Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Учебное пособие: Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Название: Непрерывность функции на интервале и на отрезке
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Добавлен 02:51:57 15 февраля 2009 Похожие работы
Просмотров: 683 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Определение 3.3 Пусть - некоторая функция, - её область определения и - некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или )7 . Назовём функцию непрерывной на интервале если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:

Пусть теперь - (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть

Теорема 3.5 Пусть и - функции и - интервал или отрезок, лежащий в . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок пpи всех , то функция также непpеpывна на .

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 - пpедложение 3.3:

Предложение 3.4 Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке - это линейное пpостpанство:

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и - числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок в случае - отрезок и т.д.

Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность - неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность - невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим, теперь . Тогда

и

поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей и , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), и , то есть и . Значит, , и - корень уравнения .

Пример 3.14 Рассмотрим функцию на отрезке . Поскольку и - числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала . Это означает, что уравнение имеет корень .

Рис.3.17. Графическое представление корня уравнения

Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень - единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18. Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка

Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня

Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть - некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что .

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что .

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называется нижней гранью множества ) имеется точная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества

Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .

Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то .

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

Лемма 3.1 Пусть - непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех .

Рис.3.22. Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

Доказательство. Поскольку - ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,

Значит, , так что точка принадлежит множеству и .

В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт

откуда , и .

Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .

Рис.3.23. Непрерывная на отрезке функция ограничена

Доказательство. Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что

Действительно, . Если какая-либо точка из , например , лежит между и , то

то есть - промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что - наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех .

Точно так же далее доказывается, что при всех , при всех , ит.д. Итак, - возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции следует, что существует , но при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что при .

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , такая что при всех (то есть - точка минимума: ), и существует точка , такая что при всех (то есть - точка максимума: ). Иными словами, минимальное и максимальное8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и этого отрезка.


Рис.3.24. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на - число . Тем самым, множества , ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел Так как , то и

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .

Аналогично доказывается существование точки минимума.

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при предел не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что и , однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом и

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:18:35 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:37:20 29 ноября 2015

Работы, похожие на Учебное пособие: Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150397)
Комментарии (1831)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru