Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Определение дуальных и двойных чисел

Название: Определение дуальных и двойных чисел
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 19:39:12 12 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 517 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Введение

В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.

Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.

Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).

Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).

В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.


Глава I . Определение дуальных и двойных чисел

1.1 Дуальные числа

Сложение, вычитание и умножение дуальных чисел определяется формулами:

(1)

Последняя из этих формул показывает, что произведение дуального числа на другое число будет вещественным лишь в том случае, когда ; если , то последнее равенство можно записать в виде . Вещественным, в частности, является произведение чисел и :

(2)

Число называют сопряжённым числу (и обратно, сопряжено ); корень квадратный из произведения (совпадающий с полусуммой сопряжённых чисел и ) называют модулем дуального числа и обозначают через (отметим, что модуль дуального числа может быть и отрицательным). Сумма двух сопряжённых чисел является вещественной; разность является числом чисто мнимым (т.е. отличается от лишь вещественным множителем). Заметим ещё, что, в полной аналогии с обыкновенными комплексными числами, дуальное число тогда и только тогда совпадает со своим сопряжённым , когда оно является вещественным. Также и справедливые для комплексных чисел формулы (3)

, , , (3)

полностью остаются в силе для дуальных чисел.

Правило деления на дуальное число мы теперь можем записать так:

. (4)

Отсюда видно, что для возможности деления на дуальное число необходимо, чтобы модуль этого числа был отличен от нуля; при этом, в противоположность обыкновенным комплексным числам, дуальное число нулевого модуля само может быть отличным от нуля. В тех случаях, когда невозможность деления на числа нулевого модуля явится для нас затруднением, мы будем считать, что частные и являются числами новой природы, которые условимся обозначать через и ; введём также в рассмотрение всевозможные числа вида , где вещественно. Тогда любое дуальное число будет иметь обратное:

при ; .

Правила действий над символом определяются следующими формулами:

, , , , , (5)

здесь - произвольное число, причём в среднем равенстве , а во втором и в двух последних ( в этих формулах может быть и числом вида ); правила действий над числами определяются так:

(6)

Положим ещё

, ; (6а)

тогда для расширенного (введением чисел , ) множества дуальных чисел сохраняет силу равенство и все правила (3).

Число нулевого модуля можно характеризовать тем, что существует отличное от нуля дуальное число , равное , произведение которого на число равняется нулю:

. (7)

Поэтому эти числа называют делителями нуля.

Дуальные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа:

. (8)


Здесь есть модуль числа , а отношение называется аргументом этого числа и обозначается через Arg z (r может быть произвольным вещественным числом, отличным от нуля; - произвольным вещественным числом). Очевидно, что вещественные числа характеризуются равенством нулю их аргумента; сопряжённые дуальные числа и имеют одинаковый модуль r и противоположные аргументы и .

Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,

; (9)

следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей[1] , а аргумент произведения - сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:

. (10)

Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:

(11)

(из последней формулы вытекает, что корень нечётной степени из дуального числа при определяется однозначно; корень же чётной степени не существует, если r <0, и имеет два значения, еслиr >0[2] ).

1.2 Двойные числа

В полной аналогии со всем изложенным выше назовём двойные числа и сопряжёнными, если они имеют вид

и .

Сумма и произведение сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа , знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a и b , называется модулем числа и обозначается через . Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство характеризует вещественные числа , а равенство - чисто мнимые числа .

Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами

(12)


Отсюда следует, что и здесь деление на возможно лишь в тех случаях, когда . Двойные числа , модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что ). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные , и числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения и новых чисел и на всевозможные вещественные числа c и частные и . Правила действия над символами , , , и определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:

(13)

и т. д. Естественно также положить

, , , , (13а)

что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства и всех соотношений (3).

Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть - модуль двойного числа; далее

.

Из определения модуля следует, что и что большая (по абсолютной величине) из дробей и положительна. Отсюда вытекает, что

, или , , (14)

где есть некоторое число (определённое формулами (14)), а и – гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .

Таким образом, имеем

или . (15)

величина называется аргументом двойного числа z и обозначается через Arg z [3] .

Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что

(16)

Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:

;

. (17)

Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n :

,

при

n нечётном,

при n чётном;


Глава II .

2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.

Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).

а б

Рис. 1

Под расстоянием от прямой a до не пересекающей её прямой b будем понимать ориентированное расстояние {a , b } от a до b , т.е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a до прямой b ; очевидно, что {a , b }=- {b , a }, если a иb параллельны, и {a , b }={b , a }, если a и b противопараллельны.

Полярные координаты точек плоскости определяются заданием некоторой точки O (полюса системы координат) и проходящей через O ориентированной прямойo (полярной оси); координатами точки M служат расстояние r = OM этой точки от полюса и угол ={o , m }, образованный с o ориентированной прямой m , соединяющей O иM . Аналогично этому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости, для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o (полярную ось) и лежащую на o точку O (полюс); координатами прямой l служат угол ={o , l }, образованный l с полярной осью o , и ориентированное расстояние s = {O , L } от O до точки L пересечения l и o (рис. 2,а). Очевидно, что координатаs ориентированной прямой l может иметь любое значение, заключённое между и ; координата – любое значение, заключённое между 0 и 2. Естественно считать, что =0 для прямых, параллельных полярной оси o , и = для прямых, противопараллельных o ; если прямая не пересекает оси o , то координаты s она не имеет (можно считать, что в этом случае ).


Условимся сопоставлять ориентированной прямой l с полярными координатами и s дуальное число

, , (19)

(рис. 2). При этом параллельным o прямым, для которых =0, естественно относить числа нулевого модуля, т.е. делители нуля . Чтобы установить точное соответствие между параллельными o прямыми и делителями нуля, заметим, что расстояние d = {O , l } не параллельной o прямой l от полюса O равно

(20)

(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o прямой m , отстоящей от o на расстоянии {o , m }= d , то этой прямой нужно сопоставить число

(т.е. , где u = 0 и ).

Двум пересекающим o прямым l и l , отличающимся только направлением и, следовательно, имеющим полярные координаты () и (), отвечают дуальные числа

и

.

Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o , условимся относить противопараллельной o прямой m , отстоящей от o на расстоянии {o , m }=d , число

(заметим, что если расстояние {o , m } от o до параллельной o прямой m , совпадающей по положению на плоскости с прямой m , равно d , то d =- d ). Прямой o , отличающейся только направлением от полярной оси o (противооси), мы сопоставим число .

Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w , где w 0 вещественно, и число .

Очевидно, что вещественным числам отвечают проходящие через полюс O прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные o прямые; чисто мнимым числам v (числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w отвечают параллельные и противопараллельные оси o прямые. Сопряжённым числам и отвечают прямые симметричные относительно полюса O ; противоположным числам и – прямые, симметричные относительно полярной оси o (т.е. прямые, пересекающие o в одной и той же точке L и образующие сo равные углы {o , z }={- z , o }; см. рис. 2, б); числам z и отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства

(а), (б), (в) (21)

можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O , симметрии относительно прямой o и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).

Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).

Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечает дуальное число

,

в прямую, которой отвечает число

(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:

, где , (22)

(т.к. ).

Параллельный перенос на расстояние t в направлении, перпендикулярном o , переводит прямую

в прямую

(рис. 3, б). Но

.

Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что

;

таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой

, где , . (22, а)


Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t в направлении o и на расстояние t в направлении lo , записывается формулой

, , ,

или, если ввести обозначение (т.е. ) и воспользоваться тем, что , , , формулой

, (23)

где , , , .

Перейдём теперь к вращениям плоскости. Очевидно, что поворот вокруг O на угол переводит прямую в прямую , где (рис. 4). Таким образом,


(24)

(здесь используется то, что если z иz дуальные числа, то , и ). Далее, если d иd ′– расстояния прямых z иz ′ отполюса , то

поэтому

.

С другой стороны, поскольку , то

. (24а)

Из (24) и (24а) следует, что наше вращение записывается формулой

, (25)

где , .

Наконец, самое общее движение представляет собой поворот (25) вокруг O на некоторый угол , причём это вращение может сопровождаться ещё параллельным переносом (33):

.

В другом виде это преобразование можно записать так:

, (26а)

где , .

Возможно, также, что исходное движение представляет собой симметрию (21б) относительно прямой o , сопровождаемую преобразованием (36а) (вращением вокруг O и параллельным переносом):

. (26б)

Наконец, движение может представлять собой переориентацию (21в), сопровождаемую одним из преобразований (36а) или (36б):

, (26в)

где , , или

, (26г)

где , .

Очевидно, что ориентированный угол {} между прямыми и равен (рис. 5, а)


Это можно записать так:

.

Полученный результат можно также представить в следующей симметричной форме:

. (27)

Найдём теперь ориентированное расстояние d ={[],[]} между точками [] и [] пересечения определённой прямой с двумя другими прямыми и (рис. 5, б). Очевидно, что расстояние d между точками пересечения прямой o с прямыми и равно

.

Пример движения, переводящего данную прямую в прямую o , даётся формулой

;


это движение переводит прямые и в прямые и . Отсюда получаем

.(28)

Условием того, что прямые , и пересекаются в одной точке, является равенство нулю расстояния между точками пересечения и с , т.е., в силу формулы (28), вещественность отношения .

Это условие можно переписать ещё так:

. (29)

Следовательно, “уравнение точки”, т.е. условие, которому удовлетворяют прямые , проходящие через одну точку [], имеет вид

,

или

, A – чисто мнимое (30)

(здесь , ).

Найдём теперь условие того, что четыре ориентированные точки , , и принадлежат одной ориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесь понимаем совокупность всех ориентированных прямых l , ориентированное расстояние {O , l } которых от данной точки O (центра окружности) имеет фиксированное значение r . Число r называется радиусом окружности; таким образом, радиус ориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным. Из определения ориентированного расстояния {O , l } от точки O до прямой l следует, что радиус ориентированной окружности будет положительным, если направление обхода противоположно направлению вращения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Можно показать, что четыре ориентированные прямые , , и в том и только в том случае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку, если

{[],[]}{[],[]}={[],[]}{[],[]}. (31)

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные , , и ориентированной окружности S , касающиеся S соответственно в точках M ,N ,P иQ ; точки [], [], [] и [] обозначены через A , B , C иD . При этом, очевидно, имеем

{A ,B }{C ,D }={A ,P }{P ,B }{C ,Q }{Q ,D }

и

{D ,A }{B ,C }={D ,M }{M ,A }{B ,N }{N ,C }

В силу известного свойства касательных к окружности

{A ,P }={M ,A }, {P ,B }={B ,N }, {C ,Q }={N ,C }, {Q ,D }={D ,M },

значит, во всех случаях выполняется условие (31)

{A ,B }{C ,D }={D ,A }{B ,C }.

Нетрудно убедиться и в том, что если равенство (31) имеет место, то четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку.

Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:

,

или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,

.

Но

и

(т.к. и )

Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:

. (32)

Дуальное число естественно называть двойным отношением четырёх прямых , , и ; обозначать его будем символом W (,,,). Таким образом, условием того, что четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль – точке), является вещественность двойного отношения W (,,,)= этих четырёх прямых.

Последнему условию можно придать вид:

=, (33)

откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми , , и , имеет вид

=. (34)

Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):

, A иC – чисто мнимые. (35)

Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).

Прямую уравнение (35) выражает при

. (36)


2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского

В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l , имеющей полярные координаты , s , двойное число

, (37)

а расходящейся с o прямой m , направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ , – число

, (37а)

где d ={m ,o }={P ,Q } – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m и o , т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых m и o , s ’={O ,Q } – ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).

Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o прямым l и l , отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа

и

,

то прямой m , отличающейся только направлением ототвечающей числу (37а) расходящейся с o прямой m , сопоставим число

. (37б)

Прямые, параллельные оси o , можно рассматривать как предельный случай пересекающих o прямых, отвечающий равенству нулю угла , или как предельный случай расходящихся с o прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d . Так как из формул (37) и (37а) следует, что , соответственно , то естественно отнести параллельным o прямым, направленным в ту же сторону, что и o , делители нуля, т.е. числа вида . При этом прямым, параллельным o в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа , для которых или , т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение равносильно равенству или , а соотношение – равенству или . Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние p ={O ,l } от полюса O до пересекающей o прямой l (рис. 6), отвечающей двойному числу , находится из соотношения

. (38)

Поэтому двум параллельным o прямым n иn ' , удалённым от O на расстояние {O , n }={O , n ' }=p , надо отнести числа (где ), для которых , т.е. числа

и .

Наконец, исходя из соотношения , связывающего двойные числа z и z , отвечающие пересекающим ось o или расходящимся с o прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o прямым n и n (т.е. прямым, параллельным o и противоположно направленным), удалённым от O на расстояние {O , n }={O ,n }=p , числа

и ,

где и – числа, обратные делителям нуля: , (если n и n – две прямые, отличающиеся только направлением, то p = {O , n }=–{O , n }=–p ). Полярной оси o и противооси o (т.е. прямой, отличающейся от o только направлением) сопоставим числа 0 и ∞.

Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные числа z , что (т.к. и ни при каком d ).

Чтобы распространить соответствие между прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём в рассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можно представить, как касательные к абсолюту модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.

Такая прямая k , не параллельная o (т.е. отличная от касательных к в точках пересечения с o ), характеризуется тем, что d ={k ,o }=; при этом следует считать, что d =, если отвечающая k бесконечно удалённая точка S плоскости Лобачевского расположена справа от o , и d =– в противном случае. Общим перпендикуляром k и o естественно считать прямую SQ , перпендикулярную o ; при этом величина s '= {O ,Q } может принимать любое значение и соответственно этому каждому двойному числу , такому, что , можно сопоставить определённую бесконечно удалённую прямую k . Бесконечно удалённым прямым i и i , параллельным o (рис. 7), сопоставим числа и .

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненным числами , , , и ). При этом прямые l , пересекающие полярную ось o , отвечают двойным числам , для которых , т.е. числам, изображаемым на (u ,v )‑плоскости точками области, помеченной на рис. 8 цифрой I. Прямые m , расходящиеся с o и направленные в ту же сторону, что и o , от общего перпендикуляра o и m , отвечают числам z , для которых , т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o прямые m , направленные в противоположную по сравнению с o сторону от общего перпендикуляра m и o , отвечают числам z , для которых , т.е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o прямые n отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми , а противопараллельные o прямые n отвечают числам , (эти числа не имеют изображений на (u ,v )‑плоскости); бесконечно удалённые прямые k отвечают таким числам z , что , т.е. числам, изображаемым точками гиперболы , и ещё двум числам , .

Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения

(а), (б), (в) (21)

выражают симметрию относительно точки O , симметрию относительно прямой o и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:

, или , или , или ;

только в качестве переменных z ' , z и коэффициентов P , Q здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение было положительно (если P и Q – дуальные числа, то последнее условие выполняется автоматически, т.к. произведения и не могут быть отрицательны). Также и ориентированный угол {z , z } между прямыми z и z и ориентированное расстояние d ={[z z ],[z z ]} между точками пересечения прямых z и z с прямой z определяются формулами (27) и (28):

, (27)

. (28)

Из (28) следует, что условием того, что три прямые z , z и z пересекаются в одной точке, является вещественность отношения . Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеет вид

, A – чисто мнимое. (30)


Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:

а)–в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;

г) пучок равного наклона, т.е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;

д) параллельный пучок, т.е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;

е) неориентированную бесконечно удалённую окружность .

При таком понимании термина цикл мы получаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыре ориентированные прямые z , z , z и z плоскости Лобачевского принадлежат одному циклу, является вещественность двойного отношения этих четырёх прямых. Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:

, A иC – чисто мнимые. (35)

Чтобы решить, является ли цикл (35) окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл с бесконечно удалённой окружностью (абсолютом) (т.е. сколько решений имеет система , ) и будет ли вещественным или мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшись этим, получаем:

цикл (35) является окружностью, если

, (39а)

цикл (35) является предельной линией, если

, , (39б)

является эквидистантой, если

, (39в)

параллельным пучком, если

(39г)

пучком равного наклона, если

(39д)

цикл (35) представляет собой абсолют , если

, (39е)

Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:

. (36)


Заключение

дуальное число модуль сопряженный

В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n . Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.

Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.

Литература

Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. – М.: Физматгиз, 1963

Маркушевич А. И. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Наука, 1979


[1] Это утверждение остаётся в силе и в том случае, когда модуль одного или обоих сомножителей равен нулю (т. к. если , то и ; так, например, ).

[2] Нетрудно видеть, что корень целой степени n >1 из дуального числа , модуль которого равен нулю (из числа, являющегося делителем нуля), извлечь нельзя.

[3] В некоторых случаях удобно считать, что аргумент двойных чисел, имеющих вторую из форм (15), является обыкновенным комплексным числом

Arg {r (sh j +ech j )}=j -i.

Это соглашение удобно тем, что в таком случае всегда

z =|z| [ch (Arg z )+esh (Arg z )]

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:47:46 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:22:36 29 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Определение дуальных и двойных чисел

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151303)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru