Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364145
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21694)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3462)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20644)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Формулы сложения вероятностей

Название: Формулы сложения вероятностей
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 16:05:05 07 апреля 2004 Похожие работы
Просмотров: 2363 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

.

Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то

P() = P(A1 ) + P(A2 )

Если A1 и A2 — совместные события, то =(A1 \A2 ), причем очевидно, что A1 \A2 и A2 — несовместные события. Отсюда следует:

P() = P(A1 \A2 ) + P(A2 ) (*)

Далее очевидно: A1 =(A1 \A2 ), причем A1 \A2 и – несовместные события, откуда следует: P(A1 ) = P(A1 \A2 ) + P() Найдем из этой формулы выражение для P(A1 \ A2 ) и подставим его в правую часть формулы (*). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P()= P(A1 ) + P(A2 ) – P()

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив = Æ.

Пример 1. Найти вероятность вытащить туза или червовую масть при случайном отборе одной карты из колоды в 32 листа.

Р( ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р( ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ ) = 8/32 = 1/4;

Р(ТУЗЧЕРВЕЙ )=1/32;

Р(( ТУЗ ) (ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 – 1/32 =11/32

Того же результата можно было достичь с помощью классического определения вероятности, пересчитав число благоприятных исходов.

Условные вероятности.

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: W=(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А=(1,...,5,25,...,30,), а событие В — в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В=(1,2,3,...,20)

Событие состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом, решение задачи определяется формулой

Р(А/В) = P(АÇВ) /Р(B) (1)

Р(А/В) называется условной вероятностью события A при условии, что событие В произошло. Формулу (1) можно рассматривать, как определение условной вероятности. Эту же формулу можно переписать в виде

P(АÇВ)=Р(А/В)Р(B) (2)

Формула (2) называется формулой умножения вероятностей (теоремой умножения вероятностей), а условная вероятность Р(А/В) здесь должна восприниматься просто по смыслу.

Пример 2. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

Пусть X – событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда – событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P() = 7/30

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения

P(АÇВ)= Р(А) Р(B)

Докажите самостоятельно, что если А и В — независимые события, то и тоже являются независимыми событиями.

Пример 3. Найти вероятность того, что при трёх бросках игральной кости три раза выпадет шестёрка. Очевидно, что при каждом броске результат не зависит от результатов предыдущих бросков, и искомая вероятность равна (1/6)3 =1/216.

Определим в условиях этой задачи вероятность того, что при трёх бросках в сумме выпало 4 очка. Выпишем благоприятные исходы: “1,1,2”, “1,2,1”, “2,1,1”. Вероятность каждого из этих исходов равна 1/216. Так как все эти исходы несовместимы, интересующая нас вероятность будет равна 3/216=1/72.

Пример 4. Из колоды карт в 32 листа извлекается одна карта. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённая карта – дама. Событие В состоит в том, что извлечённая карта пиковой масти. Очевидно, что Р(А)=4/32=1/8. Вычислим величину вероятность того, что извлечённая карта –дама при условии, что эта карта пиковой масти, то есть Р(А/В). Очевидно, что Р(АÇВ)=1/32, и Р(В)=8/32. Тогда Р(А/В)=Р(АÇВ)/ Р(В)=1/8, то есть Р(А)=Р(А/В). Отсюда следует, что события А и В независимы.

Пусть событие С заключается в том, что извлечённая карта не туз. Покажем, что события А и С зависимы. Очевидно, что Р(АÇС)=Р(А)=1/8. Р(С)=28/32=7/8. Отсюда получаем Р(А/С)=1/7, и это не равно величине Р(А), следовательно, события А и С зависимы.

Пример 5. Рассмотрим задачу, аналогичную задаче из примера 2, но с одним дополнительным условием: вытащив первый шар, запоминаем его цвет и возвращаем шар в урну, после чего все шары перемешиваем. В данном случае результат второго извлечения никак не зависит от того, какой шар – черный или белый появился при первом извлечении. Вероятность появления первым белого шара (событие А) равна 7/10. Вероятность события В – появления вторым черного шара – равна 3/10. Теперь формула умножения вероятностей дает: P(АÇВ)=21/100.

Извлечение шаров способом, описанным в этом примере, называется выборкой с возвращением или возвратной выборкой.

Следует отметить, что если в двух последних примерах положить изначальные количества белых и черных шаров равными соответственно 7000 и 3000, то результаты расчетов тех же вероятностей будут отличаться пренебрежимо мало для возвратной и безвозвратной выборок.

Рассмотрим некоторые задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

1. Три стрелка стреляют в мишень. Каждый попадает в мишень или не попадает в мишень независимо от результатов выстрелов остальных стрелков. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена?

Вопрос можно поставить иначе: какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадёт в мишень? Очевидно, что мишень будет поражена, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые двое стрелков, а третий не попадёт и т. д. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один из стрелков попал в мишень. Тогда противоположное событие заключается в том, что все трое не попали в мишень. Если первый не попадает в мишень с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,2, а третий – с вероятностью 0,3, то по теореме умножения вероятностей Р()=0,1×0,2×0,3=0,006. Тогда Р(А)=1–Р()=0,994.

2. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р. а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать с второго включения. б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.

а) Для того, чтобы двигатель начал работать со второго включения, нужно, во-первых, чтобы он не запустился при первом включении (событие А). Это происходит с вероятностью 1–р. При втором включении двигатель запустится (событие В) с вероятностью р. Нас интересует вероятность события АÇВ. Из условия задачи можно понять, что события А и В независимы. Отсюда P(АÇВ)=р(1–р).

б) Нас интересует вероятность события, состоящего в том, что двигатель запустится при первом включении или при втором включении. Противоположное событие заключается в том, что двигатель не запустится ни при первом, н при втором включении. Вероятность этого противоположного события равна (1–р)2 . Отсюда вероятность интересующего нас события равна 1–(1–р)2 .

3. В семье Ивановых 4 ребёнка. Известно, что один из детей – мальчик. Найти вероятность того, что все дети –мальчики. Принять вероятность рождения мальчика и вероятность рождения девочки равными 1/2 и не зависящими от того, какого пола дети уже имеются в семье.

Пусть событие В состоит в том, что все дети в семье – мальчики, событие А состоит в том, что в семье есть хотя бы один мальчик (именно так мы должны понимать условие задачи). Нас интересует величина Р(В/А). Для того, чтобы воспользоваться формулой условной вероятности, надо, во-первых, вычислить P(АÇВ). В нашем случае событие А является следствием события В, поэтому P(АÇВ)=Р(В) (смотри объяснение к теме 2). По условию задачи Р(В)=(1/2)4 =1/16. Чтобы вычислить Р(А), заметим, что событие состоит в том, что все дети в семье –девочки. Очевидно, что Р()=(1/2)4 =1/16. Тогда Р(А)=1–Р()=15/16. Теперь можно воспользоваться формулой для определения условной вероятности Р(В/А) = P(АÇВ)/Р(А). В результате получается Р(В/А)=(1/16)/( 15/16)=1/15.

Если бы в условии этой задачи был поставлен вопрос “чему равна вероятность того, что все дети мальчики, при условии, что второй ребёнок – мальчик?”, то ответ был бы 1/8.

4. В урне 7 белых и три чёрных шара. Без возвращения извлекаются 3 шара. Известно, что среди них есть чёрный шар. Найти вероятность того, что другие два шара белые.

Пусть событие А состоит в том, что в выборке есть два белых шара, событие В – в том, что в выборке есть чёрный шар. Всего в условии задачи существует возможных исходов. Отсюда Р(АÇВ)=. Чтобы вычислить вероятность Р(В), заметим, что состоит в том, что все извлечённые шары белые, и Р()=. Искомая вероятность равна ()/(1–)=63/85.

5. Найти вероятность того, что при бросании трёх игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков при условии, что на всех костях выпали грани с чётным числом очков.

Пусть событие А состоит в том, что хотя бы на одной кости выпало 6 очков, а событие В–в том, что на всех костях выпало чётное число очков. Вычислим вероятность события АÇВ. Общее число исходов, очевидно равно 63 =216. Одним из благоприятных исходов является выпадение 6-ти очков на всех трёх костях. Имеется 6 исходов, состоящих в выпадении шестёрок на двух костях и выпадении чётного числа очков, но не шестёрки на третьей кости. Можно насчитать 12 исходов, когда на одной кости выпадает шестёрка, а на двух других–чётные числа очков, но не шестёрки. Таким образом, событию АÇВ благоприятствуют 19 исходов, откуда Р(АÇВ)=19/216. Очевидно, что Р(В)=(1/2)3 =1/8. Искомая вероятность равна (19/216)/(1/8)=19/27.

6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?

Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал экзамен;

В – событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.

Очевидно, что Р(В) =20/25=4/5. Теперь необходимо определить вероятность Р(АÇВ). Из 25-ти вопросов всего можно составить различных билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А и событию В, должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5 таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5 билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5 билетов). Отсюда получаем, что

Р(АÇВ) =

Осталось только найти искомую вероятность р(А/В):

Р(А/В) =

Задачи для самостоятельного решения.

1) Доказать формулу

Р(АÈВÈС)=Р(А)+ Р(В)+Р(С)–Р(АÇВ)–Р(АÇС)–Р(ВÇС)+Р(АÇВÇС)

2) Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.

3) Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по одному шару до появления чёрного шара. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если выборка производится а)с возвращением; б) без возвращения.

4) а) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали не менее двух стрелков.

5) По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем–0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух–с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?

6) В условиях задачи 4 найти вероятность того, что на всех костях выпала шестёрка, если известно, что а) по крайней мере, на двух костях выпало одинаковое число очков; б) на всех костях выпало одинаковое число очков.

7) Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что на одной из них выпадет единица, если на всех трёх костях выпали разные грани?

8) Вероятность того, что случайным образом выбранный из студенческой группы студент знает английский язык, равна 5/6. Вероятность того, что студент знает французский язык, равна 7/12. Вероятность того, что студент знает и английский и французский языки, равна 1/2. а) Найти вероятность того, что студент не знает французского языка при условии, что он не знает английского. б) Найти вероятность того, что студент знает французский язык при условии, что он знает английский.

9) Известно, что при бросании десяти игральных костей выпала хотя бы одна единица. Какова вероятность того, что выпало две или более единиц?

10) Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% – для мониторов. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляется на экспорт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп предназначен для монитора, если известно, что он будет отправлен на экспорт.

11) В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета при условии, что не вынут синий шар.

Ответы. 2)1/4; 3) а) 0,216; б) 1/6; 4) а) 0,398; б) 0,902; 5) 0,594; 6) а) 1/96; б) 1/6; 7) 0,5; 8) а) 0,5; б) 0,3; 9)1-10×59 /(610 –510 ); 10) 0,44; 11) 48/95.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений22:17:45 18 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
10:14:38 24 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Формулы сложения вероятностей

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(163697)
Комментарии (1936)
Copyright © 2005-2017 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru