СССР. М. – 1991.

2. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: «Наука», 1972.

3. Писсанецки С. Технология разряженных матриц. – М.: Мир, 1988.

4. Сарычева О.М. Численные методы в экономике: Конспект лекций. Новосибирск: НГТУ, 1995.

5. Численные методы. Методические указания. НГТУ, 2002.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:09:58 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:34:29 29 ноября 2015

Работы, похожие на Контрольная работа: Метод квадратных корней

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150782)
Комментарии (1840)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru