Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Эрмитовы операторы

Название: Эрмитовы операторы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 12:50:56 11 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 70 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μ g ) = λLf + μ Lg (1)

При этом множество M = ML называется областью определения оператора L . Если Lf = f при всех f Є M , то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения ML . Уравнение

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = ио + ŭ .

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML . Обозначим через Rl область значений оператора L , т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf }, где f пробегает ML . Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L -1 , так что

и = L -1F . (4)

Оператор L-1 , очевидно, является линейным и отображает Rl на ML . Непосредственно из определения оператора L -1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L -1F = F , F Є Rl ; L -1 Lu = u , и Є ML ,

т.е. L L -1 = I , L -1 L = I .


Если линейный оператор L имеет обратный L - 1 , то системы функций {φ k } и { L φ k } одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ k принадлежат ML . )

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu , (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML . Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML , называются собственными значениями оператора L , а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r , 1 r , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u 1 ,...,и2 соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u 0 = c 1 u 1 + c 2 u 2 + ... + cr ur

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)


существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑с k и k , (7)

где и* — частное решение (6) и с k , k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L , переводящий ML СL 2 ( G ) в L2 (G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2 (G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство

( Lf , g ) = ( f , Lg ).

Выражения ( Lf , g ) и ( Lf , f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L .

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є Ml , где Ml плотна в L2 (G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L , переводящий Ml С L2 (G) в L2 (G), называется положительным, если Ml плотна в L2 (G) и

(Lf , f ) 0, f Є Ml .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны .

Доказательство. Пусть λ0 — собственное значение, u 0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L , L u 0 = λ0 u 0 . Умножая скалярно это равенство на u 0 , получим

( L u 0 , u 0 ) = ( λ0 u 0 , u 0 ) = λ0 (u 0 , u 0 ) λ0 || u 0 ||2 = λ0 . (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и 1 и и 2 , соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2 , ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu 1 = λ1 и 1 , Lu 2 = λ2 и 2 ,

из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ1 1 2 ) = ( λ и 1 2 ) = ( L и 1 2 ) = (и 1 , Lu 2 ) = 1 2 и 2 ) = =λ 2 1 2 ),

т.е. λ1 1 2 ) = λ 2 1 2 ). Отсюда, поскольку λ1 λ 2 , вытекает, что скалярное произведение 1 2 ) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ12 ,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и 1 2 ,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и k :

Lu k = λk , и k , k = 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ k } состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ 1 ,ψ 2 ,... линейно независимых функций из L2 (G) преобразуется в ортонормальную систему φ 1 ,φ 2 , — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

φ 1 = ψ 1 /||ψ 2 || , φ 2 = ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 / || ψ 2 – (ψ 2, φ 1 ) φ 1 ||

φ k = ψ k – (ψ k , φ k -1 )φ k -1 – … – (ψ k , φ 1 )φ 1 / || ψ k – (ψ k , φ k -1 )φ k -1 – … – – (ψ k , φ 1 )φ 1 ||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {ик } эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

( Lu k , u i ) = λ k k , u i ) = λ k δki

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:55:58 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
08:20:06 29 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Эрмитовы операторы

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150685)
Комментарии (1839)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru