Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Название: Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства
Раздел: Рефераты по коммуникации и связи
Тип: реферат Добавлен 21:18:16 16 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 423 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Линейные метрические, нормированные и унитарныепространства


Введение

При решении многих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: как объективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить "близость" двух сигналов.

Оказывается, что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированного пространства, позволяют ответить на эти вопросы.

Введем обозначения. Если R – некоторое множество элементов, то f Î R означает, что f является элементом R; или f Ï R означает, что f не принадлежит R.

Множество элементов х Î R, обладающих свойством А обозначается символом например - множество точек, принадлежащих полукругу х2 + y2 £ 1, x ³ 0.

Если M и N – два множества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующим образом

то есть представляет собой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x Î M, a y Î N.


1. Линейные метрические пространства

Множество R называется линейным пространством, если

1) в R определена операция "сложения", которая подчиняется всем правилам сложения: если f Î R, g Î R, то f + g Î R; в R имеется нулевой элемент 0 такой, что 0 +f = f для всех f Î R;

2) в R определена операция умножения элемента f Î R на числа a из множества К (aÎ К, f Î R Þa f Î R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.

В дальнейшем будем рассматривать только линейные пространства.

Рассмотрим отображение Т, которое каждому элементу f Î R однозначно ставит в соответствие элемент h Î R*, где R* является также линейным пространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называется оператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения

T f = h (f Î R, h Î R*).

В частном случае, когда R* - пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.

Пусть уравнение

T f = h

имеет единственное решение и каждому элементу h Î R* можно поставить в соответствие единственный элемент f Î R. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1 . Таким образом можно записать


f = T-1 h.

Пример. Пусть имеется система линейных уравнений

Представим эту систему в матричном виде

Если ввести пространство матриц – столбцов R, то где

и Здесь оператор А – матрица размера nxn

Если матрица А невырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:


Определение. Линейное пространство R называется метрическим, если каждой паре элементов х, yÎR ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояние между x и y – удовлетворяющее условиям:

1. r (x, y) ³ 0, если r (x, y) = 0, то x = y;

2. r (x, y) = r (y, x);

3. r (x, y) £r (x, z) + r (z, y) (неравенство треугольника).

Если введением расстояния пространство R превращено в метрическое пространство, то говорят, что в пространстве R введена метрика.

В радиотехнике элементами пространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделями которых являются функции времени x(t), y(t), ... . Рассмотрим следующее пространство сигналов.

1. С[ a , b ] - пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:

y(t)

r(x,y)


2. L2 ( a , b ) - пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) ÎL2 ( a , b ) , если с метрикой

Определение. Элементы линейного пространства R называются линейно независимыми, если из условия

следует, что

a1 = a2 = . . . = an = 0.

В противном случае элементы f1 , f2 , . . . , fn считаются линейно зависимыми.

Максимальное число линейно независимых элементов определяет размерность dimR пространства R и образуют базис этого пространства. Если m = dimR, то пространство обозначается Rm .

2. Линейные нормированные пространства

Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу х ÎR ставится в соответствие вещественное число ("длина" элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:

1. , тогда х = 0;

2. (однородность нормы);

3. (неравенство треугольника).

Положив для

превращаем нормированное пространство R в метрическое.

Можно и метрическое пространство R превратить в нормированное, если метрика удовлетворяет условиям:

положив

Рассмотренные ранее пространства сигналов С[ a , b ] и L2 ( a , b ) становятся соответственно нормированными, если

и

Если положить а = ¥, b = ¥, то квадрат этой нормы в теории сигналов носит название энергии сигнала.


так как такая энергия выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом при напряжении x(t) на его зажимах.

Пример. Имеется треугольный импульс длительности t:

Вычислить энергию и норму сигнала.

Решение.

3. Линейное унитарное пространство

Определение. Линейное нормированное пространство R называется унитарным, если в нем введено скалярное произведение, которое каждой паре элементов x, yÎR ставит в соответствие действительное или комплексное число (x, y), удовлетворяющее условиям

1. (x, y) = (y, x)* ( * - знак комплексного сопряжения);

2. (a1 х1 + a2 х2 , y) = a1 (x1 , y) + a2 (x2 , y) (a1 , a2 ÎK);

3. (x, x) ³ 0, если (х, х) = 0, то х = 0.

В унитарном пространстве норма вводится следующим образом


Теорема 1. Для " х, y унитарного пространства R справедливо неравенство Шварца

Равенство имеет место лишь для линейно зависимых элементов.

Теорема 2. Для " х, y унитарного пространства R имеет место неравенство

Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = ly(l > 0).

Теорема 3. Для " х, y унитарного пространства R выполняется равенство параллелограмма

Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = ly(l > 0).

Определение. Два элемента х, yÎR (x¹ 0, y¹ 0) называются ортогональными, если (х, y) = 0.

Система элементов e1 , e2 , . . . , en , . . . унитарного пространства R называется ортонормированной, если


Пусть система элементов х1 , х2 , . . . , хn , . . . ортогональна ((xi , xj )=0, i¹j), тогда ее можно нормировать, положив

Из ортонормированности системы следует ее линейная независимость. Обратно – любую линейно независимую систему можно ортонормировать. Процесс ортонормированности следующий. Если система элементов y1 , y2 , . . . , yn , . . . –линейно независимая, то система e1 , e2 , . . . , en , . . ., где

становится ортонормированной.

Пусть теперь f – любой элемент унитарного пространства R, ae1 , e2 , ..., en ,... – ортонормированная система этого пространства. Величина

носит название коэффициента Фурье, а ряд

носит название ряда Фурье. Ряд Фурье наилучшим образом аппроксимирует f(приближается к f). Это значит, если рассматривать норму разности элемента f и ряда Фурье


то наименьшее значение норма примет при

Можно показать, что выполняется неравенство

которое называется неравенством Бесселя.

Примеры ортонормированных систем:

1. Система гармонических функций, записанных в комплексном виде

образуют ортонормированную систему в

2. Функции

образуют для m = 1, 2, 3, ...ортонормированную систему, состоящую из неотрицательных функций на отрезке [0,1].

3. Ортонормированная система функций Уолша wal(m, x) заданная на интервале широко используется при дискретной обработке сигналов. Аналитическое описание функций Уолша довольно сложно. Легко понять принцип построения этих функций из графиков

4. Важный класс ортонормированных систем можно получить при помощи ортогонализации функций 1, t, t2 , ..., tn , ... в унитарном пространстве со скалярным произведением

где р(t) – некоторая положительная, непрерывная на интервале [a, b] функция. Для отрезка [-1, 1] и p(t) = 1 получаем полиномы Лежандра; для отрезка [-1, 1] и - полиномы Чебышева первого рода; для полупрямой [0, ¥] и p(t) = е-t – полином Лягерра; для всей оси (-¥, ¥) и p(t) = е-t – полином Эрмита и т.д.

Определение. Линейное метрическое пространство R называется полным, если оно содержит все предельные точки. Это значит, если r(хm + p , xn ) ® 0 при m®¥ (xm ÎR), "p = , то $ хо ÎR такое, что limr(xm , xo ) = 0.

m®¥

Определение. Полное метрическое пространство называется пространством Банаха.

Полное унитарное пространство носит название пространства Гильберта.

Примеры.

1. Пространство L( a , b ) – абсолютно интегрируемых на интервале (а, b) функций (x(t) ÎL( a , b ) , если с метрикой

является пространством Банаха.

3. Пространство L2 ( a , b ) , со скалярным произведением

является пространством Гильберта.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:07:31 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:40:23 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:29:15 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150043)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru