Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

Название: Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: курсовая работа Добавлен 21:53:35 29 июня 2009 Похожие работы
Просмотров: 173 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ”ХПИ”

Кафедра вычислительной техники и программирования

Курсовая работа

по теме "Решение краевых задач в среде виртуальной

гибридной машины"

Харьков – 2008


ВВЕДЕНИЕ

В своем развитии вычислительные средства, рожденные удивительными идеями подобия физических процессов различной природы, прошли множество оригинальных технических реализаций. Опыт развития показывает, что жизнь технических решений в своем материальном воплощении недолговечна. Появляются новые материалы, технологии, физические среды и процессы. На их основе реализуются технические устройства для успешного применения зарекомендовавших себя методик исследований и вычислений.

Так, благодаря интенсивному развитию цифровой вычислительной техники и сверхмикроминиатюризации электронных элементов, узлов и блоков, “Аналоговые вычислительные машины” расширили свои вычислительные и функциональные возможности, превратившись в гибридные вычислительные системы моделирования, тренажерные комплексы и специализированную периферию. Время проведения исследований динамических объектов уменьшилось на порядки, стало возможным выполнять одновременно оперативную обработку и соответствующее документирование результатов.

В настоящее время в аппаратной среде цифровых машин можно реализовать программную модель универсальной гибридной (аналого-цифровой) вычислительной машины, в которой операционные блоки будут функционировать в квазипараллельном режиме (в режиме разделения времени). Такую модель удобно создавать с помощью профессиональных пакетов моделирования электронных аналоговых и цифровых схем, снабженных развитым графическим интерфейсом пользователя.

Используя макроопределения для схем операционных блоков и снабжая их соответствующими графическими обозначениями, можно сформировать весь набор операционных блоков, необходимый для представления математических моделей реальных объектов.

Положительные достоинства работы с псевдооборудованием гибридного вычислительного комплекса состоит в том, что в его среде можно моделировать объекты любой физической природы, лишь бы их можно было описать адекватными математическими моделями. При этом используется отработанная десятилетиями процедура программирования аналоговых устройств и естественное умение разработчика взаимодействовать с объектом, который им же описан математически.

В прошлом программирование аналоговых ЭВМ происходило методом переключения перемычек на коммутационной панели ЭВМ. Это было неудобно и связано с риском поражения электрическим током (напряжением до 100 В). Чтобы просмотреть результаты моделирования или выполнить замеры, необходимо было подключать осциллограф - для анализа переходных процессов, или стрелочные приборы - для анализа установившихся состояний.

Работа в среде виртуальной гибридной вычислительной машины упростила составление схем устройств, повысила наглядность экспериментов, уменьшила риск поражения электрическим током. Результаты моделирования можно просматривать на экране монитора и распечатывать на принтере.

В данном расчетно-графическом задании виртуальная гибридная вычислительная машина будет использована в качестве вычислительного инструмента для решения краевых задач методами математического и аналогового моделирования, с целью демонстрации возможностей аналоговых устройств для исследования физических объектов, описанных уравнениями математической физики в обыкновенных и частных производных.


1 АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1.1 Анализ задания и постановка задачи исследования

В задании на выполнение расчетно-графического задания приведено краткое описание исходных данных следующего содержания:

Провести исследование конечно-разностных методов решения краевых задач путем моделирования в среде пакета Micro-Cap V. Оценить эффективность и сравнительную точность получения решений методом математического моделирования, аналогового моделирования и численными расчетами. Здесь, во-первых, четко указан класс задач, для которого необходимо разработать методику решения и исследования. Это класс краевых задач, к которым относятся дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных с условиями, заданными на границе области решения. Во-вторых, названа моделирующая среда, в которой должна функционировать виртуальная аналоговая вычислительная машина. Это профессиональный пакет схемотехнического моделирования электронных схем Micro-Cap V. И, в-третьих, с целью сопоставления результатов решения, рекомендуется применить различные методы, из которых названы три: метод математического моделирования, метод вычислений по аналогии и метод традиционных численных расчетов.

В связи со сказанным, мне необходимо проанализировать наиболее распространенные методы решения краевых задач в обыкновенных производных, выбрать из них удобный для применения в виртуальной гибридной среде и подобрать для демонстрации контрольные задачи. Аналогичную работу необходимо провести с краевыми задачами в частных производных. Описать методику конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений и привести алгоритмы или последовательность ее выполнения.

В результате рассмотрения существующих методов решения составить математические модели краевых задач, подобрав в качестве исходных уравнений такие, для которых, с целью контроля, несложно получить и аналитические решения.

1.2 Методы решения задач в частных производных

Среди дифференциальных уравнений в частных производных можно выделить уравнения, описывающие стационарные распределения в заданной области некоторой физической величины, и уравнения, описывающие изменение во времени распределенной в заданной области физической величины. Признаком, разделяющим уравнения на эти два подмножества, является присутствие в уравнении частной производной по времени. Принципиальное различие пространственной и временной независимых переменных состоит в том, что в отличие от однонаправленного изменения реального времени ортогональные пространственные переменные могут изменяться независимо друг от друга в обоих направлениях.

Ядром наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений в частных производных служит уравнение Лапласа

,

где (набла в квадрате) - оператор Лапласа, который в двумерной декартовой системе координат имеет вид

.


Это уравнение описывает стационарное поле некоторой физической величины и относится к уравнениям эллиптического, гиперболического или параболического типа в зависимости от значения определителя дифференциальной формы второй степени

, для которой соответственно ,

где - в общем случае функции координат и потенциала u.

К нестационарным уравнениям параболического и гиперболического типов относятся соответственно уравнение теплопроводности с параметрами-функциями s и S

и уравнения волновое и бигармоническое с параметром С

и

Названные уравнения представлены в канонической форме, которая включает безразмерные относительные переменные, обычно приводимые к диапазонам изменения [0,1] и [-1,1]. Размерности слагаемых согласуются посредством параметров уравнения.

Основным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных является аппроксимация уравнения системой алгебраических уравнений или системой дифференциальных уравнений. Эти два вида аппроксимаций в литературе получили название метод сеток и метод прямых.

Метод сеток реализуется в том случае, когда частные производные, входящие в уравнение, заменяются в каждой точке заданной области конечно-разностными выражениями, полученными из значений искомого решения в окружающих точках. Количество уравнений в системе связано с шагом дискретизации временной и пространственных переменных и формой границы области решения. Число точек, попавших внутрь области решения, определяет число неизвестных и уравнений.

Метод прямых относится к случаю, когда одна из независимых переменных является временем (случай нестационарных задач) или когда одну из пространственных переменных (случай стационарных задач) пропорционально связывают со временем. Частные производные от независимых переменных, не связанных с временем, аппроксимируют конечными разностями. В результате, оставшиеся дискретными независимые переменные сочетанием своих значений определяют общее число дифференциальных уравнений, которые в общем случае являются краевыми.

Аппроксимирующие дифференциальные уравнения с краевыми условиями невозможно интегрировать как систему уравнений Коши. Линейная система краевых задач многократно решается с частными начальными условиями и по результатам решений краевые условия пересчитываются в начальные. Нелинейной системе для приближенного вычисления начальных условий потребуются итерационные процедуры, рассмотренные выше.

Математические модели, сформированные по методам сеток и прямых, могут быть решены методом математического моделирования с применением аналоговых или псевдо аналоговых операционных блоков, а также методом аналогий.

Метод аналогий (аналоговое моделирование) заключается в том, что для каждого уравнения математической модели подбирается физический объект, переменные состояния которого связаны таким же уравнением. В подавляющем большинстве случаев в качестве аналоговых объектов используются схемы с электрическими и электронными компонентами. Особенно простыми аналогами уравнений математических моделей являются уравнения электрических схем, полученные на основании законов Ома и Кирхгофа.

Итак, все рассмотренные методы используют конечно-разностную аппроксимацию, к рассмотрению которой мы переходим.

1.3 Конечные разности и аппроксимация производных

1.3.1 Определение конечных разностей

Конечная разность "вперед" для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением: , где функция задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:

f(x) = f(x+h) - f(x)

Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i : .

Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением


Линейность конечно-разностного оператора позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+) и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как

и т.п.,

где должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности k-го порядка .

Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1) :

g(i+1) = Eg(i) = (1+)g(i)= g(i) + g(i).

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить значение ординаты функции g(i) в точке (i+n) через конечные разности различных порядков:

где - число сочетаний из n элементов по k ;

-

многочлен степени k от целой переменной n (), имеющий k сомножителей. При k=n .

Относительно начала координат (i=0 - начало таблицы) функция целочисленной переменной g(n) представляется разложением по многочленам различных степеней от 0 до n. Для больших степеней конечные разности равны нулю.

С другой стороны, так как , то

Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.

1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:

где - оператор дифференцирования,

- оператор сдвига, выраженный через оператор p .

h- шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и , можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:

,

Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:

Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:

.

Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:

.


Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и :

.

Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:


После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:

.

Коэффициенты минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.

1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.

Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам

y(0)

y(1)

y(2)

y’(0)

-3

4

-1

2

y’(1)

-1

0

1

-1

y’(2)

1

-4

3

2

Таблица 2 - Аппроксимация второй производной по трем точкам

1

-2

1

-12, 2

1

-2

1

0, -1

1

-2

1

12, -2


Таблица 3 - Аппроксимация первой производной по пяти точкам

-25

48

-36

16

-3

12

-3

-10

18

-6

1

-3

1

-8

0

8

-1

2

-1

6

-18

10

3

-3

3

-16

36

-48

25

12

Таблица 4 - Аппроксимация второй производной по пяти точкам

35

-104

114

-56

11

-150, 12

11

-20

6

4

-1

15, -3

-1

16

-30

16

-1

0, 2

-1

4

6

-20

11

15, 3

11

-56

114

-104

35

150, -12

Чтобы получить конечно-разностную модель дифференциального уравнения, необходимо сначала интервал или область решения разделить с постоянным шагом по осям координат на требуемое число подинтервалов и для каждой внутренней точки подставить аппроксимирующие выражения в заданное уравнение. После приведения подобных членов в каждом уравнении, получится система алгебраических уравнений при полной дискретизации всех независимых переменных или система дифференциальных уравнений - при неполной дискретизации. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Поэтому аппроксимирующие, выражения производных из таблиц 1-4 для точек у левой границы интервала берутся из верхних строчек, а для точек у правой границы - из нижних строчек.


2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

В качестве демонстрационной краевой нестационарной задачи возьмем задачу теплопроводности с непрерывным временем. На этой задаче удобно показывать как динамику нагрева объекта, так и установившееся распределение температурного поля.

2.1 Задача теплопроводности с непрерывным временем

Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:

,

которое описывает изменение температуры вдоль металлического стержня длиной в 1 метр (), вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами

и .

Начальное распределение температуры по длине будем задавать для внутренних точек как

.

Единичную длину стержня разобьем на 8 равных частей


()

и обозначим изменяющееся значение температуры в каждой точке через .

2.2 Вариант аппроксимации дифференциальными уравнениями

Применим трех точечную аппроксимацию частной производной второго порядка, воспользовавшись таблицей 2 из раздела 1.4. Для внутренних точек и для приграничных точек коэффициенты в аппроксимирующем выражении второй производной оказываются одинаковыми. Это позволяет для каждой внутренней точки, размеченного на 8 частей стержня, записать следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно скорости изменения температур в каждой точке:

Для получения числовых значений зададим конкретные величины. Так коэффициент В для теплоизолированного по боковой поверхности алюминиевого стержня равен теплопроводности этого материала, т.е. l=200 вт/(м×К).

Удвоенный квадрат шага по длине стержня равен 2´0.1252 =0.03125 м2 .

Вместо температуры введем относительную переменную, разделив левую и правую части на 100°:

.

Если все коэффициенты перенести в правую часть и, вычислить, записав результат перед скобками, то система уравнений примет окончательный вид:

В полученной системе j 0 =1, а j 8 =0.

В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями «вперед», что в цифровой моделирующей среде может случиться и при непрерывном времени, соотношение между шагом по временной переменной и по пространственной должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении этого условия решение может оказаться численно неустойчивым.


2.3 Программирование для математического моделирования

Полученная в пункте 2.2 система дифференциальных уравнений, благодаря представлению искомых переменных в относительном виде, при максимальных напряжениях на выходах операционных блоков в 1 вольт и масштабных множителях, равных единице, специального расчета коэффициентов передач не требует. Коэффициенты по входам сумматоров будут такими же, как в уравнениях.


Схема соединения операционных блоков для этой задачи показана на рисунке 1.

Рисунок 1

2.4 Программирование задачи для метода аналогий

Если в окончательной системе дифференциальных уравнений, полученных в п. 4.2, каждое уравнение преобразовать по Лапласу и разрешить относительно переменной с индексом переменной в правой части, то получится система следующего вида:


,

где - ранее вычисленный коэффициент;

p - комплексный параметр, вызванный применением преобразования Лапласа к производной.

Рисунок 2

Аналогичное выражение получается для напряжений в пассивной электрической цепи, показанной на рисунке 2, если для входных и выходных напряжений использовать одинаковую индексацию.

Зависимость напряжения на внутреннем узле по отношению к общему проводу будет:

.

Если положить равными и , то достаточно при емкости С=1 мкФ выбрать сопротивление R=160 кОм. В этом случае a=6.25 1/с.

Соединив такие ячейки (аналоги дифференциальных уравнений системы) в последовательную электрическую цепь, мы получаем аналоговую модель дифференциального уравнения теплопроводности, которая изображена на рисунке 3.



Рисунок 3

2.5 Моделирование и численное решение задачи

2.5.1 Решение задачи методом моделирования


Рисунок 4

Таблица 5.-Численное представление результатов моделирования


2.5.1 Решение задачи методом аналогий


Рисунок 5

Выводы

Рисунки 4 и 5, представляющие решение задачи теплопроводности двумя методами, оказались практически идентичными. Затраты на подготовку к моделированию в среде виртуальной гибридной вычислительной машины свелись к построению схем соединения операционных блоков и заданию их параметров. Самой громоздкой частью процесса решения задачи в частных производных, независимо от применяемых вычислительных средств, является построение аппроксимирующей математической модели.

Таким образом, использованию пакета схемотехнического моделирования и созданной в его среде виртуальной гибридной машине альтернативы, на наш взгляд, нет. По крайней мере, это справедливо для задач с числом уравнений до ста. Наибольшим достоинством такого решения состоит в наглядности, оперативности и точности получаемых результатов.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:40:53 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
19:48:21 28 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150538)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru