Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Название: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 17:55:53 10 января 2011 Похожие работы
Просмотров: 92 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования и науки республики Казахстан

Северо-Казахстанский государственный университет

им. М. Козыбаева

Факультет информационных технологий

Кафедра математики

Курсовая работа

"Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца"

Петропавловск, 2007


Аннотация

В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов пространств.


Содержание

Введение

1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции

2. Общие свойства интерполяционных пространств

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательныхматриц

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Заключение

Список использованной литературы


Введение

Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь функционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет все возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей построения совокупности "промежуточных" пространств – арены, на которой действуют "промежуточные" операторы. Основополагающий вклад в теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом не следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали (и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции линейных операторов в пространствах lp .

Теория интерполяция также применяется в других областях анализа (например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе, теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции. Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц, соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы Рисса-Торина с ограничением p≤q, которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог устранить ограничение p≤q. В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума.


1. Основные понятия и некоторые классические теоремы теории интерполяции

Пусть (u,μ) – пространство с мерой μ, которую будем всегда предполагать положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры. При этом обозначим через lp (u,dμ) или просто (lp (dμ), lp (u) или lp ) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина

конечна, здесь 1≤p<∞.

В случае, когда p=∞, пространство lp состоит из всех μ-измеримых ограниченных функций. В этом случае

Пусть T- линейное отображение пространства lp =lp (u,dμ) в пространство lq =lq (v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g).

Если к тому же T- ограниченное отображение, то есть если величина конечна, то пишут T: lp®lq.


Число μ называется нормой отображения T. Справедливы следующие известные теоремы:

Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина)

Предположим, что и что T: с нормой μ0 и T : с нормой μ1 .

Тогда T: с нормой μ, удовлетворяющей неравенству (*), при условии, что 0<θ<1 и ; .

Неравенство (*) означает, что μ как функция от θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклая функция.

Доказательство теоремы приведено в [1].

Для скалярнозначной μ-измерной функции f, принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле

Ясно, что m(σ,f) представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную на положительной вещественной полуоси . Очевидно, что m(σ,f) – невозрастающая и непрерывная справа функция. Кроме того,

при 1≤p<∞

и .


Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые lp -пространства, обозначаемые через . Пространства , 1≤p<∞, состоит из всех функций f , таких что

В предельном случае p=∞, положим .

Заметим, что не является нормой при 1≤p<∞.

Действительно, ясно, что

Применяя неравенство , заключаем, что

Последнее означает, что представляет собой так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие от нормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника , в квазинормированных пространствах имеет место лишь "квази-неравенство треугольника" для некоторого k≥1.) Однако, при p>1 в пространстве можно ввести норму, при наделении которой оно становится банаховым пространством.

Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)

Пусть p0 ≠p1 и

T: с нормой ,

T: с нормой .

Положим ; , и допустим, что p≤q.

Тогда T: , с нормой μ, удовлетворяющей неравенству .

Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях.

Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важная особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства и заменены на более широкие пространства и .

Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.

2 .Общие свойства интерполяционных пространств

Пусть A- векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) , определенная на A, удовлетворяющая условием.

1) , причем

2) (λ-скаляр)

3) .

Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если

, и .

Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.

Пусть A0 и A1 – топологических векторных пространства. Говорят, что

A0 и A1 совместимы, если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A0 и A1 , являются подпространствами. В этом случае можно образовать сумму A0 + A1 , и пересечение A0 ∩A1 . Сумма состоит из всех aU, представимых в виде a=a0 +a1 , где a0 A, и a1 A,

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A0 и A1 -совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A0 ∩A1 , есть нормированное векторное пространство с нормой

A0 + A1 , также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой

При этом если A0 и A1 – полные пространства, то A0 ∩A1 и A0 + A1 также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B.

Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA , такой, что для любого морфизма T: A↷ATI=IT=T

Через σ1 обозначим категорию всех совместимых пар пространств из σ.

Определение 2.1. Пусть =(A0 ,A1 )-заданная пара из σ1 . Пространство A из σ будем называть промежуточным между A0 и A1 (или относительно ), если имеют место непрерывные вложения.

.

Если, кроме, того T: влечет T: A↷A, то A называется интерполяционным пространством между A0 и A1 .

Более общим образом, пусть и - две пары из σ1 . Тогда два пространства A и B из σ называются интерполяционными относительно и соответственно и T: влечет T: A↷B.

Если выполнено

,


В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если

В случае с=1 говорят, что A и B- точные интерполяционные пространства типа θ.

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц

Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство как множество всех наборов вида

a=(a1 , a2 ,…, aN )

с нормой

.


Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности NxN. Любое множество Q0 ={(ki ,lj ): , } будет являться подрешеткой размерности rxm.

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве определяется следующим образом:

r(A)=,

где lk - собственные значения оператора A.

Пусть m ≤ N, d1 ,…,dm - положительные числа. Через Dm обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d1 ,…,dm . Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎDm . Если D={(ki ,lj ), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d1 ,…,dm и натуральное число m < N2 .

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d1 ,…,dm в решетке Q, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?

Пусть в неотрицательной решетке Qm положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора AQ соответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d1 ,…,dm в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d1 ,…,dm положительные числа, Dm - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d1 ,…,dm . Если m ≤ N, Q0 -произвольная подрешетка размерности 1m, то

.

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d1 =…=dm =d, то есть Dm – множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q0 -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn, где n=min{r: r2 ≥ m}. Тогда

,

где [m1/2 ] - целая часть числа m1/2 .

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm

.

Пусть Q1 -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности . Тогда для AÎDm , Q1 ÌP(A)ÌQ0 имеет место представление

А=А10 , где А10 ÎDm , Р(А1 )=Q1 , P(A0 )ÌQ1 \Q0 .

Учитывая, что матрицы А0 и А1 неотрицательны, получаем

,

поэтому r(A0 )≤r(A).

С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно


.

Таким образом,

.

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности nn таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.

Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2 =0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AÎDm . Пусть Q0 -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0 ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть Ad – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A0 ={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0 ,j0 ) вне решетки Q0 . Возможны три случая:

1) 1 ≤ i0 ≤ l, j0 > m;

2) i0 > l, 1 ≤ j0 ≤ m;

3) i0 > l, j0 > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a1 m =0. Получаем:

Используя неравенства

,

имеем:


Пусть z1 =x1 , z2 =x2 ,…,zm =и

,

тогда

где элемент имеет координаты (1,m).

Следовательно

Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al 1 =0. Аналогично первому случаю имеем:

.

Используя неравенства

,

получаем:

.

Пусть z1 =y1 , z2 =y2 ,…,zm =и

,


тогда

где элемент имеет координаты (l,1). Следовательно

Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm =0. Рассуждая также, как и в предыдущих случаях, получаем:


где элемент имеет координаты (l,m).

Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были рассмотрены в работах [1], [5].

4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств

Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство конечномерных пространств:

где невозрастающая перестановка последовательности . Обозначим через –множество всех непустых подмножеств из {1,2,...N} Пусть M , 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, множество M назовем сетью.

Определим семейство конечномерных пространств

|e| - количество элементов множества e.

При q=∞ положим


Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых пространств, введенных в [1].

Будем говорить что {AN } ↪ {BN } если существует константа c, такая что для любого , где c не зависит от .

Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q1 ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞, . Тогда имеет место вложение

то есть

где с не зависит от выбора N.

Доказательство. Пусть

(1)


то есть

Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q1 < ∞, и воспользуемся неравенством (1)

Лемма доказана.

Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p1 <∞, 1≤q,q1 ≤∞. Тогда имеем место вложение

Доказательство.

Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p1 :


Получаем:

Лемма доказана.

Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= . Тогда

Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от.

Доказательство. Сначала докажем соотношение:

(2)


Заметим, что

Поэтому

Теперь покажем обратное неравенство. Пусть . Учитывая выбор имеем.

~

~

Заметим, что

Согласно (2) получаем:

то есть .

Докажем обратное включение. Пусть Введем следующие обозначения:

Тогда


.

Пусть для определенности

.

Возможны следующие случаи:

.

В первом случае получаем, что

.

Во втором случае , следовательно . Представим , тогда . Здесь и далее - целая часть числа .

Получаем


Заметим, что существует такое, что

Положим Тогда .

.

Таким образом, получаем

Из того, что


Имеем

То есть . Следовательно где соответствующие константы не зависят от N.

Лемма доказана.

Для пары пространств определим интерполяционные пространства аналогично [5] .

Пусть , тогда

где

При q=∞


Лемма 4.4 Пусть , d>1. Тогда

Справедлива следующая

Теорема 4.1 Пусть ≤p0 <p1 <∞, 1<q0 ,q1 ≤∞, M – произвольная сеть. Тогда

где

Доказательство.

Учитывая, что нам достаточно, доказать следующее вложение

Пусть Рассмотрим произвольное представление a=a0 +a1 , где


тогда

(3)

Так как представление a=a0 +a1 произвольно, то из (3) следует

Где Рассматривая норму элемента в пространстве и применяя

лемму 4.4 , получаем:

Теорема доказана.

Теорема 4.2 Пусть 1≤p0 <p1 <∞, 1<q0 ,q1 ≤∞, Тогда имеет место равенство


Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не зависящими N.

Доказательство. По теореме 4.1 и того, что является обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:

.

Определим элементы и следующим образом

, тогда .

Заметим что

(4)

где

(5)

где


Тогда

Из (4) и (5) имеем:

Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя неравенство Гельдера:

~

где .

Таким образом, получаем, что Аналогично рассмотрим второе слагаемое:

~

~

~

Таким образом, получаем

где c не зависит от .

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть - матрица , тогда

~

Причем соответствующие константы не зависят от

Доказательство.

Воспользуемся эквивалентными представлением нормы и неравенством о перестановках, получим


~

где - невозрастающая перестановка последовательности

Применим неравенство Гельдера

Учитывая лемму 3, имеем

Обратно, пусть e произвольное множество из M1 , , где

Тогда


В силу произвольности выбора e из M1 получаем требуемый результат.

Следствие. Пусть - матрица

p0 <p1 , q0 <q1 , тогда

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что

Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем

то есть

С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем

,

Следствие доказано.


Заключение

В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.

Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован для чтения спецкурсов и спецсеминаров.


Список использованной литературы

1. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.

2. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

3. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С. 475-491.

4. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами. //Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.

5. Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда //Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.

6. Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с. 177-178.

7. Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц. //Материалы Международной научно-практической конференции "Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск, 2004, с. 104-107.

8. Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств. //Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005", Астана, 2005, с. 41-42.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:34:47 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:29:21 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:05:31 29 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151072)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru