Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: курсовые

Название: курсовые
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 00:53:49 03 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 363 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Асимптотические методы исследования интегралов с параметром

Курсовая работа

Выполнил: ст-т 4 курса Бутаев Г.Н.

Дагестанский государственный университет

Махачкала 2006

Введение

Многочисленные задачи математики, математической физики,механики,техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида

при больших значениях параметра .

Можно по пальцам пересчитать те случаи,когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны,при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ.Единственное,что остается – это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

1.Основные формулы

Интегралами Лапласа называются интегралы вида

, (1.1)

где -вещественнозначная функция,-большой положительный параметр.Функция

может принимать комплексные значения.Будем считать для простоты,что конечный отрезок и что -достаточно гладкие при функции.Тривиальный

случай не рассматривается.

рис.1

Пусть и достигается только в точке .Тогда функция имеет максимум в точке ,который тем резче,чем больше (рис.1).Интеграл можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума , и это приближение будет тем точнее,чем больше .В этой окрестности функции можно приближенно заменить по формуле Тейлора,и мы получим интеграл,асимптотика которого легко вычисляется.Этот метод был предложен Лапласом.

Пусть .Тогда ;пусть для простоты .Тогда

,

где - малое фиксированное число,и

, .

Следовательно,

.

Заметим,что .Последний интеграл равен

(),

так как

.

Итак,мы получили асимптотическую формулу

(). (1.2)

Пример 1.Вычислим интеграл

. ().

Здесь функция на отрезке [-1,1] имеет максимум в точке ;также

.Все вышеперечисленные условия выполняются, следовательно можно использовать формулу (1.2).

.

Получили формулу:

. ().

Пример 2.Получим асимптотическое разложение гамма-функции Эйлера

Метод Лапласа непосредственно неприменим к этому интегралу, так как функция не имеет максимума на данном интервале.

Представим подинтегральную функцию в виде

и сделаем замену переменной, положив .Тогда имеем:

.

Наш интеграл примет вид:

.

Это интеграл Лапласа: здесь и .Функция достигает максимума при , причем Поэтому по формуле (1.2) получаем

Получили формулу:

Из этой формулы непосредственно следует формула Стирлинга

так как для любого натурального .

Пусть теперь совпадает с одним из концов отрезка, например ,и пусть для простоты .Заменяя интегралом по отрезку и заменяя приближенно на этом отрезке функции

, получаем,что

Заметим,что .Вычисляя последний интеграл,получаем

, () (1.3)

Пример 3.Вычислим интеграл

Здесь функция на отрезке [0,2] имеет максимум в точке ; также

Следовательно, можно применить формулу (1.3):

Получили формулу:

По существу эти две формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.Нам удалось получить простые асимптотические формулы по двум следующим причинам:

1).Подытегральная функция имеет при больших резкий максимум (т.е. интеграл по отрезку I можно приближенно заменить интегралом по малой окрестности точки максимума).

2).В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например,такой,что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).

2.Простейшие оценки Лемма 1.1. Пусть

и при некотором интеграл (1.1) сходится абсолютно:

.

Тогда имеет место оценка

.

3.Лемма Ватсона

Рассмотрим интеграл Лапласа,в котором S-степенная функция

(1.4)

где .Так как в окрестности точки максимума S(x) можно приближенно заменить степенной функцией (вообще говоря),то вычисление асимптотики интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотики эталонных интегралов (1.4).

Получим асимптотические оценки для при . Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть .Тогда при справедливо асимптотическое разложение

(1.5)

Главный член асимптотики имеет вид

(1.5´)

Пример 4.Вычислим интеграл

()

Здесь , функция непрерывна на [0,] .Применим формулу (1.5´):

Получили формулу:

()

4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)

Рассмотрим интеграл Лапласа (см.(1.1)).

Теорема 1.1. Пусть - конечный отрезок и выполнены условия:

1º. достигается только в точке .

2º..

3º. при ,близких к .

Тогда при справедливо разложение

(1.6)

Коэффициенты имеет вид

, (1.7)

Главный член асимптотики имеет вид

, ().

Рассмотрим интеграл

().

Пусть при имеем и функция достигает максимума только в точке .Тогда при справедлива формула

. (1.8)

Пример 5.Вычислим интеграл

Функция положительна для любого ; и достигает максимума на этом отрезке в точке 0.Применяя формулу (1.8), получим

Пусть [a,b]- конечный отрезок и пусть функция достигает

максимума только в точке .Тогда для интеграла

().

справедлива формула

где , если ; , если совпадает с одним из концов отрезка.

Пример 6. Найдем асимптотику при полинома Лежандра

где .

В данном случае . Функция достигает максимума при

и По последней формуле

находим, что

Пример 7.Покажем, что при

Здесь ,.Применяя последнюю формулу,

получим

5.Вклад от внутренней невырожденной точки максимума

Теорема 1.2. Пусть - конечный отрезок и выполнены условия:

1º. достигается только в точке .

2º..

3º. при ,близких к .

Тогда при справедливо разложение

(1.9)

Коэффициенты имеет вид

(1.10)

Главный член асимптотики (1.9) имеет вид

().

Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, за исключением одного:.

Тогда при справедливо разложение

(1.11)

Главный член асимптотики имеет вид

. (1.12)

Пример 8.Покажем, что при

.

Имеем , так что интеграл имеет вид интеграла Лапласа (1.1),

где Функция достигает максимума при , причем

Интеграл выяисляется по формуле (1.12):

Получили формулу:

Пример 9. Покажем, что при

Воспользуемся тождеством

.

Тогда сумма примет вид

.

В данном случае ; остается применить теорему 1.3.

6.Программа и численные результаты

Следующая программа вычисляет интеграл по формуле Симпсона и методом Лапласа:

unit Main;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox1: TGroupBox;

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Label5: TLabel;

StatusBar1: TStatusBar;

Button1: TButton;

Button2: TButton;

GroupBox2: TGroupBox;

Panel1: TPanel;

Panel2: TPanel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

procedure Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

x,v,a,b,r,r2,h,eps,lam,lap: extended;

n: integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Edit1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введитенижнююграницу';

end;

procedure TForm1.Edit2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Введитеверхнююграницу';

end;

procedure TForm1.Edit3MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='ВведитеточностьдляметодаСимпсона';

end;

procedure TForm1.Edit4MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='ВведитепараметрвинтегралеЛапласа';

end;

procedure TForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='';

end;

function f(x,lam:extended):extended; //Подинтегральнаяфункция

begin

f:=(sin(x)+4)*exp(-2*lam*x);

end;

function simpson(a,b:extended;n:integer):extended;

var s,h:extended;

m,mn:integer;

begin

h:=(b-a)/n;

s:=f(a,lam)+f(b,lam);

mn:=4;

for m:=1 to n-1 do begin

s:=s+mn*f(a+h*m,lam);

if (mn=4) then mn:=2 else mn:=4;

end;

simpson:=s*h/3;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Edit1.Text);

b:=StrToFloat(Edit2.Text);

eps:=StrToFloat(Edit3.Text);

lam:=StrToFloat(Edit4.Text);

n:=3;

r:=simpson(a,b,n);

repeat r2:=r;

n:=n+2;

r:=simpson(a,b,n); h:=(b-a)/n;

until (abs(r-r2)<eps);

Panel1.Caption:=FloatToStr(r);

lap:=2/lam;

Panel2.Caption:=FloatToStr(lap);

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm1.Button1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Вычислениеинтеграла';

end;

procedure TForm1.Button2MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

begin

StatusBar1.SimpleText:='Выходизпрограммы';

end;

end.

Пример 3.Для интеграла

при получены результаты:

Пример 1.Для интеграла

получены результаты:

Пример 4.Для интеграла

получены результаты:

Список литературы

Федорюк М.В. «Асимптотика: интегралы и ряды». М.:Наука, 1977.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:47:16 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:22:19 29 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: курсовые

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151241)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru