Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів

Название: Застосування симетричних многочленів
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 00:28:58 29 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 1238 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Сумський держаний педагогічний університет імені А. С. Макаренка

Кафедра математики

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри

на тему: «ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ»

Студенки 3 курсу 432 групи

напряму підготовки 0402 фізико-математичних наук

спеціальності 6.040203 математика

Рудченко Олени Володимирівни

Керівник викладач кафедри математики

Друшляк Марина Григорівна

м. Суми – 2010 р.


ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРО СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Загальні поняття про симетричний многочлен

1.2 Властивості симетричних многочленів

РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв’язування систем рівнянь

2.2 Доведення тотожностей

2.3 Звільнення від ірраціональності

2.4 Вилучення коренів

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ


ВСТУП

Важливе місце в курсі алгебри посідають симетричні многочлени та, зокрема, застосування симетричних многочленів при розв’язуванні рівнянь, систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожностей, звільнення від ірраціональності у дробах тощо. Цими питаннями займалися багато вчених, зокрема, Франсуа Вієт.

Франсуа Вієт розробив ряд важливих питань теорії рівнянь 1 — 4 степенів. Він сформулював і довів кілька теорем про взаємозв'язки між коренями і коефіцієнтами рівнянь, зокрема, й теорему про зведене квадратне рівняння (теорема Вієта). На сьогоднішній день теорема Вієта є необхідною і важливою частиною шкільної програми.

Дана курсова робота складається з вступу, двох розділів, висновків і списку використаних джерел. Перший розділ «Теоретичні положення про симетричні многочлени та їх властивості» складається з двох параграфів. Вони присвячені загальним поняттям та основним властивостям симетричних многочленів. Другий розділ «Застосування симетричних многочленів» містить в собі приклади застосування симетричних многочленів на практиці. Розділ складається з чотирьох параграфів. Вони присвячені застосування симетричних многочленів до розв’язуванні систем рівнянь, доведення тотожностей, звільнення від ірраціональності у дробах та вилучення коренів.

властивість рівняння симетричний многочлен


РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРО СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Загальні поняття про симетричний многочлен

Серед найбільш важких завдань на розв’язання систем рівнянь вищих степенів є наступні:

Усі ці системи мають одну загальну властивість - ліві частини рівнянь є многочленами, у які x і y входять однаковим способом.

Означення. Многочлен від x і y називають симетричним, якщо він не змінюється при заміні x на y, та y на x.

Означення. Симетричний многочлен — многочлен від n змінних F(x1 , x2 , …, xn ), що не змінюється при всіх перестановках змінних. Тобто многочлен F є R [x1 , x2 , …, xn ] від n змінних над комутативним кільцем R є симетричним якщо для довільної перестановки.

Справедлива рівність: F(x1 , x2 , …, xn )

Симетричні многочлени утворюють підалгебру R-алгебри R [x1 , x2 , …, xn ] многочленів від n змінних над кільцем R.

Многочлен x2 y + xy2 - симетричний. Навпаки, многочлен x3 - 3y2 не є симетричним: при заміні x на y , а y на x він перетворюється на многочлен y3 - 3x2 , який не збігається з первинним.

Приведемо найважливіші приклади симетричних многочленів. Як відомо з арифметики, сума двох чисел не міняється при перестановці доданків, тобто:

x + y = y + x

для будь-яких чисел x і y . Ця рівність показує, що многочлен x + y є симетричним. Так само із закону комутативності множення xy = yx

витікає, що добуток xy є симетричним многочленом. Симетричні многочлени x + y і xy є найпростішими. Їх називають елементарними симетричними многочленами від x і y . Для них використовують спеціальні позначення:

Кожен многочлен від основних симетричних, є симетричним.

Окрім і , часто зустрічаються так звані степеневі суми, тобто многочлени x2 + y2 , x3 + y3 , . . ., xn + yn , . . . Прийнято означати многочлен xn + yn через sn . Таким чином,

. (1)

Ця формула дозволяє послідовно знаходити Sn через і . Так за допомогою цієї формули можна послідовно знайти:


;

і т . д. У таблиці 1 зведені вирази степеневих сум s1 , s2 , . . ., s10 через і ці вирази будуть нам корисні при розв’язанні задач.

Таблиця 1 Вираження степеневих сум sn = xn + yn через

1.2 Властивості симетричних многочленів

Встановимо тепер деякі елементарні властивості довільних симетричних многочленів.

1. Сума, різниця і добуток симетричних многочленів над деяким полем Р є симетричними многочленами над цим полем.

Це твердження очевидне.

Наслідок.

Множина всіх симетричних многочленів над полем Р утворює область цілісності з одиницею відносно дій додавання і множення. Зрозуміло, що це кільце є підкільцем всіх многочленів над полем Р.

2. Якщо симетричний многочлен f (x1 , x2 , …, xn ) містить деякий член

(2)

то він містить і член, утворений з (2) внаслідок будь-якої перестановки показників .

Доведення. Оскільки, як відомо, від довільної перестановки показників до всякої іншої перестановки цих показників можна перейти за допомогою скінченного числа транспозицій, то досить показати, що при транспозиції довільних двох показників степенів у члені (2) ми дістаємо знову деякий член симетричного многочлена

f (x1 , x2 , …, xn )

Виконуючи, наприклад, транспозицію показників , та , матимемо член

(3)

За означенням симетричного многочлена

f (, , …, xn ) = f (, , …, xn )

Але другий з цих многочленів повинен містити член (3), бо його дістаємо з члена (2) заміною на і навпаки. Тому внаслідок єдиності канонічної форми і даний многочлен повинен містити член (3).

Наслідок. Якщо

(4)


є вищий член симетричного многочлена, то .

Доведення.Справді, припустимо супротивне, тобто що при якомусь . На підставі властивості 2 даний многочлен разом з членом (4) містить і член

(5)

Але з умови випливає, що член (5) вищий за член (4), тобто член (4) не може бути вищим у многочлені. Ця суперечність доводить наше твердження.

Також можна сформулювати таку важливу властивість симетричних многочленів, яку називають основною теоремою.

Теорема1 (Основна теорема теорії симетричних многочленів): Всякий симетричний многочлен f (x1 , x2 , …, xn ) від п змінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій цих змінних, коефіцієнти якого належать тому самому полю Р. І таке зображення єдине.

Доведення. Зробимо насамперед такі зауваження.

1) Усіх членів певного степеня L, утворених з даних змінних x1 , x2 , …, xn (не враховуючи подібних), може бути лише скінченне число; це число, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна подати як суму n невід'ємних цілих упорядкованих доданків.

2) Теорему досить довести для однорідних симетричних многочленів, бо всякий симетричний многочлен можна подати як суму однорідних симетричних многочленів. Справді, всякий многочлен є сумою однорідних многочленів. Якщо ж даний многочлен симетричний, то й кожний складовий однорідний многочлен повинен бути симетричний, бо при переставлянні змінних x1 , x2 , …, xn кожний член може перейти лише в член того самого степеня, тобто в інший член того самого однорідного складового многочлена.

3) Вищий член будь-якого симетричного многочлена можна подати як вищий член деякого добутку основних симетричних функцій

Справді, розглянемо добуток

(6)

За наслідком з властивості 2, всі степені — невід'ємні числа, тому (6) є многочленом від x1 , x2 , …, xn . За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку вищих членів многочленів (причому піднесення до степеня слід розглядати як множення однакових многочленів). Оскільки вищі члени дорівнюють відповідно x1 ; x1 x2 ;…; x1 x2 … xn-1 ; x1 x2 … xn-1 xn , то вищий член добутку (6) дорівнює:

тобто (як це видно після елементарних перетворень) збігається з заданим членом

Після цих зауважень легко довести теорему.

1) Доведення Існування. Нехай вищий член симетричного многочлена f (x1 , x2 , …, xn ) (який ми в результаті зауваження 2 можемо вважати однорідним многочленом степеня N) дорівнює

(7)

Побудуємо симетричний многочлен


Згідно з зауваженням 3, вищий член цього многочлена дорівнює (7). Крім того, він однорідний, бо такими є всі многочлени , а тому, очевидно, і їх добуток. Степінь многочлена дорівнює степеню многочлена f (x1 , x2 , …, xn ) бо в них однакові вищі члени.

Візьмемо

f1 (, , … xn ) f (, , xn ) - .

Зрозуміло, що f (, , xn ) — також однорідний симетричний многочлен степеня N. Але (, , xn ) вже не містить усіх членів цього степеня. Справді, він не містить вищого члена (7), який у цій різниці знищується. Крім того, в цій різниці знищуються всі n! членів, які дістаємо з вищого члена перестановкою показників бо ці члени, за властивістю 2, входять в обидва симетричні многочлени.

Тепер зрозуміло, що (, , xn ) може містити лише члени, нижчі за (7). Застосовуємо до цього многочлена той самий метод. Нехай вищий член многочлена має вигляд:

(8)

Вважаючи

B

і утворюючи різницю:


f2 (, , … xn ) f1 (, , xn ) - ,

бачимо, що (, , xn ) є симетричний і однорідний многочлен степеня N, який не може містити ні члена (7), ні члена (8), а тільки члени, нижчі за них. Оскільки, взагалі, різних членів степеня N може бути лише скінченне число (зауваження 1), то, продовжуючи цей процес, ми на якомусь кроці обов'язково дістанемо, що різниця

fk+1 (x1 , x2 , …xп ) = fk (x1 , x2 , …xп ) - gk (x1 , x2 , …xn )

не може містити жодного члена степеня N, тобто дорівнює нулю. Тоді з рівностей

,

,

.

випливає, що

.

А оскільки всі виражені через добутки то многочлен f (, , xn ) подано як многочлен від основних симетричних функцій f (, , xn ) = (9)

коефіцієнти якого знайдено з коефіцієнтів даного многочлена за допомогою операцій додавання і віднімання і тому належать полю Р. Теорему доведено. Справедлива також теорема про є д.и н і с т ь многочлена

2) Доведення єдиності.

Нехай маємо

f (, , xn ) =

f (, , xn ) =

Тоді різниця

=

повинна дорівнювати нулю при будь-яких значеннях x1 , x2 , …, xn .

Зауважимо, що многочлен можна розглядати двояко:як многочлен від x1 , x2 , …, xn (бо від цих змінних залежать ) і як многочлен від нам треба розглянути останнє. Єдиність зображення (9) полягає саме в тому, що многочлени, мають однакові відповідні коефіцієнти, тобто що многочлен має коефіцієнти які дорівнюють нулю, в усіх членах . Але залежні між собою, бо виражаються через ті самі змінні , , xn . У зв'язку з цим поряд з многочленом від залежних змінних розглянемо такий самий многочлен від незалежних змінних . Тепер нам треба довести, що коли той . Те саме можна сформулювати й інакше: нам треба довести, що коли , то тоді й .

Доведемо це методом математичної індукції по n. Нехай n=1 і . Через те, що в цьому разі дорівнює x1 , то , бо , що те саме, що й

Нехай тепер п > 1, і наше твердження правильне для будь-якого числа змінних, меншого п. Чи може бути воно несправедливим для якогось многочлена від п змінних? Припустимо, що це так і існує многочлен такий, що , але . Подамо за степенями yп

де — многочлени від , за нашим припущенням

(11)

Оскільки , то хоч би один з його коефіцієнтів в (10) не дорівнює нулю. Завжди можна вважати, що . Якщо , то надалі міркування проводять відносно многочлена , який дістаємо з після скорочення на. Виходить, що при уп = 0

(12)


З другого боку, візьмемо в (11) хп = 0. Тоді , а інші , перетворюються в основні симетричні функції від (п- 1) змінних. Позначимо їх через .Отже, при хп = 0 з (11) дістаємо:

, 0) = (13)

Порівнюючи (12) з (13) бачимо, що ми прийшли до суперечності з припущенням індукції, а тому висловлене твердження справедливе і для п.

Єдиність зображення (9) доведено.

З основної теореми теорії симетричних многочленів можна зробити важливий висновок.

Теорема 2: Якщо f(x ) — многочлен від однієї змінної над полем Р з коренями (які можуть не належати Р), то будь-який симетричний многочлен f (x1 , x2 , …, xn ) над полем Р при набуває значення, яке є елементом поля Р.

Доведення. Нехай дано якийсь многочлен n-го степеня від одного змінного (в зведеному вигляді) над полем Р:

(14)

Позначимо корені цього многочлена через ; вони можуть і не належати полю Р. Візьмемо тепер довільний симетричний многочлен над Р від п змінних. За основною теоремою теорії симетричних многочленів, многочлен можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій з коефіцієнтами з поля Р, тобто


Візьмемо тепер тут . Тоді за формулами Вієта всі основні симетричні функції дорівнюватимуть відповідним коефіцієнтам многочлена (14) з належним знаком:

……………………………………………………………

У зв'язку з цим

Але тоді елемент поля Р як результат ви конання операцій додавання і множення над елементами з поля Р. Таким чином, . Отже, ми довели таке твердження.

У ряді питань доводиться зустрічатися з задачею побудови за даним многочленом f ) є Р [х ] з коренями такого многочлена g(у ), корені якого виражаються через відповідні корені за допомогою деякого многочлена у = f(х ) над полем Р; . Найпростіші задачі такого типу зустрічаються в шкільному курсі алгебри для Р = Q. Оскільки коефіцієнти многочлена g(у ) відповідно до формул Вієта визначаються рівностями

……………………………………………………………

,


то вони є значеннями деяких симетричних многочленів над Р, аргументи яких є коренями даного многочлена f(х ). З oсновної теореми теорії симетричних многочленів випливає, що завжди можна знайти вираз коефіцієнтів через коефіціeнти даного многочлена, а з теореми 3 зрозуміло, що знайдений многочлен належатиме тому самому кільцю Р [х ], що й даний многочлен.

Зауважимо, що сказане залишається справедливим і для більш загального випадку, коли , де - довільні симетричні многочлени над полем Р.

Розглянутий вище метод доведення основної теореми можна використати для практичного зображення симетричних многочленів через основні симетричні функції.

Приклад. Подати симетричний многочлен над полем

+

+

через основні симетричні функції. Як і при доведенні теореми, запишемо цей многочлен як суму однорідних многочленів. Дістанемо:

де

Спочатку подамо через основні симетричні многочлени. Вищий його член є . Згідно з методикою доведення теореми, від слід відняти многочлен


бо система показників у вищому члені є 2, 1, 0. Але немає потреби фактично виконувати це віднімання. Спираючись на можливість і єдиність зображення даного многочлена у вигляді многочлена досить визначити можливий вигляд членів і скористатися методом невизначених коефіцієнтів.

У різниці знищаться всі члени виду з довільною перестановкою показників 2, 1, 0. Проте одночасно можуть з'явитися члени того самого степеня 3, але з іншою, нижчою системою показників, а саме: 1, 1, 1. Отже, потім треба буде відняти симетричний многочлен

Тому можна записати: ,

де а — невизначений поки що коефіцієнт, тобто:

Щоб знайти а, досить надати деяких числових значень змінним наприклад = 1. Тоді дістанемо 6 = 9 + а. Отже, а = 3. Таким чином,

Аналогічно міркуватимемо відносно многочлена

Можливі системи показників тут будуть 2, 0, 0 і 1, 1, 0. Отже, відніматимемо такі многочлени:

І далі, аналогічно до попереднього, . При = 1 маємо 3 = 32 + b 3, тобто b = 2 і тому

(15)

Отже, дістаємо остаточно


РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв’язування систем рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих . За основною теоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки є многочленом другої степені від x, y). Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих простіше, ніж розв’язування первинної системи.

Після того, як знайдені значення величин , треба знайти значення первинних невідомих x, y . Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми

Теорема. Нехай - два довільні числа. Квадратне рівняння

(*)

і система рівнянь

(**)

пов'язані один з одним таким чином: якщо z1 , z2 – корні квадратного рівняння (*), то система (**) має два розвязки:

і інших розв’язків не має; якщо x = a, y = b - розвязки системи (**), то числа a і b є коренями квадратного рівняння (*).

Доведення. Якщо z1 і z2 – корні квадратного рівняння (*), то по формулах Вієта

тобто числа

є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, витікає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.

Отже, нехай x = a, y = b - розв’язок системи (**), тобто

ab =.

Тоді ми маємо

Але це означає, що числа a і b являються коренями квадратного рівняння (*). Теорема доведена.

Наведемо приклади.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

Введемо нові невідомі знаходимо:


а тому для нових невідомих отримуємо наступну систему рівнянь:

З цієї системи рівнянь отримуємо .

Отже, тобто для первинних невідомих x, y ми отримуємо наступну систему рівнянь :

Ця система рівнянь легко розв’язується, і ми отримуємо наступний розв’язок первинної системи:

Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання проводиться аналогічно. Вважаючи, що приводимо початкову систему до вигляду

Звідси для отримуємо квадратне рівняння

Чи


З цього рівняння знаходимо два значення для:

Таким чином, для первинних невідомих x, y отримуємо дві системи рівнянь:

та Розв’язавши ці системи, знаходимо чотири розв’язки первинної системи:

2.2 Доведення тотожностей

У цілому ряді завдань на доведення тотожності також з успіхом можуть бути застосовані елементарні симетричні многочлени. За основною теоремою симетричних многочленів, кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від,

Таблиця 2. 1 Вирази степенних сум через,


Кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від , , за умови, що .

Таблиця 2.2 Вирази степенних сум через при виконанні умови

Існують одночлени, які не змінюються при перестановці змінних – симетричні одночлени. Легко побачити, що усі змінні в такий одночлен повинні входити в одному і тому ж степені, тобто цей одночлен повинен збігатися з добутком (взятий з деяким числовим коефіцієнтом).

Якщо показники степеня одночлена є різними то цей одночлен не є симетричним. Щоб отримати симетричний одночлен, одним із доданків, якого є, необхідно додати до нього інші одночлени.

Позначимо через O – многочлен з найменшим числом членів, одним із доданків, якого є одночлен, цей многочлен має назву орбіта.

Для отримання орбіти одночлена необхідно додати до нього одночлени отримані за допомогою перестановок змінних x, y, z. Якщо три показники степеня (k, l, m ) не рівні між собою, то орбіта O( буде складатися з шести членів. Наприклад:

О(

Частинним випадком таких орбіт є степеневі суми:


O(

Якщо k = l = m, то орбіта є одночленом:

О(.

З цих формул за допомогою співвідношень

(*)

Якщо k = l , то отримаємо

(**)

З цього легко отримати вирази орбіт O(xk yl ) через за умови, що

У таблиці 2.3 наведені вирази деяких орбіт O(xk yl ) через ,

Таблиця 2.3 Вирази орбіт O(xk yl ) через

Наприклад,


Приклад 1. Довести, що якщо x + y + z = 0, то

За таблицею 2.1 маємо:

.

За умовою s1 = x + y + z = 0, і тому .

Приклад 2 . Довести, що якщо

x + y + z = , то xyz = 0 .

Умова завдання записується у вигляді

З цієї системи рівності знаходимо, що s2 =0 і s3 = 0. Рівність s3 =0 і означає, що xyz=0 .

Приклад 3 . Довести, що якщо x + y + z = 0 і xy + xz + yz = 0, то справедлива рівність

З наведеної таблиці 2.3, легко знаходимо (за умов ) :


крім того, згідно таблиці 2.2:

З цих співвідношень безпосередньо витікає доводжувана рівність.

Приклад 4 . Довести, тотожність

Для доведення позначимо число (– a – b) через c: с = – a – b.

Тоді a + b + c = 0 і можна застосувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Ліва частина доводжуваної тотожності перетвориться таким чином:

а права - таким чином:

Таким чином, доводжувана рівність справедлива.

Вказані способи доведення тотожності нерідко застосовуються у поєднанні з наступним прийомом: якщо обидві частини, тієї тотожності, що доводимо, виражається через різниці a b, b c, c a, то зручно зробити заміну x = a b, y = b c, z = c a , тоді x + +y + z = (a b)(b c)(c a) = 0 і тому можна застосовувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Той же прийом можна застосовувати при розкладанні на множники многочленів, що виражаються через різниці a b, b c, c a. Розглянемо приклад.

Приклад 5 . Розкласти на множники многочлен

Вважаючи, що x = a b, y = b c, z = c a, знаходимо:

Ми скористались формулою , запропонована у таблиці 2. 2.

2.3 Звільнення від ірраціональності

Симетричні многочлени дозволяють розв’язати багато важких завдань про звільнення від ірраціональності в знаменнику. У разі, коли знаменник має вигляд або цю задачу можна вирішити і без застосування симетричних многочленів. Для цього досить використовувати формули


Складніше йде справа, якщо знаменник складається з трьох або більшого числа ірраціональних доданків. Тут і можуть допомогти симетричні многочлени. Розглянемо наступні приклади.

Приклад 1. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Покладемо Тоді знаменник є не чим іншим, як елементаpним симетричним многочленом Спробуємо підшукати множник, після множення на який знаменник вдасться виразити через статечні суми s2 і s4 . Оскільки ці степеневі суми мають вигляд

знаменник стане раціональним виразом. Для знаходження цього множника використовуємо формули

(За табл. 2.1.). Ми бачимо, що в обох степеневих сумах лише останній доданок (у правій частині) не ділиться на . Але дуже легко скомбінувати ці степеневі суми так, щоб останні доданки, що заважають нам, взаємно знищилися. Для цього суму піднесемо до квадрату


і віднімемо з цього квадрата подвоєну суму . Ми отримаємо:

,

Звідки:

)

Згадуючи, що ми знаходимо (використовуючи вказані вище співвідношення

Залишається помножити обидві частини отриманої рівності на q .

Зауваження. Щоб уникнути дещо неприємного (при розкритті дужок в чисельнику) вираження, можна було б спочатку перетворити чисельник в правій частині формули (*). Використовуючи співвідношення

ми можемо переписати формулу (*) у вигляді


Звідси ( вважаючи, як і раніше, ) отримуємо рішення задачі в зручнішому вигляді:

Приклад 2 . Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Напишемо вираз степеневої суми s3 :

В правій частині тільки останній доданок не ділиться на . Переносячи його в ліву частину, отримуємо:

,

Звідки:

Поклавши знаходимо:


Ми бачимо, таким чином, що якщо знаменник дробу має вигляд , то після множення чисельника і знаменника на вираз

,

у знаменнику отримаємо вираз

Тепер для звільнення від ірраціональності досить використати формулу:

.

Потрібно помножити чисельник і знаменник на вираз

В результаті отримаємо:

Розглянуті приклади є окремими випадками наступного завдання. Нехай треба позбавитися від ірраціональності в знаменнику виразу


Іншими словами, ми повинні представити цей вираз у вигляді:

де A може бути скільки завгодно складним ірраціональним виразом, але знаменник B має бути раціональним. Ясно, що знаменник буде раціональним, якщо в нього самі корені не входять, а входять лише їх n-і степені. Іншими словами, позначивши ми повинні відшукати тотожність виду:

де f і g – деякі многочлени. Ця рівність переписується у вигляді

. І так, нам потрібно знайти такий многочлен від трьох змінних, що ділиться на

Як же знайти такий многочлен g? Спробуємо використовувати симетричні многочлени. Простими прикладами симетричних многочленів, залежних тільки від (n – x) степеней змінних x, y, z , можуть служити степеневі суми

,


Якщо нам вдасться скомбінувати ці степеневі суми так, щоб побудований з них многочлен g, якій би ділився на s1 , то наше завдання вирішене.

Іноді буває важко скомбінувати степеневі суми sn , s2n , s3n , . . ., щоб отриманий з них многочлен, який би ділився б на В цьому випадку може допомогти наступний прийом. Спробуємо використовувати (для отримання многочлен, що ділиться на) не тільки степеневі суми sn , s2n , s3n , . . ., але також і величину Адже при ми маємо тобто до раціональних виразів sn , s2n , s3n , . . , ми додаємо лише одну ірраціональність . Для звільнення від цієї ірраціональності, що залишилася, можна скористатися способами, вказаними на початку цього пункту.

2.4 Вилучення коренів

Вилучення коренів можна нескладно виконати за допомогою так званого методу послідовних наближень. Додатково з цим методом можна ознайомитись в роботі [3]. Ми опишемо один спосіб побудови послідовних наближень, пов'язаний з симетричними многочленами.

Нехай треба обчислити, де N - деяке додатнє число. У якості «нульових наближень» виберемо довільні додатні числа і додамо до них число

Взяті числа володіють тією властивістю, що їхній добуток


Обчислимо тепер елементарні симметричні многочлени від чисел a ,які складають нульове наближення, і в якості першого наближення візьмемо числа

Добуток усіх чисел першого наближення дорівнює

тобто так як і раніше дорівнює N .

Тепер складемо елементарні симетричні многочлени від чисел ,які складають перше наближення, і по ним так само знайдемо наступне, друге, наближення:

Добуток всіх чисел другого наближення знову рівний N. Потім по числах другого наближення складемо третє наближення Можна довести, що при кожна з величин що складає n-те наближення, прямує до .

Приклад 1. При k = 2, тобто при вилученні квадратного кореня ми маємо такі формули:


і взагалі

,

Нехай, наприклад, потрібно обчислити Приймемо за число 2. Тоді отримуємо послідовно:

Переводячи прості дроби в десяткові, маємо:

тобто третє наближення дає вже сім вірних знаків після коми! (Легко побачити, що одне з чисел , дає наближення числа з надлишком, а інше — з недостачею, бо їх добуток дорівнює N.)

Приклад 2. При k = 3, тобто при вилученні кубічного кореня, формули будуть наступними:


і взагалі

Нехай, наприклад, потрібно обчислити . Покладемо. Тоді отримуємо послідовно:

,

,


Переводячи звичайні дроби в десяткові, маємо:

Наступне наближення починається з числа

Якщо обчислити і , то ми переконаємося, що п'ять знаків тут правильні.


ВИСНОВКИ

Дана курсова робота присвячена симетрії в алгебрі, зокрема, застосуванню симетричних многочленів. В даній роботі було розглянуто: загальні поняття про симетричні многочлени, їх основні властивості, основна теорема теорії симетричних многочленів та застосування симетричних многочленів до розв’язуванні рівнянь, систем рівнянь, вилучення коренів, доведення тотожностей, звільнення від ірраціональності у дробах тощо.

У курсовій роботі було розглянуто способи розв’язувань систем рівнянь і приклади їх розв’язання; було виражено степеневі суми через при умові (результати наведені в таблиці 2.2), введено означення орбіт O(xk yl ) , виражено орбіти O(xk yl ) через (результати наведені в таблиці 2.2); були розглянуті випадки, коли для звільнення від ірраціональностей необхідно застосовувати симетричні многочлени; було розглянуто спосіб побудови послідовних наближень, пов'язаний з симетричними многочленами. Кожен параграф проілюстровано прикладами.


СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. – М.: МЦНМО, 2002.-240 с.

2. Вейл Г. ,Симметрия.-М.: Наука, 1968.-192 с.

3. Віленкін Н. Я., Метод послідовних наближень. - М.: Физматгіз. - 1961.-203с.

4. Винберг Э. Б. Симметрия многочленов. – М.: МЦНМО, 2001.-24 с.

5. Завало С.Т. та ін. Алгебра і теорія чисел: Практикум. Частина 2. - К.: Вища шк., 1986. - 264с.

6. Кудряшов Н. А. Симетрия алгебраических и дифференциальных уравнений. Соросовский образовательный журнал, №9, 1998, с. 104-110.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:44:09 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:20:45 29 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів
Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в ...
... роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто: Систематизувала відомості про розв"язування показникових ...
Наведемо для прикладу один з можливих варіантів коментування учнем розв"язування рівняння 3. (в залежності від класу вчитель може допомогати при розв"язуванні, підказуючи, якщо ...
... знайти, називаються невідомими (їх майже завжди позначають останніми буквами латинського алфавіту: x,y,z, або тими ж буквами, але з індексами: x1,x2,...,xn або y1,y2,...,yk ...
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: реферат Просмотров: 17766 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 6 человек Средний балл: 2.5 Оценка: 3     Скачать
Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами
Міністерство освіти і науки України Національний університет "Львівська політехніка" Курсова робота на тему: "Рівномірне наближення функцій ермітовими ...
Теорема 1. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду
Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом степеня має вигляд .
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 300 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Аналіз теорії цифрових автоматів
Аналіз теорії цифрових автоматів (курсова робота) Содержание Двійкова арифметика Системи числення з довільною основою Мішані системи числення Форма з ...
Ф-ція f, яка залежить від n змінних x1,x2,.,xn називається булевою, або переключаючою, якщо ф-ція f і любий з її аргументів xi, i приймають значення тільки змножини {0,1 ...
f (x1, x2, ., xn) =x1 [x2f (1,1, x3, ., xn) f (1,0, x3, ., xn)] [x2f (0,1, x3.xn) f (0,0,x3,.xn)] =x1,x2f (1,1,x3,.xn) x1 f (1,0,x3,.,xn) x2f (0,1,x3,. .,xn) f (0,0,x3,.,xn)
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: курсовая работа Просмотров: 575 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Формування в учнів умінь розв"язувати задачі на рух
Зміст Вступ 1. Теоретичні основи розв"язування задач на рух 1.1 Роль задач у початковому курсі математики 1.2 Місце задач на рух у системі складених ...
Високий рівень умінь розв'язувати прості задачі - необхідна умова успішного розвитку вмінь розв'язувати задачі складені.
Поряд із розв'язуванням готових задач передбачено навчання учнів складати задачі (за малюнком, за виразом, за коротким записом, за таблицею, за схемою, тощо).
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 20507 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3.7 Оценка: неизвестно     Скачать
Численные методы
МЕТОДИ РОЗВ"ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ. Розглянемо чисельні методи розв"язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь Ax=f T (1) де A ...
Метод Гаусса розв"язання системи (2) полягає у послідовному вилученні невідомих x1, x2, ..., xm-1 з цієї системи.
Інтерполяційний многочлен може бути записаний не тільки у формі (2). Існують і інші форми зображення інтерполяційного многочлена, які можна записати відразу через вихідні дані ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 495 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Алгоритмічні проблеми
1. Алгоритмічні проблеми Навчаючи арифметиці в початковій школі, ми познайомилися з додаванням і множенням двох чисел. Нам у явній формі не говорили ...
Цей символ позначається через U(n), або U (x1, x2., xn) та т. п., і називається n-арним символом.
де x1., xn, y - змінні, S - СП вигляду (5).
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 55 Комментариев: 1 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Розвиток умінь розв"язувати задач на пропорційне ділення у початковій ...
ЗМІСТ ВСТУП РОЗДІЛ 1. ЗАГАЛЬНІ ПИТАННЯ НАВЧАННЯ РОЗВ"ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ 1.1 Система арифметичних задач у програмі з математики в початковій школі 1.2 ...
Лише вчитель може визначити, яку задачу і коли можна запропонувати дітям, яке завдання доцільно пов"язати з розв"язуванням цієї задачі: в одному разі досить вказати дію, за ...
Розв'язати математичну задачу - це значить знайти таку послідовність загальних положень математики (означень, аксіом, теорем, правил, законів, формул), використовуючи які до умов ...
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 10644 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Сравнения высших степеней
Вступ Важливе місце в курсі теорії чисел посідають конгруенції та, зокрема, конгруенції вищих степенів. Але до того як вони почали розглядатися ...
Теорема 1. Якщо x = x1 задовольняє конгруенцію (1), то всяке число, яке належить до того самого класу лишків за модулем т , що й число x1, також задовольняє цю конгруенцію, тобто ...
Справді, нехай х2 - будь-яке число, яке належить до того самого класу лишків за модулем т, що й х1; тоді х2 = x1(mod m). За умовою х1 є розв'язок конгруенції (1), тобто має місце ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 407 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Курсовая работа: Застосування симетричних многочленів (3184)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150904)
Комментарии (1842)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru