Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Учебное пособие: Матрицы

Название: Матрицы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Добавлен 00:17:46 13 декабря 2010 Похожие работы
Просмотров: 317 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Основные вопросы лекции: общие определения, связанные с понятием матрицы; действия над матрицами; определители 2-го и 3-го порядков; определители порядка n, их вычисление; свойства определителей; обратная матрицы; ранг матрицы.

Матрицей размера mхn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойнойиндексацией: aij , где i – номер строки, j – номер столбца:

, i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n

Матрица называется квадратной n – го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы aij , у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11 , a22 , …, ann , а a1n , a2n-1 , …, an1 – элементы дополнительной диагонали.

Виды матриц: матрица (вектор) – строка, матрица (вектор) – столбц, диагональная, единичная матрица.

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций.

а) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой bij =λaij для i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0•А= О.

б) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой

С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij), i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

(т.е. матрицы складываются поэлементно).

В частном случае А+0=А.

в) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В:

Примечание. A*B≠B*A.

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:


,

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, Ат .

Возведение в степень. Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.

Аm =A*A*…*A (m>1)

m раз

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают А0 = Е, А1 = А.

Следом trА квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов:

Матрица А-1 , обратная к квадратной матрице А, – такая матрица, что

А-1 *А=А* А-1 =Е (Е – единичная матрица).

Определители

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается det (A) или Δ.

Определителем матрицы первого порядка А=(а11 ), или определителем первого порядка, называется элемент а11 : Δ = |А|=а11 . Например, пусть А= (3), тогда Δ1 = |А|=3.

Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилом треугольника или правилом Сарруса:

Минором Mij элемента aij матрицы n – го порядка называется определитель матрицы (n-1) – го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n – го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j :

Aij =(-1)i+j Mij , i, j=1, 2, 3

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Примечание. Определитель треугольной (и диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число λ.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |А'|=|А|.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

, при i¹j


8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b1 , b2 , …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b1 , b2 , …, bn.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

|С| = |А|*|В|, где C=А*В; А и В-матрицы n – го порядка.

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Определение. РангомматрицыА называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы Аобозначается rang Аилиr(А).

Свойства ранга матрицы:

10 . Ранг матрицы Аmxn не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. rang A≤min (m; n);

20 . г(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0;

30 . Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений08:15:07 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
08:04:19 29 ноября 2015

Работы, похожие на Учебное пособие: Матрицы

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150154)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru