Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Потрійний інтеграл

Название: Потрійний інтеграл
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 14:37:03 28 марта 2011 Похожие работы
Просмотров: 3317 Комментариев: 2 Оценило: 1 человек Средний балл: 2 Оценка: неизвестно     Скачать

ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ


1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості

Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.

Нехай функція визначена в обмеженій замкненій області . Розіб'ємо область сіткою поверхонь на частин , які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють . У кожній частині візьмемо довільну точку і утворимо суму

,(1)

яка називається інтегральною сумою для функції за областю . Нехай – найбільший з діаметрів областей .

Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини , ні від вибору в них точок , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:

або .

Таким чином, за означенням

,(2)


де – функція, інтегровна в області ; – область інтегрування; і – змінні інтегрування; (або ) – елемент об'єму.

Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною в точці , то маса цього тіла знаходиться за формулою

.(3)

Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти , то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму тіла :

.(4)

Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.

Властивості потрійних інтегралів.

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:

.


Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:

.

3. Якщо в області інтегрування , то

.

4. Якщо функції та визначені в одній і тій самій області і , то

.

5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

.

6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то

,


де і відповідно найменше і найбільше значення функції в області .

7. (Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то в цій області існує така точка , що

.

Величина

називається середнім значенням функції в області .

2. Обчислення потрійного інтеграла

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області на площину через (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в .


Рисунок 1 – Область

Якщо при цьому область є правильною, то область називається правильною у напрямі осі . Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі , перетинає межу області у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а точку – точкою виходу з області , а їхні аплікати позначимо відповідно через і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула

.(5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною , вважаючи та сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки входу , а верхньою – апліката точки виходу . Внаслідок інтегрування отримаємо функцію від змінних та .

Якщо область , наприклад, обмежена кривими і , де і – неперервні функції, тобто

, то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні і у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область правильна в напрямі осі :

,

де – неперервні функції, то

.

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

,

то


.(7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

3. Заміна змінних в потрійному інтегралі

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область взаємно однозначно відображується на область за допомогою неперервно диференційовних функцій , , , якобіан в області не дорівнює нулю:

і – неперервна в , то справедлива формула

. (8)

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат до циліндричних (рис.4, а), пов'язаних з співвідношеннями


;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

.(9)

Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .

При переході від прямокутних координат до сферичних

(рис. 4, б), які пов'язані з формулами

Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні


;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь та , які обмежують область , записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область обмежена циліндричною поверхнею та площинами , то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли – куля: або кульове кільце. Наприклад, якщо – кульове кільце з внутрішньою сферою , то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд

або

,

звідки . Аналогічно – рівняння зовнішньої сфери, тому

.

У випадку, коли – куля , у цій формулі слід покласти . Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.

Приклад

1. Обчислити інтеграл , якщо область обмежена поверхнями і .

Розв’язання

Область є конусом (рис. 5).


Рисунок 5 – Область

Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область , можна записати у вигляді , а саму область подати таким чином: , де – круг радіуса з центром . Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:

.

Проте зручніше перейти до циліндричних координат . Тоді прообраз круга є прямокутник , прообраз конічної поверхні – плоска поверхня , а прообраз області – область . Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює , підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо


Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область, а зміну циліндричних координат в області. Наочно видно, що в області змінна змінюється від до, при кожному значенні змінна змінюється від до, а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області ) до (значення на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійний обчислення змінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю , що має об'єм , то згідно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механіці. Нехай – обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де – неперервна функція в області , тоді:

а)маса цього тіла

;(12)


б)моменти інерції тіла відносно координатних осей відповідно дорівнюють

.(13)

Моменти інерції тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами

.(14)

Момент інерції тіла відносно початку координат

(15)

в) статичні моменти тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами

;(16)

г) координати центра маси тіла визначаються за формулами

.(17)

Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:

.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:26:07 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:14:00 29 ноября 2015

Работы, похожие на Контрольная работа: Потрійний інтеграл
Шпоры по Госам МСХА
... Она состоит из общих основ эк теории, микрои макроэкономики и интерэкономики (мировой экономики). В общ осн эк теории дается: хар-ка понятия общества ...
ведущ. разд-м плана пр-ва.Разр-ка произв. прогр-мы осущ-ся на основе:дог-в;нал-я пр. мощн-й по выпуску кажд. вида пр-ции;возм-й приобр-я мат. рес-в;учета сост-я техн. и технол ...
Ѭ, включ. % и осн. долг; возмож. отсроч. выпл. осн. долга и ка-питал.%; в) проект. фин-е - все ср-ва от реализ. проекта (часть ср-в) напрвл. на обслуж. долга (классич.)
Раздел: Остальные рефераты
Тип: реферат Просмотров: 2891 Комментариев: 5 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 3.3 Оценка: неизвестно     Скачать
Оборудование летательных аппаратов
Практическая работа N12-6 СИСТЕМА ВОЗДУШНЫХ СИГНАЛОВ СВС-72-3 (Продолжительность практической работы - 4 часа) I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью работы ячвляется ...
угловыми положениями (координатами) ЛА и
равления ЛА неестественным для летчика, что сильно снижает ка-
Раздел: Рефераты по авиации и космонавтике
Тип: реферат Просмотров: 11081 Комментариев: 8 Похожие работы
Оценило: 9 человек Средний балл: 3.7 Оценка: 4     Скачать
Экономическая система
1. Эк-я с-ма - ед-во ч-ка и общ-го пр-ва В любой ЭС существует 2 вида отношений: 1-отношение людей к природе; 2. отношение людей друг к другу. В ...
1-При выпуске готовой пр-ции исп-ся метод прямого счёта(норма расхода на 1 изд-е * кол-во изд-й.2-При выпуске новой пр-ции потребность мат-ла рассч-ся по методу аналогии(норма ...
Зп = Зм / t'раб * tраб, где Зм - месячная повременная ЗП работника, руб.; tраб - число рабочих часов по графику в данном месяце; t'раб - количество часов, фактически отраб-х ...
Раздел: Рефераты по экономике
Тип: шпаргалка Просмотров: 1652 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Внутрифирменое планирование
Основы внутрифирменного планирования 1.Понятие и содержание ВП 2.Этапы разв-я сис-м ВП в странах рыночной экономики 3.Развитие сис-мы внутризаводского ...
Общее кол-во мат-в, которое постоянно находится в незаверш-м произ-ве опр-ся умножением длительности произ-го цикла, изг-й прод-и в днях на среднесуточный расход данного мат-ла в ...
Пм - потр-ть в данном виде мат-в на обеспучение тов-го вып-ка прод-и план-го года
Раздел: Остальные рефераты
Тип: реферат Просмотров: 514 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
И наоборот, каждая матрица n-го пор-ка явл-ся матрицей некот-го вполне опред-го лин-го опре-ра ѭ прост-ва vn в базисе e1,e2,.en.
В начале детьми движут безусловные рефлексы, инстинкты, естеств потр-ти.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3489 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпоры по финансовому менеджменту
... фин риском предп-ия поним вероятность возник-ия неблагоприятных фин последствий в форме потери дохода или кап-ла в ситуации неопред-ти условий осущ-
Ст-ть доп кап-ла, привлек-ого за счет эмиссии простых акций ССКпа = (Ка*Дпа*ПВт*100)/(Кпа*(1-ЭЗ)), где Ка - кол-во доп-но эмитир-х акций; Дпа - Ѭ див-дов, выплач-х за 1 простую ...
51.Планир-е потр.в оборотных ср-вах и выбор ист.фин-я
Раздел: Рефераты по менеджменту
Тип: реферат Просмотров: 5457 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Вопросы и ответы к экзамену по курсу "История экономических учений"
Для студентов 2 курса специальности 061100 - "Менеджмент организации" Составитель: к.и.н., доцент кафедры международного маркетинга Ешкилев Ю.Б. 1 ...
М. глубоко исследов. функц. денег, отверг сведение их к сред-ву обращен., ввел понятия денег как реал-х д-г. Проблема денег решалась на почве новой теории стоим-ти.
Маржин-зм - это экономич. школа, к-рая использ-ла предельн. анализ, заним-сь изучен. предельн. величин.
Раздел: Рефераты по экономике
Тип: шпаргалка Просмотров: 2947 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Политология
19. Пол сис: суть. Всякое класс общ-во политически оформлено, им механизм вл, обеспечивающ его норм функциониров в кач единого соц орг-ма. Эт механизм ...
Т пол сис и их элемент-исслед проб созд и функц госуд, парт, общ-пол организ чер анал конст-х, адм-прав, эконх и соц функ управ на основ сравнит анал полит инстит, отнош м/д суб ...
1с т зр зон и област их проявлен.
Но подоб изложен мат-ла не прием-мо если кан-т предст в роли "символа партии", ч-ка идей, дел акцент на концептуал наработках.
Раздел: Рефераты по политологии
Тип: реферат Просмотров: 344 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Контрольная работа: Потрійний інтеграл (195)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150075)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru