Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Нормированное пространство. Банахово пространство

Название: Нормированное пространство. Банахово пространство
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 16:13:46 04 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 1010 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Кустанайский государственный педагогический институт

Естественно-математический факультет

Кафедра высшей математики

Реферат

На тему:

Нормированное пространство. Банахово пространство

Ванжа Галина

Проверила: ст. преподаватель

Нурмагамбетова А.А.

г. Кустанай 2010.


Содержание

Введение

Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

2. Нормированные пространства

3. Банаховы пространства

4. Компактные множества


Введение

В данной работе изучаются такие важные элементы функционального анализа как линейно-нормированные пространства.

Изучение пространств актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходимо рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.

Цель: изучить структуру построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.

Для того чтобы определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие «нормированного пространства», определить, что является его подпространством.

Одной из поставленных задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.


Основные понятия и определения

1. Линейные пространства

Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый, причем

1);

2);

3) в существует такой элемент 0, что для всех;

4) для каждого существует такой элемент, что.

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент, причем

1);

2);

3);

4);

Примеры линейных пространств

1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.

2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с операциями,

3. Последовательности, сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют линейное пространство. Обозначаем его С0.

2. Нормированные пространства

Нормированные пространства объединяют структуры линейных пространств.

Будем рассматривать некоторое линейное пространство.

Полунормой называют функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:

1. (неотрицательность),

2. (аксиома треугольника),

3. для любого числа (абсолютная однородность).

Нормой называют функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1.,

2.,

3. (аксиома треугольника),

4. для любого числа (абсолютная однородность).

Таким образом, норма - это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только на нулевом элементе.

Определение: Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём нормой.

Норму элемента линейного пространства обозначают.

Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом

Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированные пространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическим пространствам.

В частности, сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной нормой.

Непрерывность линейных операций и нормы.

В нормированном пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то

Рассмотрим, сумму двух элементов:

Так как и, то правая часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть. Непрерывность суммы доказана.

Докажем теперь непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn − ax следующим образом:

Согласно аксиоме треугольника для нормы:

Рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности:

Таким образом, мы установили, что непрерывность операции умножения на число доказана.

Наконец, докажем непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде

xn = (xn − x) + x, по аксиоме треугольника:

или

Аналогично можно доказать, что объединяя два этих неравенства, получим:

По определению сходимости по норме, значит, то есть.

Непрерывность нормы доказана.

Примеры нормированных пространств

1. Вещественная прямая R1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа.

2. В действительном конечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма:

Другие возможные нормы:

В комплексном n-мерном пространстве норму можно ввести следующим образом:

3. В пространстве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой

4. Пусть М – пространство ограниченных числовых последовательностей

Х = (х1,х2,…,хп,…), положим:

||x||=sup|xn|.

Подпространства нормированного пространства

Рассматривая линейные пространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0 обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x и y пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежат этому множеству:

Подпространством нормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства.

Определение: Линейным замыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированного пространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все элементы данной системы.

Произвольную (то есть не обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и y произвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейным многообразием.

Система элементов нормированного пространства R называется полной, если её линейное замыкание есть само R.

Фактор-пространства нормированного пространства.

Пусть R — линейное нормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотрим фактор пространство

З = R / R'.

Как известно, фактор-пространство является линейным пространством.

В этом пространстве можно ввести норму, положив для данного класса

Докажем, что все аксиомы нормы действительно выполняются.

Так как, то и Нулевым элементом з0 фактор-пространства R / R' является подпространство R'. Так как всякое подпространство должно содержать нулевой элемент, то

Обратно, если, то из непрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательность элементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространство линейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классы смежности, а значит

з = R' = з0

Для всякого элемента и числа имеет место равенство

Возьмём слева и справа нижнюю грань по з:

С другой стороны, в силу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет место равенство

Рассмотрим два класса смежности выберем в каждом классе по представителю

Тогда возьмём нижнюю грань от левой и правой части этого неравенства:

Таким образом, все аксиомы нормы действительно выполнены.

3. Банаховы пространства

Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:

1);

2);

3);

Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при

Справедливы утверждения:

1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна

Доказательство: пусть, тогда, при

2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена

Определим расстояние в нормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что . Это сходимость по норме.

Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием, при

Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.

Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.


Литература

1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.: Физматлит, 1967.

2. Князев, П.Н. Функциональный анализ / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979.

3. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:34:53 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:05:34 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Нормированное пространство. Банахово пространство

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151299)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru