Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах

Название: Экстремальная задача на индексационных классах
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 09:49:01 21 июля 2010 Похожие работы
Просмотров: 21 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

Литература


Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1 , имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1 <A2 <…<Ak +1 , такие, что

а) ;

б) знаки функции D(t) на множествах A1 , A2 , …, Ak +1 перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R1 . Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x1 , …, xk (-¥<x1 <…<xk <¥) такие, что

(-1)k-i f(xi ) > (-1)k-i g(xi ), ;

б) существуют точки y1 , …, yk (-¥<y1 <…<yk <¥) такие, что

(-1)k-i f(yi ) > (-1)k-i g(yi ), .


Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: , ,, .

Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено и не выполнено .

Через Ik - (Ik + ), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+ ) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ¥).

Через FU обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы

, uÎU,

абсолютно сходятся.

В случае положим , fÎFU , AÌFU , :

, Fi (A)={Fi (f): fÎA},

, ,

.


Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u1 (t), …, un (t) и u1 (t), …, un (t), un +1 (t) образуют T+ -системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то

.

Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A1 , …, Ak – множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов рассмотрим матрицу

.

Так как

, ,

то есть


, (1)

где di (-1)k - i , и di =0, для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим

, (2)

где 0£x1 <x2 <…<xk <¥. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .

Пусть теперь и .

Так как


, (3)

где di =(-1)n +1- i , , то

,

где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn +1 =1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {fi }i ³ 1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f, если

для всех uÎU.

Определение 4. Множество AÌFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .

Множество AÌFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;

2. ;

3. Множества Ik - (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {fi }i ³ 1 ÌI- k +1 (k>n) такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система образует T+ - систему на [0, ¥).

Рассмотрим систему функций , такую, что wi =ui для и - T+ - системы для m³n (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система образует T+ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.


Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj }j ³ 1 ÌIk - такая, что . Зафиксируем произвольное fl .

Если fl ÎIk - , где k£n+1, то положим fl * =fl .

Пусть k>n+1 и s={} – (k-1, W) окрестность fl в Ik - .

Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для s£k-1. Следовательно, и , что невозможно.

Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в Rk -1 , содержащее .

Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1 , …, xk -2 . Условие bk -1 =0 противоречит чебышевости системы . Положим bk -1 >0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk -2 .

Имеем

,

где cl i – i-ая компонента вектора , и, следовательно,


.

Так как константа К не зависит от f, то ml >-¥.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

Fk -1 (flp )>Fk -1 (flq )=ml при p<q и

,

Рассмотрим произвольные flp и flq , где p<q. Так как , то отношения и невозможны для s£k-2. Отношения и невозможны, так как flp , flq ÎIk - . Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что Fk -1 (fl )=ml .

Отношение fl ÎIk - невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl ÎIm - для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества Ik + (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {fi }i ³ 1 ÌIk + такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. Ik + ÌFU для k³n+1.

Теорема 2. Пусть система образует T+ -систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Определение 6. Систему непрерывных на [0, ¥) функций назовем T+ 1 -системой, если она является T+ -системой, и, кроме того, системы u1 , …, ul -1 , ul +1 , …, un также являются T+ -системами для .

Лемма 2. Пусть - T+ 1 -система на [0, ¥), функции f и g таковы, что

(-1)n-i Fi (f) ³ (-1)n-i Fi (g), .


Тогда отношения , и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1£p£n.

Пусть x1 , …, xp -1 (-¥<x1 <…<xp -1 <¥) – точки перемен знака функции ; xо =-¥, xn =¥; . Выберем точки xn -1 <xn -2 <…<xp <xp -1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где hi =±1. Из условия следует, что hn =1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, An i – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T+ 1 -система на [0, ¥), то detA>0, detAn i >0, . Следовательно, hn £0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T+ 1 -система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и

для , j³1.

Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .

Существует j1 , такое, что , где r - какая-либо метрика в Rn , и

, .

Выберем j2 так, чтобы и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности следует утверждение теоремы 2.


Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W( k ) (t)>0 для tÎ[a, b] и ; c1 , …, cn – вещественные константы; xÎ[a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов Âo - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -¥<x<y<¥, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo , BL , класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): Ik + (Ik - ) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+ (k- ); ; - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .


§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого существует и единственная ФР .

2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок Þ обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что ,, , для aÎ(0,1) и для bÎ(0,1).

Пусть и , где , xÎ[a, b].

Функция Ás непрерывна слева на [a, b] и Ás (a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás (x) не убывает по x.

Далее, из sk Þs при k®¥ следует ÁÞÁs . Следовательно, семейства распределений {Á} и {Á} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0 (f)<…<Bm (f) (под X<Y (X, YÌR1 ) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j f(x)>0 (или (-1)j +1 f(x)>0 при xÎBj (f), и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения Á) и для любого Ám , , функция Ám - Ám - Á) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция Ám - Áимеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0 <x1 <…<xn +3 £b такие, что (-1)im ] > 0, . Кроме того, Ám (a)=Á(a)=0. Следовательно, существуют точки y0 Î[a, x0 ), y1 Î[x0 , x1 ), …, yn +3 Î[xn +2 , xn +3 ) такие, что функция (-1)i [m(t) - ha (t)] возрастает в точке yi , , что противоречит условию .

Равенство запишем в виде

Ás (t)=ci , ,

где , , с0 = 1.

Очевидно, что последовательности u0 , …, uk , , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия W( k ) (t)>0 для tÎ[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности –u0 , …,-uk , также образуют T+ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám - Á не может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi (f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0 (f)=(-¥, infB1 (f)], Pi (f)=[supBi -1 (f), infBi +1 (f)],

, Pk (f)=[supBk -1 (f), +¥).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{Das - Á :aÎ[0,1]} и {dbs - Á :bÎ[0,1]}.

Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da (db ) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da (db ) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da (db ) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da (db ) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0 (a), …, Xn +2 (a) (Y0 (b), …, Yn +2 (b)) следующим образом. Если a (b) есть:

1.параметр первого типа, то

Xi (a)=Pi (Da ), (Yi (b)=Pi (db ), );

2.

3.параметр второго типа, то

Xi (a)=Pi-1 (Da ), , X0 (a)=(-¥, infB0 (Da )],

(Yi (b)=Pi (db ), , Yn+2 (b)=(supBn+1 (db ), +¥));

4.параметр третьего типа, то

Xi (a)=Pi (Da ), , Xn +2 (a)=[supBn +1 (Da ), +¥)),

(Yi (b)=Pi -1 (db ), , Y0 (b)=(-¥, infB0 (db )]).


Таким образом:

(-1)n-i Da (t)£0 при tÎIntXi (a), , (1)

(-1)n-i db (t)³0 при tÎIntYi (b), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi (a) и (-1)n - i Da (t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi (b) и (-1)n - i db (t)³0 при tÎY.

Заметим также, что Xi (0)=Yi +1 (0), Xi +1 (1)=Yi (1).

Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1 непрерывно, если из gi ®g0 , xi ®x0 , где g0 , gi Î[0, 1], xi ÎZ(gi ), i³1, следует x0 ÎZ(g0 ).

Лемма 2. Отображения Xi (a), Yi (b), непрерывны.

Доказательство. Пусть aj ®a, j®¥. Обозначим через границы отрезка Xi (aj ). Определим a0 =-¥. Возьмем произвольную точку a1 сгущения последовательности {a1 ( j ) }j ³ 1 . Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai ( j ) }j ³ 1 , и {bi ( j ) }j ³ 1 , . Положим bn+2 =+¥.

Итак,

, , (2)

причем -¥=a0 <a1 £b0 £a2 £b1 £…£an+1 £bn £an+2 £bn+1 <bn+2 =+¥.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)n-i Da (t)£0 (3)


при tÎ(ai , bi ), если ai ¹bi .

Из (3) и следует, что ai ¹bi , , так как в противном случае функция Da имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi (a) следует [ai , bi ]ÌXi (a),. Для любого i из xj Î[ai ( j ) , bi ( j ) ] и xj ®x0 вытекает, что x0 Î[ai , bi ]. Следовательно, x0 ÎXi (a).

Непрерывность отображений Yi (b) доказывается аналогично.

§ 3 Доказательство теоремы

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР и любой точки xÎ[a, b] существует ФР такая, что Áv (t)³Ás (t) (Áv (t)£Ás (t)) в некоторой окрестности точки x.

Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi (0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d0 £0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎYi (0).

Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi (1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎYi (b¢ ). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {bj }j ³ 1 такая, что xÎYi (bj ) и bj ®b¢. Пусть для некоторого bl не существует такого k, что n-k четно и xÎYk (bl ). Тогда в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем . Если же для всех bj , j³1, существует kj такие, что n-kj четны и , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm (bj ) для бесконечного числа элементов последовательности {bj }. По лемме 2 xÎYm (b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi (b¢).

б) Предположим, что xÎYi (1)=Xi +1 (1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi +1 (a)}. Согласно лемме 2, xÎXi +1 (a¢). Если a¢=0, то xÎXi +1 (0)=Yi +2 (0). Это противоречит условию xÎXi +1 (a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn +2 (1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть xÎYn +2 (1). Так как Yn +2 (1)ÌYn +1 (1), то xÎYn +1 (1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Yn +1 (1), так как в этом случае множества Yn +1 (1) и Yn +2 (1) совпадают, что невозможно. Так как xÎYn +1 (1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn +1 (1), то d1 (t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что Ásn £0 в некоторой окрестности точки x. Случай Ásn ³0 рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

Ás (x) и Ás (x+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=Ás (x) . Пусть последовательность ФР , i³1, такова, что Á. Выберем подпоследовательность последовательности {si }, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что Ás (x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Ás (x)-Ás (x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Ás . Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á (x¢)-Ás (x¢)½<e¤2, из которого следует, что Ás (x¢) - Á (x¢)<e, j>N. Так как Á (x¢) £Á (x), то Ás (x) - Á (x)<e, откуда следует Ás (x) - d£e. Последнее неравенство влечет Ás (x)=d.


Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥ )

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u0 º1 на [0, ¥) функций образуют T+ -системы на [0, ¥).

Положим (1£i£n, sÎÂ):

, ,

- моментное пространство класса Â относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

10 . Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Âх решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.

Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Âх ={sÎÂ:s(x+0)=1}.

Очевидно, для любых x1 <x2

(1)

Предположим, что для любого x>0 Âх - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

(-замыкание множества XÌRn ),

где Ii - - множество всех ФР, имеющих индекс i- в Â.

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,

(2)

Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества следует, что точка является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l1 >0, …, ln >0, ln +1 >0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что


.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что для достаточно больших x. Так как класс Âx является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где , () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Âx .

Так как ФР имеет индекс (n+1)- в Â и , то

.


Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР и для рассматриваемых классов имеется в [5].

20 . Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0 всех ФР на [0,¥).

Лемма 2. Если u0 , u1 , …, un – T+ -система на [0,¥), то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T+ -системы следует, что для произвольных i, j и чисел a,b функции uj (t) и auj (t)+buj (t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения uj (t)=0. Рассмотрим уравнение

auj (t)+buj (t)=0, t>x. (3)

Уравнение (ui (t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a,b.

Пусть , .

Допустим, что не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {ti }i ³ 1 , {ti }i ³ 1 , удовлетворяющие условиям:

а) tk ®¥,tk ®¥ при k®¥;

б) , ;

в) t1 <t1 <t2 <t2 <…<tm <tm <… .

Пусть cÎ(A, B).

Из-за непрерывности функции на (x, ¥) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).

Выберем 0£j0 £n так, чтобы для всех и обозначим .

Пусть число t0 таково, что при t>t0 .

Рассмотрим функцию

Пусть , , .

Легко видеть, что системы v0 , v1 , …, vn и v0 , v1 , …, vn , W являются T+ -системами на [0, ¥).

Предположим, что эти системы являются T+ -системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0 <t1 <…<tn -1 <tn

, ,

где .

Через обозначим множество ФР sÎÂ0 , для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть - моментное пространство класса относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение является взаимно однозначным, причем .

Таким образом, - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ¥).

Пусть .

Необходимо найти

. (4)

Из равенств (sÎÂ0 U )

следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти

, (5)

где - множество функций , удовлетворяющих равенствам

, , .


Таким образом, задача в классе Â0 сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого

,

где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках при нечетном n и в точках при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

,

,

где , ,

r - величина скачка функции в точке ¥.


Литература

1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

2. Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

3. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

4. Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

5. Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:36:13 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:06:15 29 ноября 2015

Работы, похожие на Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150306)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru