Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Операции на графах

Название: Операции на графах
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 00:47:22 21 ноября 2008 Похожие работы
Просмотров: 555 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра информатики

РЕФЕРАТ

На тему:

«Операции на графах»

МИНСК, 2008


Операции на графах позволяют образовывать новые графы из нескольких более простых. В этом параграфе будут рассмотрены операции на графах без параллельных ребер (дуг).

Объединение графов .

Пусть G1 (X1 ,E1 ) и G2 (X2 ,E2 ) – произвольные графы. Объединением G1 È G2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X1 È X2 , и с множеством ребер (дуг) E1 È E2 .

Рассмотрим операцию на примере графов G1 (X1 ,E1 ) и G2 (X2 ,E2 ) , приведенных на рис. 4.1. Множества вершин первого и второго графов соответственно равны X1 = {x1 , x2 , x3 } и X2 = {x2 , x3 , x4 } , а множество вершин результирующего графа определится как X = X1 È X2 = {x1 , x2 , x3 , x4 } . Аналогично определяем множества дуг графа:

E1 = {(x1 , x2 ), (x1 , x3 ), (x2 , x1 ), (x3 , x3 )}. E2 = {(x2 , x4 ), (x3 , x2 ), (x4 , x2 )}.

E = {(x1 , x2 ), (x1 , x3 ), (x2 , x1 ), (x3 , x3 ), (x2 , x4 ), (x3 , x2 ), (x4 , x2 )}.

Результирующий граф G(X,E) = G1 (X1 ,E1 ) ÈG2 (X2 ,E2 ) также приведен на рис. 1.

Операция объединения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

G1 È G2 = G2 È G1 – свойство коммутативности;

G1 È (G2 È G3 ) = (G1 È G2 ) È G3 – свойство ассоциативности.

Операция объединения графов может быть выполнена в матричной форме. Для графов с одним и тем же множеством вершин справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть G1 и G2 – два графа (ориентированные или не ориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X , и пусть A1 и A2 – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1 È G2 является матрица A = A1 È A2 , образованная поэлементным логическим сложением матриц A1 и A2 .

Рассмотрим выполнение операции объединения графов, множества вершин которых не совпадают. Пусть G1 (X1 ,E1 ) и G2 (X2 ,E2 ) – графы без параллельных ребер и множества X1 и X2 вершин этих графов не совпадают. Пусть A1 и A2 – матрицы смежности их вершин графов. Для таких графов операция объединения может быть выполнена следующим образом.

В соответствии с определением операции объединения графов найдем множество вершин результирующего графа как X1 È X2 . Построим вспомогательные графы G’1 и G’2 , множества вершин которых есть множество X1 È X2 , а множество ребер (дуг) определяется множествами E1 для графа G 1 и E2 для графа G 2 . Очевидно, что матрицы A’1 и A’2 смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A1 и A2 путем добавления в них дополнительных столбцов и строк с нулевыми элементами.

Применив к графам G’1 и G’2 теорему 4.1, найдем матрицу смежности вершин графа G’1 È G’2 как A’1 È A’2 . Очевидно, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф, множество вершин которого равно X1 È X2 , а множество ребер определяется, как E1 È E2 , что соответствует операции объединения графов.

Пример 1. Выполнить в матричной форме операцию объединения графов G1 и G2 , представленных на рис. 1.

Составим матрицы смежности вершин графов.

x1

x2

x3

x2

x3

x4

x 1

0

1

1

x2

0

0

1

A1

=

x2

1

0

0

A2

=

x3

1

0

0

x3

0

0

1

x4

0

1

0

Множество вершин результирующего графа X1 È X2 = {x1 , x2 , x3 , x4 } . Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’1 и G’2 .

x1

x2

x3

x4

x1

x2

x3

x4

x1

0

1

1

0

x1

0

0

0

0

A’1

=

x2

1

0

0

0

A’2

=

x2

0

0

0

1

x3

0

0

1

0

x3

0

1

0

0

x4

0

0

0

0

x4

0

0

1

0

Матрица A = A’1 È A’2 имеет вид

X1

x2

x3

x4

x1

0

1

1

0

x2

1

0

0

1

A = A’1 È A’2

=

x3

0

1

1

0

x4

0

0

1

0

Полученная матрица смежности вершин A’1 È A’2 соответствует графу G1 È G2 , изображенному на рис.1.

Пересечение графов

Пусть G1 (X1 ,E1 ) и G2 (X2 ,E2 ) – произвольные графы. Пересечением G1 Ç G2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X1 Ç X2 с множеством ребер (дуг) E = E1 Ç E2

Операция пересечения обладает следующими свойствами, которые следуют из определения операции и свойств операций на множествах:

G1 Ç G2 = G2 Ç G1 – свойство коммутативности;

G1 Ç (G2 Ç G3) = (G1 Ç G2) Ç G3 – свойство ассоциативности.

Для того чтобы операция пересечения была всеобъемлющей, необходимо ввести понятие пустого графа. Граф G(X,E) называется пустым, если множество X вершин графа является пустым (X= Æ ) . Заметим, что в этом случае и множество E ребер (дуг) графа также пустое множество (E= Æ ) . Пустой граф обозначается символом Æ . Такой граф может быть получен в результате выполнения операции пересечения графов, у которых X 1 Ç X 2 = Æ . В этом случае говорят о непересекающихся графах.

Рассмотрим выполнение операции пересечения графов, изображенных на рис. 2. Для нахождения множества вершин результирующего графа запишем множества вершин исходных графов и выполним над этими множествами операцию пересечения:

X1 = {x1 , x2 , x3 }; X2 = {x1 , x2 , x3 , x4 };

X = X1 Ç X2 = {x1 , x2 , x3 }.

Аналогично определяем множество E дуг результирующего графа:

E1 = {(x1 , x2 ), (x1 , x3 ), (x2 , x1 ), (x2 , x3 ), (x3 , x2 )};

E2 = {(x1 , x3 ), (x2 , x1 ), (x2 , x3 ), (x2 , x4 ), (x3 , x1 )};

E = E1 Ç E2 = {(x1 , x3 ), (x2 , x1 )}.

Графы G1 (X1 ,E1 ) , G2 (X2 ,E2 ) и их пересечение приведены на рис 4.2.

Операция пересечения графов может быть выполнена в матричной форме.

Теорема 2. Пусть G1 и G2 – два графа (ориентированные или неориентированные одновременно) с одним и тем же множеством вершин X, и пусть A1 и A2 – матрицы смежности вершин этих графов. Тогда матрицей смежности вершин графа G1 Ç G2 является матрица A = A1 Ç A2 образованная поэлементным логически умножением матриц A1 и A2 .

Рассмотрим выполнение операции пересечения для графов с несовпадающим множеством вершин.

Пусть G1 (X1 ,E1 ) и G2 (X2 ,E2 ) – графы без параллельных ребер, множества X1 и X2 вершин графов не совпадают, а A1 и A2 – матрицы смежности вершин графов. Для таких графов операция пересечения может быть выполнена так.

В соответствии с определением операции пересечения графов найдем множество вершин результирующего графа как X1 Ç X2 . Построим вспомогательные графы G’1 и G’2 , множества вершин которых есть множество X1 Ç X2 , а множество ребер (дуг) определяется множествами E’1 и E’2 всех ребер (дуг), инцидентных этим вершинам. Очевидно, что матрицы A’1 и A’2 смежности вершин этих графов могут быть получены из матриц A1 и A2 путем удаления из них столбцов и строк, соответствующих вершинам, не вошедшим во множество X1 Ç X2 .

Применив к графам G’1 и G’2 теорему 2, найдем матрицу смежности вершин графа G’1 Ç G’2 как A’1 Ç A’2 . Очевидно, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф, множество вершин которого равно X1 Ç X2 , а множество ребер определяется, как E1 Ç E2 , что соответствует операции пересечения графов.

Пример 2. Выполнить в матричной форме операцию пересечения графов G1 и G2 , представленных на рис. 2.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x4

x1

0

1

1

x1

0

0

0

1

A1

=

x2

1

0

1

A2

=

x2

1

0

1

1

x3

0

1

0

x3

1

0

0

0

x4

0

0

0

0

Находим множество вершин X результирующего графа.

X = X1 Ç X2 = {x1 , x2 , x3 } .

Составим матрицы смежности вершин вспомогательных графов G’1 и G’2 .

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

0

1

1

x1

0

0

0

A’1

=

x2

1

0

1

A’2

=

x2

1

0

1

x3

0

1

0

x3

1

0

0

Найдем матрицу смежности вершин A = A1 Ç A2

x1

x2

x3

x1

0

0

0

A’1 Ç A’2

=

x2

1

0

1

x3

0

0

0

Полученная матрица смежности вершин A’1 Ç A’2 соответствует графу G1 Ç G2 , изображенному на рис.2.

Композиция графов

Пусть G1 (X,E1 ) и G2 (X,E2 ) — два графа с одним и тем же множеством вершин X . Композицией G1 (G2 ) графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин E , в котором существует дуга (xi ,xj ) тогда и только тогда, когда существует дуга (xi ,xk ) , принадлежащая множеству E1 , и дуга (xk ,xj ) , принадлежащая множеству E2 .

Рассмотрим выполнение операции композиции G1 (G2 ) на графах, изображенных на рис.3. Для рассмотрения операции составим таблицу, в первом столбце которой указываются ребра (xi , xk ) , принадлежащие графу G1 , во втором — ребра (xk , xj ) , принадлежащие графу G3 , а в третьем — результирующее ребро (xi , xj ) для графа G1 (G2 ) .

G1

G2

G1 (G2 )

(x1 ,x2 )

(x2 ,x1 )

(x2 ,x3 )

(x1 ,x1 )

(x1 ,x3 )

(x1 ,x3 )

(x3 ,x3 )

(x1 ,x3 )

(x2 ,x1 )

(x1 ,x1 )

(x1 ,x3 )

(x2 ,x1 )

(x2 ,x3 )

Заметим, что дуга (x1 ,x3 ) результирующего графа в таблице встречается дважды. Однако, поскольку рассматриваются графы без параллельных ребер (дуг), то в множестве E результирующего графа дуга (x1 ,x3 ) учитывается только один раз, т.е. E = {(x1 ,x1 ), (x1 ,x3 ), (x2 ,x1 ), (x2 ,x3 )}

На рис. 3 изображены графы G1 и G2 и их композиции G1 (G2 ) . На этом же рисунке изображен граф G2 (G1 ) . Рекомендуется самостоятельно построить граф G2 (G1 ) и убедиться, что графы G1 (G2 ) и G2 (G1 ) не изоморфны.

Пусть А1 и A2 – матрицы смежности вершин графов G1 (X,E1 ) и G(X,E2 ) соответственно. Рассмотрим матрицу A12 элементы aij которой вычисляется так:

n

aij = Ú a 1 ik Ù a 2 kj (1)

k =1

где a1ik и a2kj элементы матрицы смежности вершин первого и второго графов соответственно. Элемент aij равен 1, если в результирующем графе G1 (G2 ) существует дуга, исходящая из вершины xi и заходящая xj , и нулю – в противном случае.

Пример 3. Выполнить операцию композиции для графов, пред­ставленных на рис. 3.

Составим матрицы смежности вершин графов:

x 1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

0

1

1

x1

1

0

1

A1

=

x2

1

0

0

A2

=

x2

1

0

1

x3

0

0

0

x3

0

0

1

Вычислив элементы матрицы согласно (1), получаем:

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

1

0

2

x1

0

1

1

A12

=

x2

1

0

1

A21

=

x2

0

1

1

x3

0

0

0

x3

0

0

0

Нетрудно убедиться, что полученным матрицам смежности вершин соответствуют графы G1 (G2 ) и G2 (G1 ) , представленные на рис. 3.

Декартово произведение графов. Пусть G1 (X,E1 ) и G2 (Y,E2 ) — два графа. Декартовым произведением G1 (X,E1 ) ´ G2 ( Y ,E2 ) графов G1 (X,E1 ) и G2 (X,E2 ) называется граф с множеством вершин X ´ Y , в котором дуга (ребро), идущая из вершины (xi yj ) в (xk yl ) , существует тогда и только тогда когда существует дуга (xi xk ) , принадлежащая множеству дуг E1 и j = l или когда существует дуга (yj ,yl ) , принадлежащая множеству E2 и i = k .

Выполнение операции декартова произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 4. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X ´ Y . Множество Z содержит следующие элементы: z1 =(x1 y1 ), z2= (x1 y2 ), z3 =(x1 y3 ), z4 =(x2 y1 ), z5 =(x2 y2 ), z6 =(x2 y3 ) .

Определим множество дуг результирующего графа. Для этого выделим группы вершин множества Z, компоненты которых совпадают. В рассматриваемом примере пять таких групп: две группы с совпадающими компонентами из множества X , и три группы, имеющие совпадающие компоненты из Y . Рассмотрим группу вершин результирующего графа, которые имеют общую компоненту x1 : z1 =(x1 y1 ), z2= (x1 y1 ), z3 =(x1 y3 ). Согласно определению операции декартова произведения графов, множество дуг между этими вершинами определяется связями между вершинами множества Y . Таким образом, дуга (y1 ,y1 ) в графе G2 определяет наличие дуги (z1 ,z1 ) в результирующем графе. Для удобства рассмотрения всех дуг результирующего графа составим таблицу, в первом столбце которой перечисляются вершины с совпадающими компонентами, во втором – дуги между несовпадающими компонентами, а в третьем и четвертом – дуги в результирующем графе.


№ п.п.

Группы вершин с совпадаю­щими компонентами

Дуги для несовпада­­ю­щих компонент

Дуга

( xi yj ) ® (xk yl )

Дуга

( z a ,z b )

1

z1 =(x1 y1 ), z2= (x1 y2 ), z3 =(x1 y3 )

(y1 ,y1 )

(y1 ,y2 )

(y2 ,y3 )

(y3 ,y1 )

(x1 y1 ) ® (x1 y1 )

(x1 y1 ) ® (x1 y2 )

(x1 y2 ) ® (x1 y3 )

( x1 y3 ) ® (x1 y1 )

(z1 ,z1 )

(z1 ,z2 )

(z2 ,z3 )

(z3 ,z1 )

2

z4 =(x2 y1 ), z5 =(x2 y2 ), z6 =(x2 y3 )

(y1 ,y1 )

(y1 ,y2 )

(y2 ,y3 )

(y3 ,y1 )

(x2 y1 ) ® (x2 y1 ) (x2 y1 ) ® (x2 y2 ) (x2 y2 ) ® (x2 y3 ) (x2 y3 ) ® (x2 y1 )

(z4 ,z4 )

(z4 ,z5 )

(z5 ,z6 )

(z6 ,z4 )

3

z1 =(x1 y1 ), z4 =(x2 y1 )

(x1 ,x2 )

(x2 ,x1 )

( x1 y1 ) ® (x2 y1 ) ( x2 y1 ) ® (x1 y1 )

(z1 ,z4 )

(z4 ,z1 )

4

z2= (x1 y2 ), z5 =(x2 y2 )

(x1 ,x2 )

(x2 ,x1 )

( x1 y2 ) ® (x2 y2 ) ( x1 y2 ) ® (x1 y2 )

(z2 ,z5 )

(z5 ,z2 )

5

Z3 =(x1 y3 ), z6 =(x2 y3 )

(x1 ,x2 )

(x2 ,x1 )

( x1 y3 ) ® (x2 y3 ) ( x2 y3 ) ® (x1 y3 )

(z3 ,z6 )

(z6 ,z3 )

Граф G1 ´ G2 изображен на рис. 4.

Операция декартова произведения обладает следующими свойствами.

1. G1 ´ G2 = G2 ´ G1

2. G1 ´ (G2 ´ G3 ) = (G1 ´ G2 ) ´ G3 .

Операция декартова произведения графов может быть выполнена в матричной форме.

Пусть G1 (X,E1 ) и G2 (Y,E2 ) – два графа, имеющие nx и ny вершин соответственно. Результирующий граф G1 ´ G2 имеет nx × ny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nx × ny ) ´ (nx × ny ) . Обозначим через a a b = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину z a =(xi yj ) c z b =(xk yl ) . Согласно определению операции этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

a a b = a(ij)(kl) = Kik × a2,jl Ú Kjl × a1,ik , (2)

где a1,ik , a2,jl – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно;

Kik – символ Кронекера, равный 1, если i=k, и нулю, если i ¹ k .

Пример 4. Выполнить операцию декартова произведения на графах, приведенных на рис. 4.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

x1

x2

y1

y2

y3

x1

0

1

y1

1

1

0

A1

=

x2

1

0

A2

=

y2

0

0

1

y3

1

0

0

Для построения матрицы смежности результирующего графа воспользуемся соотношением (2). В этом соотношении первое слагаемое Kik × a2,jl указывает на наличие дуг для вершин, у которых совпадают компоненты из множества X . Для пояснения сказанного, рассмотрим вспомогательную матрицу Axy, в которой элементы, для которых Kik = 1, помечены символом X. Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A2 смежности вершин графа G2 , так, как это показано для матрицы A*.

x1 y1

x1 y2

x1 y3

x2 y1

x2 y2

x2 y3

x1 y1

X Ú Y
X
X

Y

0

0

x1 y2

X

X ÚY

X

0

Y

0

Axy

=

X1 y3

X

X

X ÚY

0

0

Y

X2 y1

Y

0

0

XÚY
X
X

X2 y2

0

Y

0

X

X ÚY

X

X2 y3

0

0

Y

X
X

X ÚY

x1 y1

x1 y2

x1 y3

x2 y1

x2 y2

x2 y3

x1 y1

a1,11 Ú a2,11

a2,12

a2,13

a1,12

x1 y2

a2,21

a1,11 Úa2,22

a2,11

a1,12

A*

=

x1 y3

a2,31

A2,32

a1,11 Úa2,33

0

0

a1,12

x2 y1

a1,21

0

0

a1,22 Úa2,11

a2,12

a2,13

x2 y2

0

a1,21

0

a2,21

a1,22 Úa2,22

a2,23

x2 y3

0

0

a1,21

a2,31

a2,32

a1,22 Ú a2,33

Второе слагаемое Kjl × a1,ik соотношения (2) указывает на наличие дуг для групп вершин, у которых совпадают компоненты из множества Y . В матрице Axy элементы, для которых Kjl = 1 помечены символом Y . Эти элементы принимают значения, равные значениям соответствующих элементов матрицы A1 смежности вершин графа G1 , так, как это показано для матрицы A*.

Заметим, что в матрицах Axy и A* на главной диагонали располагаются элементы, равные логической сумме значений элементов матриц смежности вершин обоих графов. Это определяется тем, что на главной диагонали расположены элементы, для которых Kik = Kjl = 1.

Таким образом, матрица смежности вершин результирующего графа принимает вид:

x1 y1

x1 y2

x1 y3

x2 y1

x2 y2

x2 y3

x1 y1

1

1

0

1

0

0

x1 y2

0

0

1

0

1

0

A

=

x1 y3

1

0

0

0

0

1

x2 y1

1

0

0

1

1

0

x2 y2

0

1

0

0

0

1

x2 y3

0

0

1

1

0

0

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G1 ´ G2 , представленный на рис. 4

Операция произведения графов. Пусть G1 (X,E1 ) и G2 (Y,E2 ) - два графа. Произведением G1 × G2 графов G1 и G2 называется граф с множеством вершин X ´ Y , а дуга из вершины (xi ,yj ) в вершину (xk ,yl ) существует тогда и только тогда, когда существуют дуги (xi ,xk ) Î E1 и (yj ,yl ) Î E2 .

Выполнение операции произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 5. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X ´ Y . Множество Z содержит следующие элементы: z1 =(x1 y1 ), z2= (x1 y2 ), z3 =(x1 y3 ), z4 =(x2 y1 ), z5 =(x2 y2 ), z6 =(x2 y3 ) .

Определим множество дуг результирующего графа. Для удобства рассмотрения составим таблицу, в первом столбце которой указываются дуги графа G1 , во втором – дуги графа G2 , а в третьем и четвертом – дуги результирующего графа.

G1

G2

(x1, y1 ) ®(x2 ,y1 )

(z a , z b )

(x1 ,x2 )

(y1 ,y1 )

(y1 ,y2 )

(y2 ,y3 )

(y3 ,y2 )

(x1, y1 ) ® (x2 ,y1 )

(x1, y1 ) ® (x2 ,y2 )

(x1, y2 ) ® (x2 ,y3 )

(x1, y3 ) ®(x2 ,y2 )

(z1, z4 )

(z1, z5 )

(z2, z6 )

(z3, z5 )

(x2 ,x1 )

(y1 ,y1 )

(y1 ,y2 )

(y2 ,y3 )

(y3 ,y2 )

(x2, y1 ) ® (x1 ,y1 )

(x2, y1 ) ® (x1 ,y2 )

(x2, y2 ) ® (x1 ,y3 )

(x2, y3 ) ®(x1 ,y2 )

(z4, z1 )

(z4, z2 )

(z5, z3 )

(z6, z2 )

Результирующий граф G1 × G2 изображен на рис.5.

Операция произведения обладает следующими свойствами.

1. G1 × G2 = G2 × G1 .

2. G1 × (G2 × G3 ) = (G1 × G2 ) × G3 .

Рассмотрим выполнение операции произведения графов в матричной форме.

Пусть G1 (X,E1 ) и G2 (Y,E2 ) – два графа, имеющие nx и ny вершин соответственно. Результирующий граф G1 × G2 имеет nx × ny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nx × ny ) ´ (nx × ny ) . Обозначим через a a b = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину z a =(xi yj ) c z b =(xk yl ) . Этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

a a b =a(ij)(kl) = a1,ik Ù a2,jl , (3)

де a1,ik , a1,ik – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно.

Пример 5. Выполнить операцию произведения на графах, приведенных на рис. 5.

Составим матрицы смежности вершин исходных графов.

x1

x2

y1

y2

y3

x1

0

1

y1

1

1

0

A1

=

x2

1

0

A2

=

y2

0

0

1

y3

0

1

0

Построим матрицу A смежности вершин результирующего графа, каждый элемент которой вычисляется согласно соотношению (4.3).

x1 y1

x1 y2

x1 y3

x2 y1

x2 y2

x2 y3

x1 y1

a1,11 Ù a2,11

a1,11 Ùa2,12

a1,11 Ù a2,13

a1,12 Ùa2,11

a1,12 Ù a2,12

a1,12 Ù a2,13

x1 y2

a1,11 Ù a2,21

a1,11 Ù a2,22

a1,11 Ù a2,23

a1,12 Ù a2,21

a1,12 Ù a2,22

a1,12 Ù a2,23

A

=

x1 y3

a1,11 Ù a2,21

a1,11 Ù a2,22

a1,11 Ù a2,23

a1,12 Ù a2,31

a1,12 Ù a2,32

a1,12 Ù a2,33

x2 y1

a1,21 Ù a2,11

a1,21 Ù a2,12

a1,21 Ù a2,13

a1,22 Ù a2,11

a1,22 Ù a2,12

a1,22 Ù a2,13

x2 y2

a1,21 Ù a2,21

a1,21 Ù a2,22

a1,21 Ù a2,23

a1,12 Ù a2,21

a1,12 Ù a2,22

A1,12 Ù a2,23

x2 y3

a1,21 Ù a2,31

a1,21 Ù a2,32

a1,21 Ù a2,33

a1,22 Ù a2,31

a1,12 Ù a2,32

A1,12 Ù a2,33

Для удобства рассмотрения разделим матрицу A на четыре квадратные подматрицы. Заметим, что каждая подматрица может быть получена путем логического элементов матрицы умножения A2 на один из элементов a1,ij матрицы A 1 . С учетом этого матрицу A можно представить так:

x1 y1

x1 y2

x1 y3

x2 y1

x2 y2

x2 y3

x1 y1

a1,11 Ù A2

a1,12 Ù A2

x1 y2

A

=

x1 y3

x2 y1

a1,21 Ù A2

a1,22 Ù A2

x2 y2

x2 y3

Таким образом, матрица смежности вершин графа G1 × G 2 имеет вид:


x1 y1

x1 y2

x1 y3

x2 y1

x2 y2

x2 y3

x1 y1

0

0

0

1

1

0

x1 y2

0

0

0

0

0

1

A

=

x1 y3

0

0

0

0

1

0

x2 y1

1

1

0

0

0

0

x2 y2

0

0

1

0

0

0

x2 y3

0

1

0

0

0

0

Нетрудно убедиться, что полученной матрице смежности вершин соответствует граф G1 × G2 , представленный на рис. 5.


ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).

2. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.

3. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:56:01 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
08:20:08 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Операции на графах

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150696)
Комментарии (1839)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru