Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения

Название: Новый метод решения кубического уравнения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 14:43:30 22 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 3961 Комментариев: 1 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Автор: Фильчев Э.Г.

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0 ( 1 )

где

x- любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4 +(3c – b2 )2 (2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2 ]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D1 = - = - (2mn)1 2 ∙( 2mn)2 2 ∙ ( 2mn)3 2

2. Определяем значение

D 2 = - 2( 3c – b 2 ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D 1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.

3 . Определяем значение корней исходного уравнения

3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )1( 2 mn )2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )2( 2 mn )3

Задача решена !

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2+ 23x - 15 = 0

где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D1 = = -


-→ D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.

3 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X 1 = 3 + 2 = 5 , X 2 = 3 - 2 = 1

Здесь X 1 = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X 2 = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X2 = 3

Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2-→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!


Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.

2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400

2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400 . Этот вариант подходит!

-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,

(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,

(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.

3 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5-> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X 1 = 7, X2 =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32 . Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 + 4 = 7 + 4 = 11 . Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X 2 - X 3 ) -→ X 3 = X 2 - 5 = 7 - 5 = 2 . Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X1 = 7 , X2 = 2, X3 = 11.

Расчет закончен !

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -10x2 - 49x + 130 = 0

где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72 ∙ 112 182 = 1920996

-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = - 7,

(2mn)21 = 11, (2mn)22 = - 11,

(2mn)31 = 18, (2mn)32 = - 18.

3 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11-> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X1 = , X2 = 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32 . Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 7 = 2 – 7 = - 5 . Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)12 = - 7 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X 1 - X 3 ) -→ X 3 = X 1 - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X 1 - X 3 ) -→ X 3 = X 1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 2 , X2 = - 5, X3 = 13.

Расчет закончен !

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D1 = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D2 = - 2( 3c - )

-→ D2 = - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2 . Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .

При этом значение степени k должно определяться

- для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )

- для D1 =3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D11 = 987539062500

- D21 = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

- найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Вариант D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152

D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152 .

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2 . Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = - 2.5,

(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = - 2.65,

(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = - 0.15.

5 . Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3 x 2 + 2 bx + c = - (2 mn )11( 2 mn )21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65)-> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X1 = 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32 . Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)12 = - 2.5 = (X 1 - X 2 ) -→ X 2 = X 1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X 1 - X 3 ) -→ X 3 = X 1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35 . Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1 = 4 , X2 = 1.5, X3 = 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2 = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32 ],

где

- (2mn) j - разность любой пары корней исходного уравнения

- D1 = -

- D2 = - 2( 3c – b 2 )

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных мнимых корня X 2 = ( g 2 - hi ), X 3 = ( g 2 + hi ). Тогда

(2 mn )1 = ( X 1 - X 2 ) = (g 1 - g 2 ) + hi

(2 mn )2 = ( X 1 - X 3 ) = (g 1 - g 2 ) – hi

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi

-→ D1 = - ( 2mn)1 2 ∙ ( 2mn)2 2 ∙ ( 2mn)3 2 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2 ∙ [2 hi]2

-→ D 1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1 . На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D 1 = -

D 2 = - 2( 3c - b 2 )

определяются значения D 1 и D 2 .

2. Определяются D 1 - как произведение двух квадратов

D 2 - как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g 1 , g 2 , h .

4. Определяются значения (2mn)11 , (2mn)21 , (2mn)31

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2 . Тогда можно записать

h = 7 , (g1 - g2 )2 + h2 = 58 -→ (g1 - g2 )2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1 +X2 +X3 -→ - ( - 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2 ) = 9, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 - g2 )= 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 9 -→ 3g1 = 15 -→ g 1 = 5 -→g 2 = 2.

-→ X 1 = 5, X 2 = 2 + 7 i , X 3 = 2 – 7 i

Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2 . Тогда можно записать

h = 5 , (g1 - g2 )2 + h2 = 34 -→ (g1 - g2 )2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1 +X2 +X3 -→ - ( - 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2 ) = 30, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 - g2 )= - 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 30 -→ 3g1 = 24 -→ g 1 = 8 -→g 2 = 11.

-→ X 1 = 8, X 2 = 11 + 5 i , X 3 = 2 – 5 i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1 = g + h, то X2 = g – hили X1 = (g + h), то X2 = (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b при X для X3 + bX2 + cX + d = ( X – X1 )∙( X2 + b X + c ) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )3 = x3 – 3ax2 +3a2 x – a3 = 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.


Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1 ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 - h)] = 0

-→ X2 – 2g2 X + (g2 2 – h2 ) = 0

-→ X1 = g1 , X2,3 = g2 ± h -→ X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h)

-→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + h

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – h

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - h - g2 – h = - 2h

-→ D1 = - ( 2mn)1 2 ∙ ( 2mn)2 2 ∙ ( 2mn)3 2 = - [(g1 - g2 ) + h]2 ∙ [(g1 - g2 ) - h]2 ∙ [2h]2

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 (3)

-→ D2 = - [ (2mn)1 2 + (2mn)2 2 + (2mn)3 2 ] = - [(g1 - g2 ) + h]2 + [(g1 - g2 ) - h]2 + 4h2

→ D2 = - [(g1 - g2 )2 + 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + (g1 - g2 )2 - 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + 4h2 ]

D 2 = - [ 2( g 1 - g 2 )2 + 6 h 2 ] = - 2 [( g 1 - g 2 )2 +3 h 2 ] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D 1 = - (4)

D 2 = - 2( 3c - b 2 ), (5)

где b , c , d - коэффициенты исходного кубического уравнения.

Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2 mn ) I = 0

При (2 mn ) I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3 x 2 + 2 bx +с = 0 (6)

X 2 = ( g 2 - h ), X 3 = ( g 2 + h ) X 2 = X 3 = g 2

(2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 )

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 )

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - g2 = 0

D1 = - ( 2mn)1 2 ∙ ( 2mn)2 2 ∙ ( 2mn)3 2 = 0

D2 = - [ (2mn)1 2 + (2mn)2 2 + (2mn)3 2 ] = - [ (2mn)1 2 + (2mn)2 2 ]

D2 = 2 (2mn)1 2 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )

→ (g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X 1 + 2 X 2

g 1 + 2 g 2 = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g 2 = -

X11,12 = g11,12 = [ - b ± ]

X 21,22 = g 21,22 = [ - b ± ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -41x2 + 475x – 1083 = 0

где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X11,12 = g11,12 = [ - b ± ] → X11,12 = [ 41 ± ] = [ 41 ± ]

→ X11 = , X1 = 3

X21,22 = g21,22 = [ - b ± ] → g21,22 = [ 41 ± ]= [ 41 ± ]

→ X21 = 19, X22 = X 2 = X 3 = 19

Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D 1 = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 h 2 .

4. Меньший множитель принимаем за h 2 [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 =

( g 1 - g 2 ) = (6)

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )

b = - ( g 1 + 2 g 2 ) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X1 = g1 = - b )

X11 = g11 = - b ) (8)

X12 = g12 = - b ) (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

7.g2 = -

g21 = -

g 22 = -

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -33x2 + 311x – 663 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D1 = [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 313600 = 4∙42 ∙72 ∙102 = 4∙402 ∙72 = 4∙702 ∙42 = 4∙282 ∙102

313600 = 4∙1402 ∙22 = 4∙72 ∙402 = 4∙52 ∙562

-→ = 402 ∙72 = 702 ∙42 = 282 ∙102 = 1402 ∙22 =52 ∙562

2. Пусть h 1 2 = 72

X1 = g11 = - b ) = - b) =

g11 = X11 = 13, X12 = 9.

g21 = - = - = 10

X 2,3 = g 21 + h 1 = 10 ± 7 → X 2 = 17, X 3 = 3

Задача решена!

Неприводимый случай формулы Кардана

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два мнимых сопряженных корня

X 2 = ( g 2 - ih ), X 3 = ( g 2 + ih ).

-→ (2 mn )1 = ( X 1 - X 2 ) = (g 1 - g 2 ) + ih

(2 mn )2 = ( X 1 - X 3 ) = (g 1 - g 2 ) – ih

(2 mn )3 = ( X 2 - X 3 ) = g 2 - ih - g 2 ih = - 2 ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D 1 = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 h 2 .

4. Меньший множитель принимаем за h 2 [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 =

( g 1 - g 2 ) =

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )

b = - ( g1 + 2g2 )

6. X1 = g1 = - b )

X11 = g11 = - b )

X12 = g12 = - b )

7.g2 = -

g21 = -

g 22 = -

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6x2 + 58x – 200 = 0

где a =1, b = - 6, c = 58, d = - 200

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D1 = [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 659344 = 4∙22 ∙72 ∙292 = 4∙142 ∙292 = 4∙72 ∙582 = 4∙22 ∙2032

-→ = 2032 ∙22 = 582 ∙72 = 292 ∙142

Пусть h 1 2 = 72

X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4

X1 = 4

g21 = - = - = 1

X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i

Задача решена !

Пример 10 Дано уравнение

x3 -6x2 + 21x – 52 = 0

где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров


Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168

→ D1 =[( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 21168 = 4∙22 ∙72 = 4∙142 = 4∙

→ D1 =

Пусть h 1 2 =

X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4

X1 = 4

g21 = - = - = 1

X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2iX2 = 1 + 2i , X3 = 1 - 2i

Сравните метод решения и результат с первоисточником.

[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев .Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]

Вывод новых формул

Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.

Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)

(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0

Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим

(2 mn )2 + ( 3 xi + b )(2 mn ) + 3 xi 2 + 2 bxi +с = 0

(2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0

(2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0

(2 mn )2 + ( 3 x 3 + b )(2 mn ) + 3 x 3 2 + 2 bx 3 +с = 0

Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2 mn ) I обязательно найдется отрицательное значение (2 mn ) j . Поэтому общая сумма всех корней вида (2 mn ) будет равна нулю.

( 3 x 1 + b ) + ( 3 x 2 + b ) + ( 3 x 3 + b ) = 0 → 3( x 1 + x 2 + x 3 ) = - 3 b

→ ( x 1 + x 2 + x 3 ) = - b .

Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.

Рассмотрим любых два уравнения, например,

(2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0

(2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0.

Здесь в качестве свободных членов имеем 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с и 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с. Их сумма равна

→ Σ = 3(x 1 2 + 3 x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что

3(x 1 2 +x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с = ( x 1 - x 2 )2

→ (x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с - x 1 x 2 = 0

Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь

→ ( x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с - x 1 x 2 = 0

→ ( x 1 + x 3 )2 + b ( x 1 + x 3 ) + с - x 1 x 3 = 0

→ ( x 2 + x 3 )2 + b ( x 2 + x 3 ) + с - x 2 x 3 = 0

Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!

В общем случае эта формула имеет вид

( xi + xj )2 + b ( xi + xj ) + с - xi xj = 0 ( 10 )

Пример 11 Проверить формулу ( 10 )

x3 -20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Здесь X 1 = 7 , X 2 = 2, X 3 = 11.

→ ( x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с - x 1 x 2 = 0 → (7 + 2)2 - 20( 7 + 2 ) + 113 - 7∙ 2= 0

→ ( x 1 + x 3 )2 + b ( x 1 + x 3 ) + с - x 1 x 3 = 0 → (7 + 11)2 - 20( 7 + 11 ) + 113 - 7∙ 11= 0

→ ( x 2 + x 3 )2 + b ( x 2 + x 3 ) + с - x 2 x 3 = 0 → (2 + 11)2 - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11= 0

Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).

Три действительных корня и два одинаковых

При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2 mn ) = 0.

Тогда из уравнения (2) следует 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.

Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.

Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0 → 3 x 1 2 - 50 x 1 + 203 = 0 → x 1,2 = ) → x 1 = , x 2 = 7.

Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является

X 1 = X 2 = 7 , X 3 = 11

Три действительных и одинаковых корня

В этом случае имеем для всех (2 mn ) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0.

x 1,2 = ). При равенстве трех корней имеем = 0

x 1,2,3 = - .

Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета

( x 1 + x 2 + x 3 ) = - b . При x = x 1 = x 2 = x 3 → 3 x = - b x = - .

Пример 12 Дано уравнение

x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188

-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙

2. Пусть h 2 =

= [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ]2 h 2 [( g 1 - g 2 )2 + h 2 ]2 = 36 [( g 1 - g 2 )2 - h 2 ] = ± 6

( g 1 - g 2 )2 = - 6 + = g 1 - g 2 = ± .

Второе уравнение ( x 1 + x 2 + x 3 ) = - b → (g 1 + g 2 + h + g 2 h ) = - bg 1 + 2 g 2 = 24

Таким образом, имеем два уравнения g 1 - g 2 = ± и g 1 = 24 - 2 g 2 .

24 - 2 g 2 - g 2 = ± g 2 = = g 2 = g 1 = 24 - 2 g 2 g 1 = 24 – 17g 1 = 7

X 1 = 7, X 2 = ( 17 + ), X 3 = ( 17 - )

Задача решена!

Внимание! В данном примере имеет место множитель в значениях X 2 и X 3 . Этот случай обусловлен следующим

1. Разделим исходное уравнение x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 на (x – 7)

= - x2 + 17x – 64→ x3 – 24x2 + 183x – 448= (x – 7)∙( x2 - 17x + 64)=0.

кубическое уравнение формула кардан

2. В уравнении x2 - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙ .

Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.

E- Mail: fgg-fil1@narod.ru

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:35:22 19 марта 2016

Работы, похожие на Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
A = , X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.
Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Вычислительная математика
... методами. Основные понятия 1.1 Погрешность 1.2 Корректность 1.3 Вычислительные методы Тема 2. Решение нелинейных уравнений 2.1 Постановка ...
Подставим теперь x1 в уравнение (2.4) и получим новое приближение x2 = j(x1) и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню:
Наконец, из первого уравнения, подставив в него найденные значения x4, x3 и x2, вычислим x1 = -1.000.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 4533 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Способы решения систем линейных уравнений
очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того ...
Из четвертого уравнения x4 = -1, из третьего х3 = 3. Подставив значения х3 и x4 во второе уравнение, найдем x2 = 2. Подставив значения x2, x3, x4 в первое уравнение, найдем x1 = 1.
Несколько уравнений вида a1x1 + .+ anxn= b образуют систему линейных уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 11748 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 9 человек Средний балл: 3.3 Оценка: 3     Скачать
Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе
ГОУ СПО "Кунгурское педагогическое училище" Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе Курсовая работа по методике математики ...
2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0 ...
3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = - с и далее х2.= - В случае, когда - < 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 3145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 ...
... РФ Светлоградский педагогический колледж Дипломная работа Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5 - 9 классах Выполнила:
Например, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х2 = b, где b-неотрицательное рациональное число, но ...
Первый: используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения х + 1=х + 2 и x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют корней.
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: реферат Просмотров: 20710 Комментариев: 8 Похожие работы
Оценило: 7 человек Средний балл: 2.6 Оценка: 3     Скачать
Корни многочленов от одной переменной
Новосибирский государственный педагогический университет. Математический факультет. Кафедра алгебры. Курсовая работа по математике. Многочлены ...
Например, если f (x) =x2-3x+2, то числа 1 и 2 являются корнями этого многочлена, ибо f (1) =0 и f (2) =0. А вот многочлен f (x) =5 корней вообще не имеет.
Аналогично второе выражение - это произведение многочленов g1 (x) =x2-1 и g2 (x) =2x+5, а значит, тоже многочлен.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 3842 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Нечеткие множества в системах управления
В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков Нечеткие множества в системах управления Под редакцией доктора технических наук, профессора Ю.Н ...
B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;
Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида < , T1, X, G1,M1> и < , T2, Y, G2, M2>, когда в форме значений лингвистических переменных формализованы ...
Раздел: Рефераты по логике
Тип: реферат Просмотров: 5840 Комментариев: 6 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно     Скачать
Рациональные уравнения и неравенства
Содержание I. Рациональные уравнения. 1) Линейные уравнения. 2) Системы линейных уравнений. 3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним. 4 ...
Формулы X1 + X2 = - b / a и X1X2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень X1 кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X1.
Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 12877 Комментариев: 7 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 2 Оценка: неизвестно     Скачать
Сравнительный анализ методов оптимизации
Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский Государственный Технический Университет Кафедра Пояснительная записка к курсовой ...
Если , то перейти к отрезку [а; x2], положив b = x2 , иначе - к отрезку [x1; b], положив а = x1 .
Последующий поиск по образцу в направлении x1- x2 приводит в точку y. Затем исследующий поиск, начинающийся из точки y, дает точку x3.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 643 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Двухосный индикаторный стабилизатор телекамер на ВО
МГТУ им. Баумана. Факультет Информатики и систем управления. Кафедра ИУ-2. Расчетно-пояснительная записка к дипломной работе на тему: "Двухосный ...
J2Чx2''+D12Ч(x2'-x1')-D23Ч(x3'-x2')+C12Ч(x2-x1)-C23Ч(x3-x2)= М2
В этом случае уравнения движения модели (1) с учетом того, что x3=x4 имеют следующий вид:
Раздел: Рефераты по технологии
Тип: реферат Просмотров: 269 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Все работы, похожие на Контрольная работа: Новый метод решения кубического уравнения (1554)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150651)
Комментарии (1838)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru