Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Элементы теории представлений

Название: Элементы теории представлений
Раздел: Рефераты по физике
Тип: реферат Добавлен 14:04:53 24 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 368 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Элементы теории представлений


1. Основы теории представлений.Различные представления волновой функции (различные представления состояний)

2. Обозначения Дирака

3. Преобразование операторов от одного представления к другому

Введение

Для создания новой физической теории необходимо cформулировать систему постулатов, найти математический аппарат, соответствующий физическому смыслу рассматриваемых проблем и установить связь физических фактов с математическим формализмом.

Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развитие дифференциального и интегрального исчисления. В 20-м столетии произошли серьезные изменения в представлениях физиков о математических основах их науки. Закономерности микромира коренным образом отличаются от законов макроскопического мира, объектами которого мы являемся.

Одно из основных понятий квантовой механики – понятие состояния квантово-механической системы. Смысл этого понятия в квантовой и классической физике различен. Содержание понятия состояния квантово-механической системы будет выясняться постепенно в процессе изучения.

Информацию о состоянии системы получают в процессе измерения, т.е. при взаимодействии квантовой системы с макроскопическим прибором. Поэтому результаты измерения характеризуются теми же физическими величинами, которые используются в классической макроскопической физике. Физические величины в квантовой механике часто называют динамическими переменными или наблюдаемыми. В квантовой механике физические величины имеют иную математическую природу, чем в классической, потому что состояния квантово-механической системы и динамические переменные "взаимосвязаны весьма странным образом, который непостижим с классической точки зрения". [1, c31].

В квантовой механике изучаются такие явления, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранее понятий. Ведь наш язык – это "слепок с обыденного опыта человека, он никогда не сможет выйти за пределы этого опыта. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент".[1]

При изучении явлений, происходящих на ином структурном уровне организации материи, на помощь приходит другой язык – математика. "Математика есть орудие, специально приспособленное для овладения всякого рода абстрактными понятиями и в этом отношении ее могущество беспредельно". [1, c13]. "Тем не менее, – считает П. Дирак, – математика есть лишь орудие, и нужно уметь владеть физическими идеями безотносительно к их математической форме". (Там же). Выбор математических методов, адекватных физической сущности задачи, возможно более полное прослеживание аналогий между понятиями и методами математики и физики способствует формированию современного физического мышления. В то же время освоение абстрактных математических объектов возможно только при их реализации физическими объектами.

Для описания квантовых свойств материи может быть использован различный математический аппарат. В 1925г. Вернером Гейзенбергом была создана матричная механика. В этом же году, но немного позже, Э. Шрёдингер создал волновую механику. Он доказал также, что обе формулировки эквивалентны. Наиболее изящная формулировка квантовой механики создана в 1930г английскими физиком П. Дираком. Именно эта формулировка сейчас чаще всего используется. Все формулировки квантовой механики эквивалентны, могут быть преобразованы друг в друга и приводят к одинаковым физическим результатам.


1. Основы теории представлений. Различные представления волновой функции (различные представления состояния)

Состояния квантово-механической системы характеризуется волновой функцией или амплитудой вероятности. Независимые переменные, функцией которой она является, могут быть различными. Например, декартовы координаты системы

,

значения ее импульса

и т. п. Буквы, обозначающие независимые переменные, называют индексом представления. Индекс волновой функции (в данном случае ) обозначает набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые характеризуют данное состояние. Поэтому этот индекс обычно называют индексом состояния.

Если волновая функция зависит от координат, то описание состояния с помощью такой функции называют координатным представлением. Например, для свободной частицы, движущейся вдоль оси , в координатном представлении.

Волновую функцию , характеризующую состояние системы, можно разложить в ряд по собственным функциям оператора динамической переменной . Если этот оператор имеет дискретный спектр собственных значений, т. е.

, то

Коэффициенты разложения определяются из выражения

(Здесь, как и раньше, – произведение дифференциалов независимых переменных). В § 2.4.2 был выяснен физический смысл этих коэффициентов: есть вероятность того, что в состоянии, описываемым -функцией, физическая величина, представляемая оператором , имеет значение . Таким образом имеет смысл амплитуды вероятности, если независимой переменной является величина . Совокупность амплитуд является волновой функцией в - представлении. Эту совокупность можно представить в виде матрицы с одним столбцом

Если спектр собственных значений оператора непрерывный, то аналогично имеем

Пример 1. Записать скалярное произведение двух функций и в - представлении.

Компоненты и в - представлении находим, раскладывая эти функции в ряд по собственным функциям оператора :

, (Ι)

(ΙΙ)

(ΙΙΙ) (ΙV).

Подставляем разложение (Ι) и (ΙΙ) в скалярное произведение функций:

.

Меняя местами знаки суммирования и интегрирования и учитывая ортонормированность собственных функций оператора получаем:

.

Чтобы получить такое выражение по правилу умножения матриц, следует перемножить матрицу-строку

(V)

на матрицу-столбец (ΙΙΙ):

Матрица (V) транспонирована по отношению к матрице (ΙV) и ее элементы комплексно сопряжены с элементами последней. Такая матрица называется сопряженной с и обозначается . Таким образом, комплексно сопряженной функции под знаком интеграла соответствует сопряженная матрица.

2. Обозначения Дирака

Проведена аналогия между собственными функциями эрмитовых операторов и ортами прямоугольных координатных осей. Продолжим ее обсуждение.

Вектор в - мерном пространстве задается совокупностью , вообще говоря, комплексных величин, называемых компонентами этого вектора

Аналогия между соотношениями и очевидна. Выражение определяет вектор через его проекции на оси координат в многомерном пространстве. Выражение является разложением -функции по собственным функциям некоторого оператора. Систему ортонормированных собственных функций , следовательно, можно рассматривать как базис в бесконечномерном пространстве, а величины – как компоненты -функции по осям этого базиса. В зависимости от выбора базиса (т. е. от выбора системы собственных функций, следовательно, от выбора представления) получается та или иная совокупность компонент .

Переход от одного представления к другому геометрически означает переход от системы координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) одного оператора к системе координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) другого оператора. Таким образом, квантовое состояние микрообъекта не обязательно должно характеризоваться волновой функцией в реальном пространстве. Квантовое состояние не сводится к одной какой-то совокупности амплитуд вероятности

и т. п. Каждая из этих совокупностей отражает одну из сторон понятия квантового состояния и является одной из возможных его реализаций. Аналогично, вектор в - мерном евклидовом пространстве может быть представлен совокупностью его проекций в различных системах координат:

,

и т. п. Здесь – базисные векторы (орты), например, в сферической системе координат, – в декартовой.

Данная аналогия привела П. Дирака к мысли характеризовать состояние системы вектором состояния в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Вектор состояния он предложил обозначать символом . В середине скобки, по Дираку, должен помещаться индекс состояния, т. е. величина или набор величин, которые определяют состояние системы. Например, если система находится в состоянии с энергией , то записывают или . Этот вектор состояния называют кэт-вектором. Он характеризует состояние системы независимо от выбора представления. Кэт-вектору сопоставляется бра-вектор, обозначаемый зеркально отраженной скобкой . Бра-вектор связан с кэт-вектором соотношением =+ . Например, если совокупность компонент кэт-вектора представлена в виде матрицы

=, то =+ =.

Внутри скобки помещается индекс представления. Например, | означает, что используется координатное представление. Скалярное произведение кэт и бра-векторов обозначается полным скобочным выражением и представляет собой число. Например, волновая функция в - представлении с помощью скобок записывается так: . Волновая функция свободной частицы, находящейся в состоянии определенным значением импульса в координатном представлении (время фиксировано):

,

Название «бра» и «кэт» соответствуют двум частям английского слова «bracket» (скобка).

Волновая функция (амплитуда вероятности), как известно, характеризует вероятность результатов измерений, проводимых над системой. Скобочное выражение составлено так, что справа указывается начальное состояние, а слева – то, в которое переходит система при измерении, т. е. конечное. Таким образом, скобочная запись читается справа налево. Например, есть амплитуда вероятности того, что система будет иметь координату , если она находится в состоянии характеризуемом импульсом .

Уравнение собственных значений в обозначениях П. Дирака можно записать в виде:

Здесь собственный вектор состояний обозначается той же буквой, что и соответствующее собственное значение. Запишем, пользуясь этими обозначениями, выражение. Пусть вектор состояния системы, а – базисная система векторов. Тогда

>=, где

Вектор состояния системы – понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выбора независимых переменных (представления) вектору состояния могут соответствовать различные волновые функции: в координатном представлении – , в импульсном – , в энергетическом – и т.д. Т.е. волновая функция есть проекция вектора состояния на соответствующий базисный вектор.

Получим в обозначениях Дирака условие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным при использовании этого формализма.

Пусть - единичный оператор, который любому вектору состояния ставит в соответствие тот же вектор:

Представим в виде разложения по ортонормированному базису (т.е. по системе собственных векторов оператора ):

Подставляем это разложение в:

В силу произвольности вектора получаем


Это соотношение и является условием полноты в обозначениях Дирака.

Пример. Записать в обозначениях Дирака среднее значение физической величины представленной оператором , если состояние системы характеризуется вектором состояния . (Спектр собственных значений оператора считать дискретным).

Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности:

Здесь - собственные значения оператора , - его собственные векторы и - волновая функция системы в - представлении. Преобразуем выражение для среднего значения, пользуясь свойством скалярного произведения

В последнем преобразовании использовано условие полноты

Таким образом, в обозначениях Дирака

квантовый представление волновой состояние

3. Преобразование операторов от одного представления к другому

Пусть оператор задан в координатном представлении и переводит функцию в функцию :

Разложим функции и в ряд по собственным функциям оператора . Спектр собственных значений этого оператора для определенности будем считать дискретным

:

Совокупность амплитуд есть волновая функция в -представлении, совокупность амплитуд - волновая функция в -представлении. Подставим разложение (3.3.2) и (3.3.3) в (3.3.1):

Умножим левую и правую части этого равенства на и проинтегрируем по всей области изменения независимых переменных. Знаки суммирования и интегрирования меняем местами. Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, т.е.


, имеем

Вводя обозначение

получаем

Если спектр оператора непрерывен, имеем аналогично

Таким образом, с помощью набора величин можно волновую функцию в - представлении, являющуюся совокупностью амплитуд, превратить в волновую функцию в том же представлении. Поэтому совокупность величин является оператором в - представлении. Его можно представить в виде матрицы:

Величины называют матричными элементами. В обозначениях Дирака

Итак, операторы квантовой механики могут быть представлены в матричной форме. Поскольку в квантовой механике применяются только эрмитовы операторы, удовлетворяющие условию, т о.

Такие матрицы называют самосопряженными или эрмитовыми.

Таким образом, каждой физической величине соответствует не один, а множество операторов. Вид оператора данной физической величины зависит от выбора независимых переменных. Зная оператор физической величины в одном представлении, можно найти его в других представлениях. Например, если известен вид оператора в -представлении, то для получения его в матричной форме в -представлении надо воспользоваться собственными функциями оператора в -представлении в соответствии с формулой (3.3.4). Свойства физической величины (эрмитовость ее оператора, спектр собственных значений, среднее значение и т.д.) не зависят от выбора представления. (Аналогия с принципом относительности Эйнштейна: законы природы инвариантны (неизменны) при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой).

Пример. Найти матричные элементы оператора в его собственном представлении.

В этом случае в (3.3.4) – собственная функция оператора :


С помощью этого уравнения преобразуем выражение для матричного элемента (3.3.4):

Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, получаем: . Таким образом, в своем собственном представлении любой оператор в матричной форме является диагональной матрицей, диагональные элементы которой равны собственным значениям этого оператора:

Итак, чтобы найти собственные значения оператора, заданного в форме матрицы, нужно привести эту матрицу к диагональному виду.

Пример. Записать среднее значение физической величины, представляемой оператором , в матричной форме.

Пусть в выражении

волновая функция и оператор заданы в координатном представлении. Перейдем к - представлению. Воспользуемся разложением (3.3.2) функции в ряд по собственным функциям оператора . Подставляя в выражение для среднего значения и меняя местами знаки суммирования и интегрирования, получаем

Совокупность есть матрица с одним столбцом. Совокупность - сопряженная матрица с одной строкой. Поэтому (3.3.8) можно записать как произведение соответствующих матриц:

где - оператор в - представлении.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют индексом состояния? индексом представления?

2. Как, зная волновую функцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении?

3. Как, зная вид оператора в одном представлении, найти его в другом представлении?

4. Определите понятие матричного элемента оператора.

5. Что представляет собой матричные элементы оператора в его собственном представлении?

6. Что такое вектор состояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между и ?

7. Какая связь между вектором состояния системы и ее волновой функцией?

8. Записать в обозначениях Дирака волновую функцию системы в - представлении и в - представлении, если ее вектор состояния .

9. Изменяется ли среднее значение физической величины при переходе к другому представлению?

10. Записать в матричной форме (в - представлении) выражение для среднего значения величины, соответствующей оператору .

Упражнения

3.1 Найти операторы координаты и импульса в импульсном представлении.

Решение. Для простоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси . В координатном представлении

, (см §2.7).

В импульсном (т.е. в своем собственном) представлении . Найдем оператор координаты.

Способ 1. Воспользуемся тем, что среднее значение физической величины не зависит от используемого представления:


(I)

В левой части равенства все величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях определяется соотношением

,

Где

- собственная функция оператора в координатном представлении. Поэтому

(II)

Подставляем это выражение в левую часть равенства (I):

(III)

Множитель в подынтегральном выражении правой части равенства найдем из соотношения:


.

Получаем:

.

Пользуясь этим соотношением, преобразуем правую часть равенства (III):

(IV)

При интегрировании по получаем

,

так как и . (Состояние с бесконечно большим импульсом невозможно.) Учитывая этот результат, перепишем равенство (IV):

(V)

Так как

=

правую часть соотношения (V) можно переписать в виде

Используя свойство -функции (2.6.3) находим интеграл по :

Учитывая сделанные преобразования, переписываем равенство (V):

Сравнивая это выражении с соотношением (I) получаем

Способ 2. В матричной форме оператор координаты в импульсном представлении является бесконечной непрерывной матрицей с матричными элементами:


Здесь - собственная функция оператора импульса в координатном представлении

Подставляя значение функции в формулу для матричного элемента, получаем

Соотношение

показывает как оператор в матричной форме переводит одну функцию в импульсном представлении в другую также в импульсном представлении (См(3.3.6)). Подставляем в правую часть этого соотношения значение матричного элемента и интегрируем по частям:

Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку импульс не может быть бесконечно большим. Второе слагаемое преобразовываем, используя свойство -функции (2.6.3):

Поэтому

Следовательно, координате в импульсном представлении соответствует дифференциальный оператор

4. Задания, для контрольной проверки знаний

I. Проверить, коммутируют ли приведенные ниже операторы?

1. и

2. и

3. и , где

4. и

5. и

II . Найти операторы, сопряженные с приведенными ниже. Определить какие операторы являются эрмитовыми.

1.

2.

3.

4.

5.

III . Доказать:

1. если операторы и эрмитовы и коммутируют, то оператор также эрмитов;

2. если операторы и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор эрмитов;

3. если операторы и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор эрмитов;

4. если операторы и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор не эрмитов;

5. если оператор линейный, то оператор эрмитов;

IV . 1. Найти собственные функции и собственные значения оператора


,

если

,

где – постоянная величина

2. Найтисобственные функции и собственные значения оператора

(Оператор задан в сферических координатах).

3. Найтисобственные функции и собственные значения оператора

(Оператор задан в сферических координатах).

4. Найти собственные функции и собственные значения оператора

,

если .

5. Найти собственные функции и собственные значения оператора


V . 1. Вычислить среднее значение для одномерного гармонического осциллятора, состояние которого описывается функцией

, где

2. Вычислить среднее значение кинетической энергии

линейного гармонического осциллятора, если состояние его описывается функцией

, где

3. Волновая функция состояния частицы имеет вид

,

где - вещественная функция. Найти средний импульс частицы в этом состоянии.

4. В некоторый момент времени частица находится в состоянии


,

где и - постоянные. Найти среднее значение ее координаты .

5. Найти среднее значение физической величины, представляемой оператором

,

если состояние частицы описывается функцией .

VI . Определить возможные значения физической величины, представляемой оператором

и их вероятности для системы, находящейся в состоянии:

1.

2.

3.

4.

5.

(Оператор задан в сферических координатах)

Литература

1. Дирак П. Принципы квантовой механики.– М: Наука, 1979.

2. Вакарчук І.О. Квантова механіка: Підручник.– Львів: ЛДУ ім.. І. Франка, 1998.

3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1983.

4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.

6. Юхновський І.К. Квантова механіка. Київ: Либідь, 1995.

7. Федорченко А.М. Теоретична фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2.

8. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.

9. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Из-во иностр. лит., 1959.

10. Мессиа А. Квантовая механика: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1.

11. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: «Высшая школа», 1991.

12. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.

13. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.

14. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, М.:1982.


[1] Бор.М. Атомная физика. – М.: Мир, 1965, с 119

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:46:39 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:22:02 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Элементы теории представлений

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150931)
Комментарии (1842)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru