Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Интеграционный метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений

Название: Интеграционный метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 18:11:14 31 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 1171 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра экономической информатики

Курсовая работа по дисциплине «Численные методы»

на тему:

«Интеграционный метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений»

Факультет: Бизнеса

Преподаватель: Сарычева О.М.

Новосибирск, 2010


СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

2.1 Общие сведения

2.2 Функциональное назначение

2.3 Логическая структура

2.4 Входные данные

2.5 Вызов и загрузка

2.6 Выходные данные

3. ОПИСАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

3.1 Для обычных линейных ОДУ

3.2 Для жестких ОДУ

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ. ВЫВОДЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЯ


ВВЕДЕНИЕ

Метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений является итерационным методом, который предполагает задание достаточно близких к искомому решению исходных данных.

В данной работе требуется проанализировать влияние шага на ошибки интегрирования и число итераций, а также сравнить решение обычных и жестких систем. Для этого необходимо составить программу на языке MatLAB, реализующую метод, и протестировать ее при различных исходных данных.


1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана система ОДУ:

Численное интегрирование этой системы заключается в определении значений x(t) на интервале времени от 0 до Т при заданных начальных условиях х(0). При этом интервал времени от 0 до Т разбивается на шаги с интервалом Dtm =hm =(tm +1 -tm ), здесь m – номер шага, m=. Очередное значение хm +1 вычисляется на основании предыдущих значений х:

xm +1 =xm +hm F(xm ,tm )

Для дальнейшего решения системы ОДУ методом Эйлера линеаризируем ее в точке xm ,tm :

Матрица , при этом суть константы, вычисленные в точке линеаризации:

=

Входной сигнал при линеаризации является известной функцией времени и при фиксированном tm на шаге hm может считаться константой. Элементы матрицы А меняются лишь с изменением точки линеаризации.

Характеристики метода:

1. Точность. Формула xm +1 =xm +hm F(xm ,tm ) аппроксимирует ряд Тейлора для функции x(tm - 1) до линейного по h члена включительно. Поэтому εam i пропорциональна hm 2 . Можно сказать, что существует такое значение в интервале, при котором

ε

2. Устойчивость. Для анализа устойчивость матрицу А приводят к диагональному виду: A = PλP-1 . Тогда система примет вид: x = PλP-1 x. Нулевое состояние равновесия системы асимптотически устойчиво при a<0, значит и метод Эйлера для этого уравнения, имеющий вид, также асимптотически устойчив. При a>0 нулевое состояние равновесия системы неустойчиво. Следовательно, система также неустойчива.

3. Шаг интегрирования. При соблюдении абсолютной или относительной устойчивости:

h<2tmin ,

В любых случаях шаг нужно корректировать по условиям точности.

эйлер линейный уравнение программа интерация


2. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

В этом разделе будут рассмотрены параметры программы и ее логическая структура.

2.1 Общие сведения

Программа написана на языке MatLAB в среде MatLAB 6.5. Для работы программы необходимо наличие операционной системы Windows 95 и выше, а также наличие среды MatLAB6.5 (на более поздних версиях среды программа не тестировалась). Программа включает в себя 4 файлов: Start.m – головной файл, необходимый для запуска программы на выполнение и построения графика функций и ошибок, Fun.m – содержит ОДУ для вычисления, FunT – функция вычисления точного решения системы, RK1.m – содержит решение системы методом Эйлера.

2.2 Функциональное назначение

Программа предназначена для решения систем линейных ОДУ методом Эйлера. Вывод решения производится по графикам. На них отображены зависимости решения от времени интегрирования.

2.3 Логическая структура

Работу программы можно представить с помощью схемы, изображенной на рис.1:



Рис. 1. Блок-схема программы

Рассмотрим каждый из этапов работы программы подробнее.

Ввод исходных данных осуществляется путем внесения изменений в текст программы.

Далее программа вызывает RK1.m, где происходит решение системы методом Эйлера, следуя алгоритму:

1. задание исходных данных, инициализация переменных

2. вычисление значений х, если выбран способ решения с переменным шагом, то происходит вычисление шага и его сравнение с максимальным, который задан изначально

3. формирование t_out, y_out, в которые заносятся соответственно время интегрирования и значения х.

Далее происходит вызов FunT, где вычисляется точное решение системы.

После чего происходит построение графиков.


2.4 Входные данные

В качестве входных данных выступают:

a) линейное ОДУ

b) шаг интегрирования

c) допустимая ошибка аппроксимации

d) начальные значения х

2.5 Вызов и загрузка

Вызов программы происходит через среду MatLAB. Для этого надо указать директорию доступа к файлам программы и ввести в командную строку имя головного файла – start.m. Программа занимает 1.5 Кб места жесткого диска (начальное время интегрирования). При вычислении результата и построении графиков используется незначительный объем памяти.

2.6 Выходные данные

Выходная информация представляется в графическом виде. Значения всех переменных можно просмотреть через среду MatLAB.


3. ОПИСАНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

В ходе тестирования программ, реализующих метод Эйлера для обычных и жестких линейных ОДУ, исследовалось влияние шага интегрирования на ошибку аппроксимации и число итераций. Для этого исследования вводились различные значения.

3.2 Для обычных линейных ОДУ

Программа тестировалась на системе:

Величина шага Ошибка аппроксимации число итераций
0,1 0,0099 256
0,01 0,01 1932
0,001 0,0073 358
0,0001 0,01 2569
0,00001 0,0015 1

При решении этой же системы c переменным шагом число итераций возросло до 2530, при этом ошибка аппроксимации составила 0,0099.

3.3 Для жестких ОДУ

Программа тестировалась на системе:


Число итераций при решении системы составило 2016, ошибка аппроксимации равна 0,01.


Величина шага

Ошибка аппроксимации число итераций
0,1 0,0091 157
0,01 0,01 1169
0,001 0,01 7129
0,0001 0,01 25258
0,00001 0,0012 1

В Приложении 2 содержаться графики итераций для шага 0,01 и 0,001 для обычных систем и для шага 0,01 – для жестких.


4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ. ВЫВОДЫ

Проведя анализ результатов тестирования, можно сказать, что наиболее эффективна программа при шаге интегрирования равном 0,00001, так как именно тогда ошибка аппроксимации минимальна и число итераций равно 1.

Видно, что чем меньше ошибка аппроксимации, тем меньше итераций требуется для решения.

При шаге 0,00001 на графики были в виде прямых, что можно списать на округление значений при вычислении.

Исходя из графиков, также можно сказать, что решения совпадают, однако, при заданном максимуме итерационного шага количество итераций в этом методе значительно превышает количество итераций при том же шаге в методе с постоянным шагом, практически не влияя при этом на ошибку аппроксимации.

Проанализировав результаты решения жесткой системы, можно сказать, что плохая обусловленность матрицы делает практически непоказательным графическое решение, так как по нему очень сложно судить о поведении обеих переменных, в силу того что на фоне одной из них (х2 ) не заметна другая.

То есть:

· величина шага влияет на число итераций

· точность решения зависит от величины шага

· решение систем с переменным или постоянным шагом, равным максимальному шагу способа с переменным шагом, одинаково

· жесткость системы затрудняет анализ результата решения


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе был исследован явный метод Эйлера для решения обычных и жестких систем ОДУ. Было проанализировано влияние величины шага интегрирования на ошибку аппроксимации, и ее влиянии на число итераций. Для этого была написана программа (Приложение 1), реализующая метод, и протестирована при различных исходных данных.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными.-М.: Мир, 1975.- 558 стр.

2 Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов.- М.: Наука,1989.- 432 стр.

3 Сарычева О.М. Численные методы в экономике / О.М. Сарычева.- Новосибирск, 1995.- 67 стр.


ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Текст головной программы:

h=0.01; % шаг интегрирования

t0=0; % начальное время интегрирования

x0=[0;0];

Edop=0.01;

[t_out,y_out]=RK1(t0,x0,h,Edop); % вызов RK1

ytoch=FunT(t_out); % точное решение

% построение графика решения методом Рунге-Кутта 1

plot(t_out,y_out);

grid;

title('Solution for x1 and x2 by method Runge-Kutta 1');

ylabel('x');

xlabel('t');

Текст программы для решения ОДУ методом Эйлера с постоянным шагом:

function [t_out,y_out]=RungeKutta1(t0,x0,h,Edop);

% функция решения методом Рунге-Кутта 1

t=t0;

x=x0;

t_out=t;

y_out=x0;

E=[1;1];

while E>Edop

K1=Fun(t,x);

dx=h*K1;

x0=x;

x1=x0+(h/2)*Fun(t+h,x);

x1=x1+(h/2)*Fun(t+h,x1);

x=x+dx;

E=abs(x1-x);

t=t+h;

t_out=[t_out,t];

y_out=[y_out,x];

end

Текст программы для решения ОДУ методом Эйлера с переменным шагом:

function [t_out,y_out]=RungeKutta1(t0,x0,h,Edop);

% функция решения методом Рунге-Кутта 1

t=t0;

hmax=h;

x=x0;

xmax=max(x0)

t_out=t;

y_out=x0;

E=[1;1];

while E>Edop

K1=Fun(t,x);

dx=h*K1;

x0=x;

x1=x0+(h/2)*Fun(t+h,x);

x1=x1+(h/2)*Fun(t+h,x1);

x=x+dx;

E=abs(x1-x);

hi=(0.001*xmax)./(abs(Fun(t,x))+(0.001*xmax)./hmax);

h=min(hi);

if h>hmax

hmax=h;

end

t=t+h;

t_out=[t_out,t];

y_out=[y_out,x];

end


ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График функции для явного метода Эйлера для обычной системы ОДУ с постоянным шагом интегрирования 0,01:

График функции для явного метода Эйлера для обычной системы ОДУ с постоянным шагом интегрирования 0,001:


График функции для явного метода Эйлера для обычной системы ОДУ с переменным шагом интегрирования менее 0,01:

График функции для явного метода Эйлера для жесткой системы ОДУ с постоянным шагом интегрирования 0,01:


График функции для явного метода Эйлера для жесткой системы ОДУ с постоянным шагом интегрирования 0,001:

График функции для явного метода Эйлера для жесткой системы ОДУ с переменным шагом интегрирования менее 0,01:

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:36:30 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:16:40 29 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Интеграционный метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений
Исследование метода дифференцирования по параметру для решения ...
Министерство образования и науки Российской Федерации Новосибирский Государственный Технический Университет Кафедра экономической информатики РАСЧЕТНО ...
Система ОДУ решается при начальных условиях t=0, X(0)=X0.
На выходе программы на экран выводятся приближенные решения, полученные по методам Рунге-Кутта, значения шага и времени на каждом шаге интегрирования, количество шагов ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 776 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Вычислительная математика
Содержание Введение Тема 1. Решение задач вычислительными методами. Основные понятия 1.1 Погрешность 1.2 Корректность 1.3 Вычислительные методы Тема 2 ...
Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0, x1, ., xn, ., которые являются приближениями к корню x*.
Метод секущих является двухшаговым методом, для вычисления приближения xn +1 необходимо вычислить два предыдущих приближения xn и xn - 1 , и, в частности, на первой итерации надо ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 4520 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Математические основы теории систем
ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление 1 Введение 3 Объект и устройство 3 Задачи управления 4 Матричный формализм в теории систем 6 Линейные операторы 6 Инвариантное ...
(15) x(t)= A(t)x(t), x(t0)=x0,
Зададим К начальных условий при некотором значении аргумента n=n0: x[n0]=x0, x[n0+1]=x1,..., x[n0+K-1]=xk-1
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1244 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Защита информации в системах дистанционного обучения с монопольным ...
АННОТАЦИЯ Данная диссертация посвящена вопросам построения систем защиты информации для программных пакетов, используемых в монопольном доступе. В ...
x = (x0, x1, ..., xn-1), x О Zn , 0 Ѭ i < n,
[out] short *version, [out] BSTR *info);
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: реферат Просмотров: 1381 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Приложения производной
Лицей информационных технологий Реферат Производная и ее приложения Выполнил: ученик 11А класса Новиков А. Проверила: Шекера Г.В. г.Хабаровск 2004 ...
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой функции показан на рисунке 2(а ...
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0 следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 6567 Комментариев: 5 Похожие работы
Оценило: 8 человек Средний балл: 4.6 Оценка: 5     Скачать
Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ кафедра информатики КУРСОВАЯ РАБОТА ПО КУРСУ: Численные методы на тему ...
Для выполнения одной итерации таким методом необходимо решать систему линейных уравнений, у которой вектором свободных членов будут нелинейные части функций fi(X). Причем поскольку ...
Из точки x0 движемся по нормали к поверхности U(x)= U(x0) до тех пор, пока эта нормаль не затронет в некоторой точке x1 какой-то другой поверхности уровня U(x)= U(x1).
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 6133 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Цифровая обработка сигналов
ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ СИГНАЛОВ Содержание. 1. Дискретные сигналы 1.1. Дискретизация непрерывных сигналов 1.2. Связь спектров дискретных и ...
x(nT) , x(n) , xn , {x0 ; x1 ; x2 ;
Уместно заметить, что выбор шага дискретизации достаточно контролировать в точках максимальной крутизны исходной функции X(t). В рассмотренном примере такой точкой является момент ...
Раздел: Рефераты по радиоэлектронике
Тип: реферат Просмотров: 3141 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Matlab
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования "Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины" Математический факультет ...
3;n=100; h=3/n; x=h/2:h:3-h/2; f=x./sin(x); plot(h*cumsum(f)), grid, sum(h*f) =1000
Пределами для x(k) и v(k) будет inf, так что x2=3 является неустойчивой неподвижной точкой преобразования F: при малейшем сдвиге x0 с x2 в пределе итераций получится либо ...
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: реферат Просмотров: 1585 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Анализ методов определения минимального, максимального значения ...
Федеральное агентство по образованию Московский государственный открытый университет Чебоксарский политехнический институт Курсовой проект по ...
Матрица вторых производных N2F(x) - это симметричная квадратная матрица порядка n вторых частных производных функции F(x). Эту матрицу называют матрицей Гессе и обозначают H(x ...
На каждой итерации величина шага ak выбирается из условия минимума функции f(x) в направлении спуска, т.е.
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: курсовая работа Просмотров: 4398 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Курсовая работа: Интеграционный метод Эйлера для решения линейных систем алгебраических уравнений (1653)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(149897)
Комментарии (1829)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru