Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Дипломная работа: Простейшие способы обработки опытных данных

Название: Простейшие способы обработки опытных данных
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Добавлен 04:56:32 04 августа 2007 Похожие работы
Просмотров: 29 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство Образования Российской Федерации

Вятский Государственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Простейшие способы обработки опытных данных.

Выполнила студентка 5курса

математического факультета

О.И. Окуловская

/подпись/


Научный руководитель:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В. Ончукова

/подпись/


Рецензент:

Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В. Караулова

/подпись/


Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой М.В. Крутихина

/подпись/ << >>

Декан факультета В.И.Варанкина

/подпись/ << >>

Киров

2003

Оглавление .

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

§1.Простейшие способы обработки опытных данных . . . . . . . . . . . 4

1.1.Подбор параметров способом средних . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.Подбор параметров способом наименьших

квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

§2.Применение простейших способов обработки опытных

данных к конкретным процессам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Применение простейших способов обработки

опытных данных к физической модели . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Применение простейших способов обработки опытных данных к реальному процессу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Введение.

Данная тема не достаточно широко освещена в математической литературе.В математической статистике при обработке опытных данных чаще всего применяются способ средних и способ наименьших квадратов.

В настоящее время эти способы широко применяются при обработке количественных результатов естественно-научных опытов, технических данных, астрономических и геодезически наблюдений и измерений.

Также возможно применение этих способов при обработке полученных практическим путем данных физических процессов. Например, изучая силу тока в проводниках с постоянным сопротивлением, мы можем зафиксировать значение силы тока при определенном напряжении, то есть не во всех точках, а в небольшом количестве. Применяя способ средних и способ наименьших квадратов, мы имеем возможность с помощью полученных точек подобрать такую функцию, которая бы наиболее близко проходила через эти точки. Это позволяет более полно использовать информацию из наблюдений.

Цели данной работы:

1. Овладение простейшими способами обработки опытных данных.

2. С помощью способа средних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденных функционально зависимых величин подобрать функцию, которая наиболее точно описывала бы данный процесс.

3. Применить описанные методы для описания реальных процессов.

§ 1. Простейшие способы обработки опытных данных.

1.1 . Подбор параметров способом средних.

Способ средних основывается на допущении, что наи­более подходящей линией служит та, для которой алгебраическая сумма укло­нений равна нулю. Для того чтобы найти этим способом неизвестные постоян­ные в эмпирической формуле, сначала подставляем в эту формулу все пары наблюдавшихся или замеренных значений xи yи получаем столько уклонений, сколько пар значений (x ; y)в таблице (уклонения—вертикальные расстояния от данных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения по группам, составляя столько групп, сколько неизвестных параметров эмпи­рической формулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений по каждой группе, получим систему линейных уравнений относительно пара­метров.

a) Частный случай.S= A*tq .

t t1 t2 t3 t4 . . . . . . tn
S S1 S2 S3 S4 . . . . . . Sn

Уклонения имеют вид d = A*tq – S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему урав­нений относительно параметров A и q:

(l<n)

Решение этой системы затруднительно. Поэтому без большей потери в точности, можно приравнять нулю сумму уклонений логарифма S, то есть

d’ = lg A + q * lg T – lg S.

Тогда система примет вид

(l<n)

Из системы и определяют q и S.

b) Частныйслучай . S = a0 + a1 *t + a2 *t2 .


t t1 t2 t3 t4 . . . . . . tn
S S1 S2 S3 S4 . . . . . . Sn

Уклонения имеют вид d =a0 + a1 * t + a2 * t2 - S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему

урав­нений относительно параметров a0, a1, a2 :

(l<m<n)

Из системы и определяют a0, a1, a2 .

1.2 .Подбор параметров способом наименьших квадратов.

На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально связанных величин xи yизвестны nпар соответствующих значений ,которые могут быть представлены в виде таблицы

x x1 x2 x3 . . . xn
y y1 y2 y3 . . . yn

Требуется в наперед заданной формулеy = f(x,a1 , a2 , …,am )определить mпараметров a1 , a2 , …,am (m < n)так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные n пар значений x иy.

Оценки параметров a1 , a2 , …,am определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений значений y, вычисленных по формуле, от заданных, то есть

L= å [f(xk ,a1 , a2 , …,am ) – yk ] 2

принимала наименьшее значение. Поэтому сам способ получил название способа наименьших квадратов.

Это условие дает систему m уравнений, из которых определяются a1 , a2 , …,am :

∂L/∂a1 =0,

∂L/∂a2 =0 , (1)

. . . . . .

∂L/∂am =0.

На практике заданную формулу y = f(x,a1 , a2 , …,am )иногда прихо­дится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (при подборе параметров в формулах y=A*ect и y=A*tq ).

a) Частный случай. y = Aect .

Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую xи y, предвари­тельно логарифмируют и заменяют формулой

lg y = lg A + c*lg e*x .

Продифференцировав величину L по A и c и приравняв нулю, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными A и c.

(2)

Система (2) примет следующий вид:

(2’)

Для определения коэффициентов (2’) удобно составить вспомогательную таблицу:

k xk xk 2 lg yk xk *lg yk
1 x1 x1 2 lg y1 x1 *lg y1
2 x2 x2 2 lg y2 x2 *lg y2
n xn xn 2 lg yn xn *lg yn
å

Из системы (2’) определяют c и A .

б) Частный случай. y=A*xq .

Эту формулу также предварительно логарифмируют и заменяют следующей:

lg y = lg A + q * lg x.

Система (1) теперь примет вид

(4)

Вспомогательная таблица имеет вид

k lg xk lg2 xk lg yk lg xk * lg yk
1 lg x1 lg2 x1 lg y1 lg x1 * lg y1
2 lg x2 lg2 x2 lg y2 lg x2 * lg y2
n lg xn lg2 xn lg yn lg xn * lg yn

Из системы (3) определяют A и q.


§2. Применение простейших способов обработки опытных данных к конкретным процессам.

2.1. Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели .

Задача 1. На рисунке 1 изображена индикаторная диаграмма (упрощенная) паровой машины

S

A

10 B

C

35 70 t

рис.1

Точки кривой ВС соответствуют значениям из таблицы 1:

T 35 40 45 50 55 60 65 70
S 10 8,41 7,21 6,29 5,56 4,96 4,47 4,06

Нужно, используя способ средних и способ наименьших квадратов, найти

такую функцию, график которой наиболее приближен к данным точкам.

Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую

таблице 1. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.Подставив

онкретные значения S и t, получим:

δ`1 = lg A + 1,5441*q – 1,0000 ,

δ`2 = lg A + 1,6021*q – 0,9248 ,

δ`3 = lg A + 1,6532*q – 0,8579 ,

δ`4 = lg A + 1,6990*q – 0,7987 ,

δ`5 = lg A + 1,7404*q – 0,7451 ,

δ`6 = lg A + 1,7782*q – 0,6955 ,

δ`7 = lg A + 1,8129*q – 0,6503 ,

δ`8 = lg A + 1,8451*q – 0,6085 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получаем систему уравнений для определения параметров А и q:

4*lgA+6,4984*q=3,5814 ,

4*lgA+7,1766*q=2,6994 .


Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017,02 . Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 1017,02 * t–1,3 .

t 35 40 45 50 55 60 65 70
S 10 8,41 7,22 6,29 5,56 4,97 4,47 4,06

Ошибка составляет: Σ (ΔSi )2 = 0,012 + 0,012 = 0,0002 .

Способом наименьших квадратов подберем степенную функцию

вида S = A*tq , отвечающую таблице 1.

Составим вспомогательную таблицу:

K xk = lg Sk xk 2 yk = lg Sk xk * yk
1 1,5441 2,3842 1,0000 1,5441
2 1,6021 2,5667 0,9248 1,4816
3 1,6532 2,7331 0,8579 1,4183
4 1,6990 2,8866 0,7987 1,3570
5 1,7404 3,0290 0,7451 1,2968
6 1,7782 3,1620 0,6955 1,2367
7 1,8129 3,2866 0,6503 1,1789
8 1,8451 3,4133 0,6085 1,1227
13,6748 23,4516 6,2808 10,6362

Получаем систему уравнений:

13,6748*q+8*lgA=6,2808 ,

23,4516*q+13,6748*lgA=10,6362 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 1017*t–1,3 .

T 35 40 45 50 55 60 65 70
S 10 8,42 7,22 6,29 5,56 4,96 4,48 4,06

Ошибка составляет: Σ (ΔSi )2 = 0,012 + 0,012 +0,012 = 0,0003 .

Способом наименьших квадратов подберем показательную

функцию S = A*ect , отвечающую таблице 1.

Составим вспомогательную таблицу:

K T t2 y=lgSk T*y
1 35 1225 1,0000 35,0000
2 40 1600 0,9248 36,9920
3 45 2025 0,8379 38,6055
4 50 2500 0,7987 39,9350
5 55 3025 0,7451 40,9805
6 60 3600 0,6955 41,7300
7 65 4225 0,6503 42,2695
8 70 4900 0,6085 42,5950
420 23100 6,2808 318,1075

Получаем систему уравнений:

420*c*lge + 8*lgA = 6,2808 ,

23100*c*lge + 420*lgA = 318,1063 .

Решение этой системы c = - 0,026 , A = 23,27 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 23,27 * e– 0,026* t .

T 35 40 45 50 55 60 65 70
S 9,39 8,25 7,25 6,37 5,59 4,91 4,32 3,79

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = 0,3721 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0064 + 0,0009 + 0,0025 +

+ 0,0729 = 0,5045.

Таким образом, кривую ВС для заданных значений t и S

(таблица 1) наиболее точно описывает степенная функция вида

S = A*tq , найденная с помощью способа средних.

2.2. Применение простейших способов обработки опытных данных

к физической модели .

Задача 2. На рисунке 2 представлена индикаторная диаграмма

дизельного двигателя


Рис.2

Адиабата ВС соответствует значениям таблицы 2:

T 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 35 20,66 14,21 10,64 8,39 6,87 5,77 4,95 4,32

Адиабата AD соответствует значениям таблицы 3:

T 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 35 13,73 7,94 5,39 3,99 3,12 2,53 2,11 1,8 1,56

Требуется с помощью способа средних и способа наименьших

квадратов для адиабат AD и BC найти такие функции, графики которых

наиболее приближены к данным точкам.

Рассмотрим адиабату ВС.

Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую

таблице 2. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.Подставив

конкретные значения S и t, получим:

δ`1 = lg A + 0,6021*q – 1,5441 ,

δ`2 = lg A + 0,7782*q – 1,3151 ,

δ`3 = lg A + 1,9031*q – 1,1526 ,

δ`4 = lg A + 1,0000*q – 1,0269 ,

δ`5 = lg A + 1,0792*q – 0,9238 ,

δ`6 = lg A + 1,1461*q – 0,8370 ,

δ`7 = lg A + 1,2041*q – 0,7612 ,

δ`8 = lg A + 1,2553*q – 0,6946 ,

δ`9 = lgA + 1,3010*q – 0,6355 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров А и q:

5*lgA+4,3626*q=5,9625 ,

4*lgA+4,9065*q=2,9283 .

Решение этой системы q = -1.3 , A = 212.22 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 212.22*t– 1,3 .

T 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 35 20,66 14,22 10,64 8,39 6,87 5,77 4,95 4,32

Ошибка составляет: Σ (ΔSi )2 = 0,012 = 0,0001 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида S = A*tq , которая отвечает таблице 2.

Составим вспомогательную таблицу:

K xk = lg tk xk 2 yk = lg Sk xk *yk
1 0,6021 0,3625 1,5441 0,9297
2 0,7782 0,6056 1,3151 1,0234
3 0,9031 0,7028 1,1526 1,0412
4 1,0000 1,0000 1,0269 1,0269
5 1,0792 1,1647 0,9238 0,9970
6 1,1461 1,3135 0,8370 0,9593
7 1,2041 1,4499 0,7612 0,9166
8 1,2553 1,5758 0,6946 0,8710
9 1,3010 1,6926 0,6355 0,8268
9,2690 9,9802 8,8907 8,5928

Получаем систему уравнений:

9,2690*q+9*lgA=8,8907 ,

9,9802*q+ 9,2690*lgA=8,5928 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 212,21 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 212,21*t–1,3 .

T 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 35 20,66 14,22 10,65 8,39 6,87 5,77 4,95 4,31

Ошибка составляет: Σ (ΔSi )2 = 0,012 + 0,012 = 0,0002 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*ect , отвечающую таблице 2.

Составим вспомогательную таблицу:

K t t2 y=lg Sk T * y
1 4 16 1,5441 6,1764
2 6 36 1,3151 7,8906
3 8 64 1,1526 9,2232
4 10 100 1,0269 10,2690
5 12 144 0,9238 11,0856
6 14 196 0,8370 11,7180
7 16 256 0,7612 12,1792
8 18 324 0,6946 12,5028
9 20 400 0,6355 12,7100
108 1536 8,8907 93,7548

Получаем систему уравнений:

108*c*lge + 98*lg A=8,8907 ,

1536*c*lge + 108*lg A=93,7548 .

Решение этой системы c = - 0,124 , A = 41,05 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 41,05*e– 0,124* t .

T 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 25,39 19,97 15,71 12,36 9,72 7,64 6,01 4,73 3,72

Ошибка составляет:

Σ(Δ Si )2 = 9,612 + 0,692 + 1,52 + 1,722 + 1,332 + 0,782 + 0,332 + 0,022 +

+ 0,262 + 0,432 = 10,6719 .


Рассмотрим адиабату AD.

Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую

таблице 3. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.Подставив

конкретные значения S и t, получим:

δ`1 = lg A + 0,3010*q – 1,5441 ,

δ`2 = lg A + 0,6021*q – 1,1377 ,

δ`3 = lg A + 0,7782*q – 0,8998 ,

δ`4 = lg A + 0,9031*q – 0,7316 ,

δ`5 = lg A + 1,0000*q – 0,6010 ,

δ`6 = lg A + 1,0792*q – 0,4942 ,

δ`7 = lg A + 1,1461*q – 0,4031 ,

δ`8 = lg A + 1,2041*q – 0,3243 ,

δ`9 = lg A + 1,2553*q – 0,2553 ,

δ`10 = lg A + 1,3010*q – 0,1931 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров А и q:

5*lgA+3,5844*q=4,9142 ,

5*lgA+5,9867*q=1,6700 .

Решение этой системы q = -1,35, A = 89,125 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 89,125*t– 1,35 .

T 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 34,.96 13,72 7.94 5.38 3.98 3.11 2.53 2.11 1.8 1.56

Ошибка составляет:

Σ(Δ Si )2 = 0,042 + 0,012 + 0,012 + 0,012 + 0,012 = 0,002.

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*tq , которая отвечает таблице 3.

Составим вспомогательную таблицу:

K xk =lg tk Xk 2 yk =lg Sk xk * yk
1 0,3010 0,0906 1,5441 0,4648
2 0,6021 0,3625 1,1377 0,6850
3 0,7782 0,6056 0,8998 0,7002
4 0,9031 0,8156 0,7316 0,6607
5 1,0000 1,0000 0,6010 0,6010
6 1,0792 1,1647 0,4942 0,5333
7 1,1461 1,3135 0,4031 0,4620
8 1,2041 1,4499 0,3243 0,3905
9 1,2553 1,5758 0,2553 0,3205
10 1,3010 1,6926 0,1931 0,2512
9,5701 10,0708 6,5842 5,0692

Получаем систему уравнений:

9,5701*q+10*lgA=6,5842 ,

10,0708*q+9,5701*lgA=5.0692 .

Решение этой системы q = -1,35 , A = 89,32 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 89,32*t–1,35 .

T 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 35,02 13,75 7,95 5,39 3,99 3,12 2,53 2,12 1,8 1,57

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = 0,042 + 0,022 + 0,012 + 0,012 + 0,012 = 0,0023 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*ect , отвечающую таблице 3.

Составим вспомогательную таблицу:

K t t2 y=lgSk t*y
1 2 4 1,5441 3,0882
2 4 16 1,1377 4,5508
3 6 36 0,8998 5,3988
4 8 64 0,7316 5,8528
5 10 100 0,6010 6,0100
6 12 144 0,4942 5,9304
7 14 196 0,4031 5,6434
8 16 256 0,3243 5,1888
9 18 324 0,2553 4,5954
10 20 400 0,1931 3,9520
110 1540 6,5842 50,2206

Получаем систему уравнений:

110*c*lge + 10*lg A=6,5842 ,

1540*c*lge + 110*lg A=50,2206 .

Решение этой системы c = - 0,155 , A = 25,05 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 25,05*e– 0,1550* t .

T 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S 34,16 13,67 9,88 7,24 5,31 3,90 2,86 2,09 1,54 1,13

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = 0,842 + 0,262 + 1,942 + 1,852 + 1,322 + 0,782 + 0,332 + 0,022 +

+ 0,262 + 0,432 = 10,6719 .

Таким образом, адиабаты AD и BCдля заданных значений t и S

(таблицы 2 и 3) наиболее точно описывают степенные функции вида

S = A*tq ,найденные с помощью способа средних.

2.3. Применение простейших способов обработки опытных данных к

реальному процессу.

Задача 3. На рисунке 3 изображена индикаторная диаграмма работы пара в цилиндре паровой машины:


рис.3

Точки кривой ABC соответствуют значениям из таблицы 4:

T 7,7 15,8 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 60,6 53,0 32,2 24,4 19,9 17,0 15,0 13,3 12,0 11,0 6,2

Точки кривой EHD соответствуют значениям из таблицы 5:

T 7,7 15,8 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 5,8 1,2 0,6 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,3 1,8 5,7

Требуется, используя способ средних и способ наименьших квадратов,

для кривых ABC и EHD найти такие функции, графики которых наиболее приближены к данным точкам.

Для кривой BC подберем функции вида S = A*tq и S = A*ect с

помощью способа средних и способа наименьших квадратов,

соответствующие таблице 4.1:

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 32,2 24,4 19,9 17,0 15,0 13,3 12,0 11,0 6,2

Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , которая

отвечает таблице 4.1. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.

Подставив конкретные значения S и t, получим:

δ`1 = lg A + 1,3784*q – 1,5079 ,

δ`2 = lg A + 1,5052*q – 1,3874 ,

δ`3 = lg A + 1,6031*q – 1,2989 ,

δ`4 = lg A + 1,6830*q – 1,2304 ,

δ`5 = lg A + 1,7505*q – 1,1761 ,

δ`6 = lg A + 1,8098*q – 1,1239 ,

δ`7 = lg A + 1,8603*q – 1,0792 ,

δ`8 = lg A + 1,9063*q – 1,0414 , δ`9 = lg A + 1,9479*q – 0,7924 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров A и q:

5*lgA+7,9202*q=6,6007 ,

4*lgA+7,5234*q=4,0369 .

Решение этой системы q = -1,05 ,A = 955,94 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 955,94*t–1,05 .

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 34,13 25,12 19,82 16,34 13,88 12,05 10,64 9,52 8,61

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = (-1,93)2 + (-0,72)2 + 0,082 + 0,662 + 1,122 + 1,252 + 1,362 +

+ 1,482 + (-2,41)2 = 17,3503 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*tq , которая отвечает таблице 4.1.

Составим вспомогательную таблицу:

K xk = lgSk xk 2 yk = lgSk xk * yk
1 1,3784 1,9000 1,5079 2,0785
2 1,5052 2,2656 1,3874 2,0883
3 1,6031 2,5699 1,2989 2,0823
4 1,6831 2,8328 1,2304 2,0709
5 1,7505 3,0643 1,1761 2,0588
6 1,8089 3,2721 1,1239 2,0330
7 1,8604 3,4611 1,0792 2,0077
8 1,9063 3,6340 1,0414 1,9852
9 1,9479 3,7943 0,7924 1,5435
15,4438 26,7941 10,6374 17,9477

Получаем систему уравнений:

15,4438*q+9*lgA=10,6374 ,

26,7941*q+15,4438*lgA=17,9477.

Решение этой системы q = -1,03 , A = 900,27 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 900,27*t–1,03 .



T

23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64.4 72,5 80,6 88,7
S 34,25 25,36 20,10 16,63 14,17 12,34 10,92 9,79 8,87

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = (-2,05)2 + (-0,96)2 + (-0,2)2 + 0,372 + 0,832 + 0,962 + 1,082 +

+ 1,212 + (-2,67)2 = 16,6709.

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*ect , отвечающую таблице 4.1.

Составим вспомогательную таблицу:

K t t2 y=lgSk t*y
1 23,9 571,21 1,5079 36,0328
2 32,0 1024,00 1,3874 44,3968
3 40,1 1608,01 1,2989 52,0859
4 48,2 2323,24 1,2304 59,3053
5 56,3 3169,69 1,1761 66,2144
6 64,4 4147,36 1,1239 72,3792
7 72,5 5256,25 1,0792 78,2420
8 80,6 6496,36 1,0414 83,9368
9 88,7 7867,69 0,7924 70,2859
506,7 32463,81 10,6374 562,8791

Получаем систему уравнений:

506,7*c*lge + 9*lgA = 10,6374 ,

32463,81*c*lge + 506,7*lgA = 562,8791 .

Решение этой системы c = -0,02 , A = 49,76 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 49,76*e-0,02* t .

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 30,9 26,29 22,37 19,03 16,19 13,78 11,72 9,98 8.49

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si ) 2 = 1,32 + (-1,89)2 + (-2,47)2 + (-2,03)2 + (-1,19)2 + (-0,48)2 + 0,282 +

+ 1,022 + (-2,29)2 = 23,4933.

Для кривой AB подберем функцию вида S=a0 + a1 *t + a2 *t2 с

помощью способа средних, отвечающую таблице 4.2:

T 7,7 15,8 23,9
S 60,6 53,0 32,2

Уклонения имеют вид δ`= a0 + a1 *t + a2 *t2 - S. Подставив конкретные

значения S и t, получим:

δ`1 = a0 + 7,7*a1 + 59,29*a2 – 60,6 ,

δ`2 = a0 + 15,8*a1 + 249,64*a2 – 53,0 ,

δ`3 = a0 + 23,9*a1 + 571,21*a2 – 32,2 .

Приравняв нулю эти уклонения, получим систему трех уравнений

для определения параметров a0 , a1 , a2 :

a0 + 7,7*a1 + 59,29*a2 = 60,6

a0 + 15,8*a1 + 249,64*a2 = 53,0

a0 + 23,9*a1 + 571,21*a2 = 32,2

Решениеэтойсистемы a0 = 55,67, a1 = 1,41,a2 = - 0,1.Такимобразом,

искомая квадратичная функция имеет вид S= 55,67 + 1,41*t – 0,1*t2 .

T 7,7 15,8 23,9
S 60,6 52,98 32,25

Ошибка составляет:

Σ (ΔSi ) 2 = 0,022 + (-0,05)2 = 0,0029.

Таким образом, кривую BC для заданных значений t и S

(таблица 4.1) наиболее точно описывает степенная функция вида

S = A*tq , найденная с помощью способа наименьших квадратов. А

кривую AB для заданных значений t и S (таблица 4.2) наиболее точно

описывает квадратичная функция вида S = a0 + a1 *t + a2 *t2 , найденная

с помощью способа средних.

Для кривой HD подберем функции вида S = A*tq и S = A*ect с

помощью способа средних и способа наименьших квадратов,

соответствующие таблице 5.1:

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 0,6 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,3 1,8 5,7

Способом средних подберем функцию вида S = A*tq , отвечающую

таблице 5.1.Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS. Подставив

конкретные значения S и t, получим:

δ`1 = lg A + 1,3783*q – (- 0,2218) ,

δ`2 = lg A + 1,5052*q – (- 0,2218) ,

δ`3 = lg A + 1,6031*q – (-0,1549) ,

δ`4 = lg A + 1,6831*q – (-0,0969) ,

δ`5 = lg A + 1,7505*q – (- 0,0458) ,

δ`6 = lg A + 1,8089*q – 0 ,

δ`7 = lg A + 1,8604*q – 0,1139 ,

δ`8 = lg A + 1,9063*q – 0,2553 ,

δ`9 = lgA + 1,9479*q – 0,7559 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров A и q:

5*lgA+7,9202*q= - 0,7412 ,

4*lgA+7,5234*q= 1,1251.

Решение этой системы q = 1,45 , A = 0,004 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 0,004*t1,45 .

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 0,40 0,61 0,84 1,1 1,38 1,67 1,99 2,32 2,67

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = 0,22 + (-0,01)2 +(-0,14)2 + (-0,3)2 + (-0,48)2 + (-0,67)2 + (-0,69)2 +

+ (-0,52)2 + 3,032 = 10,7564 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*tq , отвечающая таблице 5.1.

Составим вспомогательную таблицу:

k xk = lg Sk x k 2 yk = lg Sk xk *yk
1 1,3784 1,9000 -0,2218 -0,3057
2 1,5052 2,2656 -0,2218 -0,3338
3 1,6031 2,5699 -0,1549 -0,2483
4 1,6831 2,8328 -0,0969 -0,1631
5 1,7505 3,0643 -0,0458 -0,0802
6 1,8089 3,2721 0 0
7 1,8604 3,4611 0,1139 0,2119
8 1,9063 3,6340 0,2553 0,4867
9 1,9479 3,7943 0,7559 1,4724
15,4438 26,7941 0,3839 1,0399

Получаем систему уравнений:

15,4438*q+9*lgA=0,3839 ,

26,7941*q+15,4438*lgA=1,0399.

Решение этой системы q = 1,3 , A = 0,006 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 0,006 * t1,3 .

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 0,4 0,54 0,73 0,92 1,13 1,35 1,57 1,8 2,04

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = 0,22 +0,062 +(-0,03)2 + (-0,12)2 + (-0,23)2 +(-0,35)2 + (-0,27)2 +

+ 3,662 = 13,7028 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*ect , отвечающая таблице 5.1.


Составим вспомогательную таблицу:

k t t2 y = lg Sk t*y
1 23,9 571,21 -0,2218 -5,3010
2 32,0 1024,0 -0,2218 -7,0976
3 40,1 1608,01 -0,1549 -6,2115
4 48,2 2323,24 -0,0969 -4,6706
5 56,3 3169,69 -0,0458 -2,5785
6 64,4 4147,36 0 0
7 72,5 5256,25 0,1139 8,2578
8 80,6 6496,36 0,2553 20,5772
9 88,7 7867,69 0,7559 67,0483
506,7 32763,81 0,3839 70,0241

Получаем систему уравнений:

506,7*c*lge + 9*lg A = 0,3839 ,

32763,81*c*lge + 506,7*lg A = 70,0241.

Решение этой системы c = 0,03 , A = 0,25 .Таким образом, искомая

показательная функция имеет вид S = 0,25e0,03 * t .

T 23,9 32,0 40,1 48,2 56,3 64,4 72,5 80,6 88,7
S 0,51 0,65 0,83 1,06 1,35 1,72 2,19 2,79 3,55

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si ) 2 = 0,092 + (-0,05)2 +(-0,13)2 +(-0,26)2 + (-0,45)2 +(-0,72)2 +

+(-0,89)2 +(-0,99)2 + 2,152 =7,2107 .

Для кривой EH подберем квадратичную функцию вида

S=a0 + a1 *t + a2 *t2 с помощью способа средних, отвечающую таблице 5.2:

T 7,7 15.8 23,9
S 5,8 1,2 0,6

Уклонения имеют вид δ`= a0 + a1 *t + a2 *t2 - S. Подставив конкретные значения S и t, получим:

δ`1 = a0 + 7,7*a1 + 59,29*a2 – 5,8 ,

δ`2 = a0 +15,8*a1 + 249,64*a2 – 1,2 ,

δ`3 = a0 + 23,9*a1 + 571,21*a2 – 0,6 .

Приравняв нулю эти уклонения, получим систему трех уравнений

для определения параметров a0 , a1 , a2 :

a0 + 7,7*a1 + 59,29* a2 = 5,8 ,

a0 +15,8*a1 + 249,64* a2 = 1,2 ,

a0 + 23,9*a1 + 571,21* a2 = 0,6 .

Решениеэтойсистемы a0 = 13,8 , a1 = -1,27, a2 = 0,03 .Такимобразом,

искомая квадратичная функция имеет вид S = 13,8 – 1,27*t + 0,03*t2 .

T 7,7 15,8 23,9
S 5,78 1,22 0,58

Ошибка составляет:

Σ (Δ Si )2 = 0,022 + (-0,02)2 + 0,022 = 0,0012.

Таким образом, кривую HD для заданных значениях t и S

(таблица 5.1) наиболее точно описывает показательная функция

S = A*ect , найденная с помощью способа наименьших квадратов.

А кривую EH для заданных значениях t и S (таблица 5.2) наиболее

точно описывает квадратичная функция S=a0 + a1 *t + a2 *t2 .

Для реального процесса работы пара в цилиндре, зная только

одиннадцать значений (t; S), мы подобрали функции:

- кривую AB наиболее точно описывает квадратичная функция

S = 55,67 + 1,41*t – 0,1*t2 , где t є [0;23,9];

- кривую BC наиболее точно описывает степенная функция

S = 900,27 * t-1,03 , где t є [23,9;+∞);

- кривую EH наиболее точно описывает квадратичная функция

S = 13,8 - 1,27*t + 0,03*t2 , где t є [0;23,9];

- кривую HD наиболее точно описывает показательная функция

S = 0,25 * e0,03 * t , где t є [23,9;+∞).

Cпомощью найденных функций можно:

ä- приближенно вычислить работу пара в цилиндре не только в

заданных точках, но и в промежуточных. Например, можно примерно подсчитать, что при объеме пара t = 55 в процессе расширения давление

пара в цилиндре S= 900,27*55-1,03 = 14,51 , а в процессе сжатия

S = 0,25*e0,03 *55 = 1,3. При объеме пара t = 10 в процессе расширения

давление пара в цилиндре S = 55,67 + 1,41*10 – 0,1*102 = 59,77 ,а в

процессе сжигания S = 13,8 - 1,27*10 + 0,03*102 = 4,1.

ä-сделать предположение о том, как будет происходить работа паровой

машины при увеличении объема до бесконечности (что невозможно

проделать на практике).

Заключение.

В данной работе были достигнуты следующие цели:

1. Овладение простейшими способами обработки опытных данных.

2. С помощью способа средних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденных функционально зависимых величин подобрать функцию, которая бы наиболее точно описывала данный процесс.

3. Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов.

При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например, к математической и физической моделям наиболее точно можно подобрать функции с помощью способа средних. А реальный процесс лучше описывать не одной функцией, а несколькими на различных промежутках.

Таким образом, для обработки опытных данных необходимо использовать и способ средних, и способ наименьших квадратов.

Литература.

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –

СПб.: Профессия, 2001.

2. Данко П.Е. и другие. Высшая математика в упражнениях и задачах. –

М.: Высшая школа, 1999.

3. Мантуров О.В. Курс высшей математики. -

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:18:53 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:37:34 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
13:04:41 25 ноября 2015

Работы, похожие на Дипломная работа: Простейшие способы обработки опытных данных

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150727)
Комментарии (1839)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru