Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский Заочный Финансово-Экономический институт
Филиал г. Тула
Контрольная работа
по дисциплине "Эконометрика"
Вариант 8
Выполнила:
Проверил:
Тула
2008
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента 
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью -критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Вариант 8

|
17
|
22
|
10
|
7
|
12
|
21
|
14
|
7
|
20
|
3
|

|
26
|
27
|
22
|
19
|
21
|
26
|
20
|
15
|
30
|
13
|
Решение:
1. Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:

Таблица 1
№наблюдения
|
X
|
Y
|
X2
|
X·Y
|
1
|
17
|
26
|
289
|
442
|
2
|
22
|
27
|
484
|
594
|
3
|
10
|
22
|
100
|
220
|
4
|
7
|
19
|
49
|
133
|
5
|
12
|
21
|
144
|
252
|
6
|
21
|
26
|
441
|
546
|
7
|
14
|
20
|
196
|
280
|
8
|
7
|
15
|
49
|
105
|
9
|
20
|
30
|
400
|
600
|
10
|
3
|
13
|
9
|
39
|
Сумма
|
133
|
219
|
2161
|
3211
|
Ср. значение
|
13,3
|
21,9
|
216,1
|
321,1
|
Найдем b:

Тогда 
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx
=11,779+0,761x.
Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.
2. Вычислим остатки при помощи. Получим:
Таблица 2
ВЫВОД ОСТАТКА
|
Наблюдение
|
|
Остатки
|
|
1
|
24,72
|
1,284
|
1,649
|
2
|
28,52
|
-1,521
|
2,313
|
3
|
19,39
|
2,611
|
6,817
|
4
|
17,11
|
1,894
|
3,587
|
5
|
20,91
|
0,089
|
0,008
|
6
|
27,76
|
-1,76
|
3,098
|
7
|
22,43
|
-2,433
|
5,919
|
8
|
17,11
|
-2,106
|
4,435
|
9
|
27
|
3,001
|
9,006
|
10
|
14,06
|
-1,062
|
1,128
|
Сумма
|
219
|
-0,003
|
37,961
|
Найдем остаточную сумму квадратов:

Дисперсия остатков равна:
.
График остатков имеет следующий вид:
График 1

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.
· Случайный характер остатков.
Случайный характер остатков εi
проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек εi
нет направленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно, εi
– случайные величины и применение МНК оправдано.
· Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.
Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора xi
. Следовательно, модель адекватна.
· Проверка гомоскедастичности остатков.
Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.
1) Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.
2) Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.
Таблица 3
|
х
|
y
|
x·y
|
x2
|
ŷ
|
εi
=yi
-ŷi
|
ε2
|
1
|
3
|
13
|
39
|
9
|
13,181
|
-0,181
|
0,033
|
2
|
7
|
19
|
133
|
49
|
17,197
|
1,803
|
3,251
|
3
|
7
|
15
|
105
|
49
|
17,197
|
-2,197
|
4,827
|
4
|
10
|
22
|
220
|
100
|
20,209
|
1,791
|
3,208
|
5
|
12
|
21
|
252
|
144
|
22,217
|
-1,217
|
1,481
|
Сумма
|
39
|
90
|
749
|
351
|
|
|
12,799
|
Ср.знач
|
7,8
|
18
|
149,8
|
70,2
|
|
|
|
|
х
|
y
|
x·y
|
x2
|
ŷ
|
εi
=yi
-ŷi
|
ε2
|
1
|
14
|
20
|
280
|
196
|
21,672
|
-1,672
|
2,796
|
2
|
17
|
26
|
442
|
289
|
24,252
|
1,748
|
3,056
|
3
|
20
|
30
|
600
|
400
|
26,832
|
3,168
|
10,036
|
4
|
21
|
26
|
546
|
441
|
27,692
|
-1,692
|
2,863
|
5
|
22
|
27
|
594
|
484
|
28,552
|
-1,552
|
2,409
|
Сумма
|
94
|
129
|
2462
|
1810
|
|
|
21,159
|
Ср.знач
|
18,8
|
25,8
|
492,4
|
362
|
|
|
|






3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.
,
.
4) Вычислим F- распределения.
Fнабл
=S2ŷ
/S1ŷ
=1,653.
5) Произведем сравнение Fнабл
и Fтабл
.
1,653<5,32 (при k1
=1 и k2
=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.
· Отсутствие автокорреляции.
Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
Таблица 4
|
ε
i
|
ε
i-1
|
ε
i
- ε
i-1
|
(ε
i
- ε
i-1
)2
|
1
|
1,284
|
|
|
|
2
|
-1,521
|
1,284
|
-2,805
|
7,868
|
3
|
2,611
|
-1,521
|
4,132
|
17,073
|
4
|
1,894
|
2,611
|
-0,717
|
0,5141
|
5
|
0,089
|
1,894
|
-1,805
|
3,258
|
6
|
-1,760
|
0,089
|
-1,849
|
3,4188
|
7
|
-2,433
|
-1,760
|
-0,673
|
0,4529
|
8
|
-2,106
|
-2,433
|
0,327
|
0,1069
|
9
|
3,001
|
-2,106
|
5,107
|
26,081
|
10
|
-1,062
|
3,001
|
-4,063
|
16,508
|
Сумма
|
|
|
|
75,282
|
; d=75,282/37,961=1,983.
Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.
· Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
; ,
; ,
где 
Тогда , ; и 
tтабл
=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа
и tb
> tтабл
, что говорит о значимости параметров модели.
5. Коэффициент детерминации находится по формуле:
.
Данные возьмем из таблицы 5:
Таблица 5
№
|
x
|
y
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17
|
26
|
3,7
|
4,1
|
13,69
|
16,81
|
1,284
|
4,938
|
2
|
22
|
27
|
8,7
|
5,1
|
75,69
|
26,01
|
-1,521
|
5,633
|
3
|
10
|
22
|
-3,3
|
0,1
|
10,89
|
0,01
|
2,611
|
11,868
|
4
|
7
|
19
|
-6,3
|
-2,9
|
39,69
|
8,41
|
1,894
|
9,968
|
5
|
12
|
21
|
-1,3
|
-0,9
|
1,69
|
0,81
|
0,089
|
0,424
|
6
|
21
|
26
|
7,7
|
4,1
|
59,29
|
16,81
|
-1,760
|
6,769
|
7
|
14
|
20
|
0,7
|
-1,9
|
0,49
|
3,61
|
-2,433
|
12,165
|
8
|
7
|
15
|
-6,3
|
-6,9
|
39,69
|
47,61
|
-2,106
|
14,040
|
9
|
20
|
30
|
6,7
|
8,1
|
44,89
|
65,61
|
3,001
|
10,003
|
10
|
3
|
13
|
-10,3
|
-8,9
|
106,09
|
79,21
|
-1,062
|
8,169
|
Сумма
|
133
|
219
|
|
|
392,1
|
264,9
|
|
83,979
|
Ср. знач.
|
13,3
|
21,9
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:
.
Fтабл
=5,32 (k1
=1, k2
=8 степенями свободы) ;
F>Fтабл
, что говорит о значимости уравнения регрессии.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
;
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.
Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.
6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:


где tα
=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1
Т.о.

Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513
Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833
Таблица 6
Нижняя граница
|
Прогноз
|
Верхняя граница
|
20,83
|
25,17
|
29,51
|
7.
Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.
График 2

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены
Х = 1/х.
Тогда уравнение примет вид:
ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6
Таблица 7
№
|
y
|
x
|
X
|
X2
|
Xy
|
ŷ
|
εi
|
ε
i
2
|
|
1
|
26
|
17
|
0,0588
|
0,0035
|
1,5294
|
24,41
|
1,59
|
2,52
|
6,11
|
2
|
27
|
22
|
0,0455
|
0,0021
|
1,2273
|
25,10
|
1,90
|
3,61
|
7,04
|
3
|
22
|
10
|
0,1000
|
0,0100
|
2,2000
|
22,29
|
-0,29
|
0,09
|
1,33
|
4
|
19
|
7
|
0,1429
|
0,0204
|
2,7143
|
20,09
|
-1,09
|
1,18
|
5,72
|
5
|
21
|
12
|
0,0833
|
0,0069
|
1,7500
|
23,15
|
-2,15
|
4,63
|
10,24
|
6
|
26
|
21
|
0,0476
|
0,0023
|
1,2381
|
24,99
|
1,01
|
1,02
|
3,89
|
7
|
20
|
14
|
0,0714
|
0,0051
|
1,4286
|
23,76
|
-3,76
|
14,16
|
18,82
|
8
|
15
|
7
|
0,1429
|
0,0204
|
2,1429
|
20,09
|
-5,09
|
25,88
|
33,91
|
9
|
30
|
20
|
0,0500
|
0,0025
|
1,5000
|
24,87
|
5,13
|
26,35
|
17,11
|
10
|
13
|
3
|
0,3333
|
0,1111
|
4,3333
|
10,28
|
2,72
|
7,38
|
20,90
|
Сумма
|
219
|
133
|
1,0757
|
0,1843
|
20,0638
|
|
|
86,82
|
125,07
|
Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
0,1076
|
0,0184
|
2,0064
|
|
|
|
|

Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.
Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:
.
График 3
Степенная
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + b lg x
Обозначим Y = lg ŷ;
A = lg a;
X = lg x
Тогда уравнение примет вид: Y = A + b
X - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:
Таблица 8
№
|
y
|
x
|
Y
|
X
|
YX
|
X2
|
ŷ
|
εi
|
ε
i
2
|
|
|
26
|
17
|
1,4150
|
1,2304
|
1,7411
|
1,5140
|
24,545
|
1,45
|
2,12
|
5,60
|
|
27
|
22
|
1,4314
|
1,3424
|
1,9215
|
1,8021
|
27,142
|
-0,14
|
0,02
|
0,52
|
|
22
|
10
|
1,3424
|
1,0000
|
1,3424
|
1,0000
|
19,957
|
2,04
|
4,17
|
9,29
|
|
19
|
7
|
1,2788
|
0,8451
|
1,0807
|
0,7142
|
17,365
|
1,63
|
2,67
|
8,60
|
|
21
|
12
|
1,3222
|
1,0792
|
1,4269
|
1,1646
|
21,427
|
-0,43
|
0,18
|
2,04
|
|
26
|
21
|
1,4150
|
1,3222
|
1,8709
|
1,7483
|
26,654
|
-0,65
|
0,43
|
2,51
|
|
20
|
14
|
1,3010
|
1,1461
|
1,4911
|
1,3136
|
22,755
|
-2,76
|
7,59
|
13,78
|
|
15
|
7
|
1,1761
|
0,8451
|
0,9939
|
0,7142
|
17,365
|
-2,37
|
5,59
|
15,77
|
|
30
|
20
|
1,4771
|
1,3010
|
1,9218
|
1,6927
|
26,151
|
3,85
|
14,81
|
12,83
|
|
13
|
3
|
1,1139
|
0,4771
|
0,5315
|
0,2276
|
12,479
|
0,52
|
0,27
|
4,01
|
Сумма
|
219
|
133
|
13,2729
|
10,5887
|
14,3218
|
11,8913
|
|
|
37,86
|
74,94
|
Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
1,3273
|
1,0589
|
1,4322
|
1,1891
|
|
|
|
|
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ=100,91 ·
x0,39
ŷ =8,13 · x0,39
.
График 4

· Показательная
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + x lg b
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b
Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx
- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.
Таблица
9
№наблюдения
|
y
|
x
|
Y
|
Yx
|
x2
|
ŷ
|
εi
|
ε
i
2
|
|
1
|
26
|
17
|
1,4150
|
24,0545
|
289
|
24,564
|
1,436
|
2,06
|
5,52
|
2
|
27
|
22
|
1,4314
|
31,4900
|
484
|
29,600
|
-2,600
|
6,76
|
9,63
|
3
|
22
|
10
|
1,3424
|
13,4242
|
100
|
18,920
|
3,080
|
9,49
|
14,00
|
4
|
19
|
7
|
1,2788
|
8,9513
|
49
|
16,917
|
2,083
|
4,34
|
10,96
|
5
|
21
|
12
|
1,3222
|
15,8666
|
144
|
20,385
|
0,615
|
0,38
|
2,93
|
6
|
26
|
21
|
1,4150
|
29,7144
|
441
|
28,516
|
-2,516
|
6,33
|
9,68
|
7
|
20
|
14
|
1,3010
|
18,2144
|
196
|
21,964
|
-1,964
|
3,86
|
9,82
|
8
|
15
|
7
|
1,1761
|
8,2326
|
49
|
16,917
|
-1,917
|
3,68
|
12,78
|
9
|
30
|
20
|
1,4771
|
29,5424
|
400
|
27,472
|
2,528
|
6,39
|
8,43
|
10
|
13
|
3
|
1,1139
|
3,3418
|
9
|
14,573
|
-1,573
|
2,47
|
12,10
|
Сумма
|
219
|
133
|
13,2729
|
182,8324
|
2161
|
|
|
45,75
|
95,84
|
Ср.знач.
|
21,9
|
13,3
|
1,3273
|
18,2832
|
216,1
|
|
|
|
|

Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ =101,115
·(100,016
)x
;
ŷ =13,03·1,038x
.
График 5

9. Для указанных моделей найти: R2
– коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.
для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).
· Степенная модель (см. таблицу 8):
;
;
· Показательная модель (см.таблицу 9):
;
;
· Гиперболическая модель (см. таблицу 7):

.
Таблица 10
Параметры
Модели
|
Коэффициент
детерминации R2
|
Средняя относительная ошибка аппроксимации А
|
1. Степенная
|
0,857
|
7,5
|
2. Показательная
|
0,827
|
9,6
|
3. Гиперболическая
|
0,672
|
12,5
|
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2
к 1, тем выше качество модели.
Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.
При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2
и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.
Задача 2
Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Таблица 1
№ варианта
|
№ уравнения
|
Задача 2а
|
Задача 2б
|
переменные
|
переменные
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
8
|
1
|
-1
|
b12
|
b13
|
0
|
a12
|
a13
|
0
|
-1
|
0
|
b13
|
a11
|
0
|
a13
|
a14
|
2
|
0
|
-1
|
b23
|
a21
|
a22
|
0
|
a24
|
b21
|
-1
|
b23
|
0
|
a22
|
0
|
a24
|
3
|
0
|
b32
|
-1
|
a31
|
a32
|
a33
|
0
|
b31
|
0
|
-1
|
a31
|
0
|
a33
|
a34
|
Решение
2а) , тогда система уравнений будет иметь вид:


Модель имеет 3 эндогенные (y1
, y2
, y3
) и 4 экзогенные (x1
, x2
, x3
, x4
) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.
1 уравнение:
y
1
=
b
12
y
2
+
b
13
y
3
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1,
y2,
y3
; H=3
Отсутствующие экзогенные переменные: х1,
х4
; D=2
2+1=3 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют х1,
х4
. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:
Таблица 2
Уравнение
|
переменные
|
х1
|
х4
|
2
|
a21
|
a24
|
3
|
a3
1
|
0
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
1-ое уравнение идентифицируемо.
2 уравнение:
y
2
=
b
23
y
3
+
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
24
x
4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х3
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y1,
х3
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 3
Уравнение
|
переменные
|
y1
|
х
3
|
1
|
-1
|
a13
|
3
|
0
|
a3
3
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
2-ое уравнение идентифицируемо.
3 уравнение:
y
3
=
b
32
y
2
+
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х4
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y1,
х4
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 4
Уравнение
|
переменные
|
х1
|
х4
|
1
|
-1
|
0
|
2
|
0
|
a24
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
3-е уравнение идентифицируемо.
В целом вся система уравнений является идентифицируемой.
Решение
2б) ,
Тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y1
, y2
, y3
) и 4 экзогенные (x1
, x2
, x3
, x4
) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.
1 уравнение:
y
1
=
b
13
y
3
+
a
11
x
1
+
a
13
x
3
+
a
14
x
4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х2
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y2
, х2
. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:
Таблица
5
Уравнение
|
переменные
|
y2
|
х
2
|
2
|
-1
|
a2
2
|
3
|
0
|
0
|
Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.
1-ое уравнение НЕидентифицируемо.
2 уравнение:
y
2
=
b
11
y
1
+
b
23
y
3
+
a
22
x
2
+
a
24
x
4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1
, y2,
y3
; H=3
Отсутствующие экзогенные переменные: x1
, х3
; D=2
2+1=3 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют x1,
х3
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 6
Уравнение
|
переменные
|
x1
|
х
3
|
1
|
a11
|
a13
|
3
|
a31
|
a3
3
|
Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.
2-ое уравнение идентифицируемо.
3
уравнение
:
y3
= b31
y2
+a31
x1
+a33
x3
+a34
x4
;
Необходимое условие:
D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1,
y3
; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х2
; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие:
В уравнении отсутствуют y1,
х4
. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 7
Уравнение
|
переменные
|
y2
|
х
2
|
1
|
0
|
0
|
2
|
-1
|
a2
2
|
Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено
3-е уравнение НЕидентифицируемо.
В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.
2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y1
=a01
+b12
y2
+a11
x1
+ε1
;
y2
=a02
+b21
y1
+a22
x2
+ε2
Таблица
8
Вариант
|
n
|
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
8
|
1
|
51.3
|
39.4
|
3
|
10
|
2
|
112.4
|
77.9
|
10
|
13
|
3
|
67.5
|
45.2
|
5
|
3
|
4
|
51.4
|
37.7
|
3
|
7
|
5
|
99.3
|
66.1
|
9
|
6
|
6
|
57.1
|
39.6
|
4
|
1
|
Решение
1) Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):
Для этого из второго уравнения выражаем y2
и подставляем его в первое, а из первого выражаем y1
и подставляем его во второе уравнение. Получим:
y1
=δ11
x1
+ δ12
x2
+u1;
y2
=δ21
x1
+ δ22
x2
+u2
,
где u1
и u1
–случайные ошибки ПФМ.
Здесь

2) В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.
Для первого уравнения:
 
.
Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.
Таблица 9
n
|
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
1
|
51,3
|
39,4
|
3
|
10
|
2
|
112,4
|
77,9
|
10
|
13
|
3
|
67,5
|
45,2
|
5
|
3
|
4
|
51,4
|
37,7
|
3
|
7
|
5
|
99,3
|
66,1
|
9
|
6
|
6
|
57,1
|
39,6
|
4
|
1
|
Сумма
|
439
|
305,9
|
34
|
40
|
Сред. знач.
|
73,17
|
50,98
|
5,67
|
6,67
|
Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:
∆у = у - уср
; ∆х = х - хср
Таблица
10
n
|
∆y1
|
∆y2
|
∆x1
|
∆x2
|
∆y1
∆x1
|
∆x1
2
|
∆x1
∆x2
|
∆y1
∆x2
|
∆y2
∆x1
|
∆y2
∆x2
|
∆x2
2
|
1
|
-21,9
|
-11,6
|
-2,7
|
3,3
|
58,31
|
7,11
|
-8,89
|
-72,89
|
30,89
|
-38,61
|
11,11
|
2
|
39,2
|
26,9
|
4,3
|
6,3
|
170,0
|
18,78
|
27,44
|
248,48
|
116,64
|
170,47
|
40,11
|
3
|
-5,7
|
-5,8
|
-0,7
|
-3,7
|
3,78
|
0,44
|
2,44
|
20,78
|
3,86
|
21,21
|
13,44
|
4
|
-21,8
|
-13,3
|
-2,7
|
0,3
|
58,04
|
7,11
|
-0,89
|
-7,26
|
35,42
|
-4,43
|
0,11
|
5
|
26,1
|
15,1
|
3,3
|
-0,7
|
87,11
|
11,11
|
-2,22
|
-17,42
|
50,39
|
-10,08
|
0,44
|
6
|
-16,1
|
-11,4
|
-1,7
|
-5,7
|
26,78
|
2,78
|
9,44
|
91,04
|
18,97
|
64,51
|
32,11
|
∑
|
-0,2
|
-0,1
|
-0,2
|
-0,2
|
404,03
|
47,33
|
27,33
|
262,73
|
256,17
|
203,07
|
97,33
|
С учетом приведенных данных получим:
404,03 = 47,33δ11
+ 27,33δ12
262,73 = 27,33δ11
+ 97,33δ12
 
δ12
= 0,36;

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:
y
1
= 8,33х1
+ 0,36х2
+
u
1
Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:
 

Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:
256,17=47,33δ21
+27,33δ22
203,07=27,33δ21
+97,33δ22
 
δ22
= 0,68;

Второе уравнение ПФМ примет вид:
у2
= 5,02х1
+ 0,68х2
+
u
2
3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х2
:

Найденное х2
подставим в первое уравнение.
,
тогда b
12
=0,53;
a
11
=5,67
Из первого уравнения ПФМ найдем х1

Подставим во второе уравнение ПФМ
,
тогда b
21
=0,6;
a
22
=0,46
4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:
а01
= у1ср
- b12
у2ср
- а11
х1ср
= 73,17 – 0,53 50,98 - 5,67 5,67 = 14,00;
а02
= у2ср
- b21
у1ср
- а22
х2ср
= 50,98 - 0,6 73,17 - 0,46 6,67 = 4,00.
5) Записываем СФМ в окончательном виде:
y1
=a01
+ b12
y2
+ a11
x1
+ ε1
;
y2
=a02
+ b21
y1
+ a22
x2
+ ε2
.
y1
=14 + 0,53y2
+ 5,67x1
+ ε1
;
y2
= 4 + 0,6y1
+ 0,46x2
+ ε2.
|