Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Итерационный метод решения проблемы собственных значений

Название: Итерационный метод решения проблемы собственных значений
Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию
Тип: курсовая работа Добавлен 17:58:05 24 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 646 Комментариев: 2 Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Курсовая работа

«Численные методы в экономике»

Тема: «Итерационный метод решения проблемы собственных значений»

Новосибирск , 2010

Введение

В данной курсовой работе рассмотрен итерационный метод решения проблемы собственных значений. Сходимость итерационного процесса может быть очень медленной. Причиной этого является наличие нелинейного элементарного делителя, соответствующего первому собственному числу. Другая причина – это близость второго собственного числа к первому. В этом случае можно ускорить сходимость несколькими методами. Одним из них является метод скалярных произведений, который рассмотрен в данной работе.

В методе скалярных произведений число итераций, необходимых для определения максимального собственного числа матрицы, с данной точностью, сокращается почти вдвое.

математический итерационный метод программный


1. Математическая постановка задачи

Этот метод особенно удобен в применении к симметричной матрице, однако попробуем изложить его без этого предположения. В основе метода лежат последовательности итераций вектора Y0 матрицами A и A’, транспонированной с А. Эти последовательности имеют следующий вид:

Y0 , Y1 =A*Y0 , Y2 =A2 *Y0 , …, Yk =Ak *Y0 , … (1)

Y0 , Y’1 =A’*Y0 , Y’2 =A’2 *Y0 , …, Y’k =A’k *Y0 , … (2)

Пусть b1 , …, bn координатывектора Y0 вбазисе X’1 , …, X’n , a1 , …, an координаты Y0 вбазисе X1 , …, Xn . При этом предположим, что базисы выбраны так, что система векторов X1 , X2 , …, Xn и X’1 , …, X’n удовлетворяет условиям ортогональности и нормированности.

Образуем скалярное произведение (Y’k , Yk ):

(Y’k , Yk )=(A’k *Y0 , Ak *Y0 )=(Y0 , A2k *Y0 )=(b1 *X’1 + … +bn *X’n , a1 *l2k 1 *X1 + … + + an *l2k n *Xn )

Далее в силу свойств ортогональности и нормированности системы векторов имеем:

(Y’k , Yk )=a1 *b1 *l2k 1 + … + an *bn *l2k n (3).

Аналогично:

(Y’k-1 , Yk )=a1 *b1 *l2k-1 1 + … + an *bn *l2k-1 n (4).

Можно видеть, что из равенств (3) и (4) получаем:


(Y’k , Yk )/(Y’k -1 , Yk ) = l1 + O(l2 /l1 )2 k .

Из этой оценки видно, что образование скалярного произведения сокращает число шагов итераций, нужных для определения максимального собственного l1 , с данной точностью, почти вдвое. Однако при этом требуется дополнительное вычисление последовательности (2).

Следует отметить, что в случае симметричной матрицы, последовательности (1) и (2) совпадают, и поэтому в этом случае применение метода скалярного произведения особенно целесообразно. Начиная с некоторого шага итерации, нужно вычислять соответствующие скалярные произведения и определять l1 через их отношения.

2. Описание программного обеспечения

Программа, реализующая рассматриваемый метод, разработана в среде МаtLab, предназначенной для выполнения математических операций. Она состоит из головной программы и 2х подпрограмм, вызываемых из основной программы.

Головная программа (main.m)

В основной программе задается начальное приближение yn, начальное значение собственного вектора L1 и значение допустимой ошибки ed.

Текст программы:

clc %очистка экрана

yn=[1; 1; 1; 1]; %задание начального приближения собственного вектора

L1=-5.5251;%начальное значение собственного числа матрицы

ed=0.00001; %значение допустимой ошибки

trace=1; %установка режима вывода на экран

[mout, Lout, yout]=sobstv ('fun', yn, L1, ed, trace);%вызов функции, реализующей метод скалярных произведений

plot (mout, Lout) %вывод графика значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса

pause;

plot (mout, yout)%вывод графика значений собственного вектора, соответствующего собственному числу

Подпрограмма sobstv.m

В данной подпрограмме происходит вычисление максимального собственного числа и соответствующего ему собственного вектора. Значение собственного числа на каждом шаге заносится в L, результат умножения матрицы а на заданный вектор заносится в yn. Время выполнения итераций равно t, количество итераций –m .

Текст программы:

function [mout, Lout, yout]=sobstv (fun, yn, L1, ed, trace);

a=feval(fun);%вызов матрицы, описанной в файле с именем matrsp

m=0; %обнуление счетчика итераций

Lout=L1; mout=m; yout=yn';

L=0; %присваивание начального значения решения

iftrace

clc, yn, m, L1% вывод значения решений на данном этапе

end

t0=fix(clock); %задание начальной точки отсчета времени выполнения итераций

while (abs (L1-L)>ed) %задание цикла

yn1=yn;

yn=a*yn;

L=L1;

L1=(yn'*yn)/(yn1'*yn); %вычисление собственного числа

y=yn/sqrt (yn'*yn);%вычисление собственного вектора

iftrace

home, y, m, L1%вывод текущих значений на экран

end %на данном этапе итераций

m=m+1;%увеличение счетчика итераций

Lout=[Lout; L1]; %формирование выходных параметров

mout=[mout; m];

yout=[yout; y'];

end

t1=fix(clock); %значение конечного момента времени

t=t1-t0%время выполнения итераций

pause;

Подпрограмма fun.m

В этой подпрограмме задается матрица a .

Текст программы:

function a=fun

%Изменяемая пользователем часть

a=[1.2551.340-1.316 0;

1.3402.526 00.516;

-1.316 0-1.7434.628;

0 0.516 4.628 0.552];

3. Описание тестовых задач

В данной работе спроектирована программа, реализующая метод скалярного произведения для нахождения максимального собственного числа матрицы. Для проверки предлагается нахождение собственных чисел (векторов) симметричной матрицы. При этом исследуется влияние вектора начального приближения к решению и значения допустимой ошибки на время вычислений и число итераций.

Найдем собственные значения исходной матрицы, используя функцию eig.

Получим

L1= -5.5251

0.2841

3.4399

4.3911

Решение исходной задачи

Исходные данные:

yn=[1,1,1,1];

ed=0.00001;

a=[1.255 1.340 -1.316 0;

1.340 2.526 0 0.516;

-1.316 0 -1.743 4.628;

0 0.516 4.628 0.552];

Данные, полученные при выполнении программы:

y = -0.1501 m = 34 L1 = -5.5251 t = 0

-0.0135

-0.7853

0.6005


График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса

График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу


Изменение максимальной допустимой ошибки

Увеличим значение допустимой ошибки

Исходные данные:

yn=[1,1,1,1];

ed=0.0001;

a=[1.255 1.340 -1.316 0;

1.340 2.526 0 0.516;

-1.316 0 -1.743 4.628;

0 0.516 4.628 0.552];

Данные, полученные при выполнении программы:

y = 0.1491 m = 29 L1 = -5.5253 t = 0

0.0136

0.7880

-0.5972

График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/

График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу

Уменьшим значение допустимой ошибки

Исходные данные:

yn=[1,1,1,1];

ed=0.000001;

a=[1.255 1.340 -1.316 0;

1.340 2.526 0 0.516;

-1.316 0 -1.743 4.628;

0 0.516 4.628 0.552];

Данные, полученные при выполнении программы:

y = 0.1498 m = 39 L1 = -5.5251 t = 0

0.0135

0.7862

-0.5994

График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса

График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу


Изменение начального приближения собственного вектора

Увеличимзначение начального приближения, т.е. отдалим от конечного решения.

Исходные данные:

yn=[2,3,3,2];

ed=0.00001;

a=[1.255 1.340 -1.316 0;

1.340 2.526 0 0.516;

-1.316 0 -1.743 4.628;

0 0.516 4.628 0.552];

Данные, полученные при выполнении программы:

y = -0.1501 m = 32 L1 = -5.5251 t = 1

-0.0135

-0.7853

0.6004

График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/


График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу

Уменьшимзначение начального приближения, т.е. приблизимот конечного решения.

Исходные данные:

yn=[1,0,1,0];

ed=0.00001;

a=[1.255 1.340 -1.316 0;

1.340 2.526 0 0.516;

-1.316 0 -1.743 4.628;

0 0.516 4.628 0.552];

Данные, полученные при выполнении программы:

y = 0.1496 m = 25 L1 = -5.5251 t = 0

0.0135

0.7866

-0.5989

График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/

График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу


Рассмотрим другие примеры:

Исходные данные:

yn=[1,1,1];

L1= 0.01

edop=0.00001;

a=[1 1 1;

2 3 4;

0 4 0];

Найдем собственные значения исходной матрицы, используя функцию eig. Получим

L1= 6.2085

0.4794

-2.6879

Полученный результат:

y = 0.2565 m =13 L1 =6.2085 t =0

0.8125

0.5235


График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса

График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу

Так при задании начального приближения, находящегося далеко от точного решения, итерационный процесс расходится. Если значение начального приближения выбрано близко к точному решению, то итерационный процесс сходится, и чем ближе вектор начального приближения к точному решению, тем за меньшее число итераций сходится итерационный процесс.

Выбор ошибки итерации также влияет на число итераций, а также на время счета. При уменьшении значения допустимой ошибки число итераций увеличивается, что необходимо для получения более точного значения собственного числа. И, наоборот, при увеличении значения допустимой ошибки число итераций уменьшается, а собственное число матрицы имеет более приближенное значение.


Заключение

При выполнении данной работы были рассмотрены теоретически и практически основные характеристики метода скалярных произведений для нахождения максимального собственного числа симметричной матрицы и соответствующего ему вектора собственных значений. Метод отличается простотой и не требует слишком сложных вычислений, что является существенным преимуществом.


Список литературы

1. Сарычева О.М. Численные методы в экономике: Конспект лекций /НГТУ – Новосибирск, 1995. – 65 с.

2. Уилкинс Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. – Наука, М. 1970.

3. Фаддеев Д.К., Фаддеев В.И. Вычислительные методы линейной алгебры М. Физматиздат, 1963.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:35:19 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:16:03 29 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Итерационный метод решения проблемы собственных значений

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150519)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru