Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Учебное пособие: Разностные схемы для уравнений параболического типа

Название: Разностные схемы для уравнений параболического типа
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Добавлен 19:35:56 25 июня 2009 Похожие работы
Просмотров: 208 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

, , , (3.5)

с условием на прямойt = 0

, . (3.6)

Требуется найти функцию , которая при и удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение , непрерывное вместе со своими производными

, i = 1, 2 и , k = 1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положить

Будем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае

,

Г − объединение прямыхt= t=T .

Выберем прямоугольную сетку и заменим область сеточной областью . К области отнесем совокупность узлов , где

, , ,

, , , .

Заменим задачу разностной схемой вида . Обозначим через точное значение решения задачи в узле , а через – соответствующее приближенное решение. Имеем

Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

, (3.7)

, (3.8)

, (3.9)

(3.10)

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи в узле , разностной схемой ,шаблоном . Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

(3.11)

Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили

.

Введем обозначение

(3.12)

Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи :

, (3.13)

где разностный оператор определяется по правилу

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

, (3.14)

где


На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать

,

где

Аналогично, используя(3.11),(3.10),(3.14), получим

,

.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

.

Нормув определим правилом


Пусть , где r и s – некоторые положительные числа.

Предположим, что для и верны оценки

, .

Тогда легко получить

, (3.15)

. (3.16)

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S = 2, а в случае схемы (3.14) можно взятьS = 1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу с погрешностью порядка S относительно h .

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям вычислить значения на первом слое . Для этого достаточно в (3.13) положить n = 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям можно аналогично при n = 1 вычислить значения и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной .

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений , в правой части будут значения известной функции и . Для вычисления значений на первом слое в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной .

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве по правилу

.

Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r , возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

,

имеет место оценка ,

гдеМ – постоянная, не зависящая от и и .

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу в виде

, , (3.17)

.

Пусть выполнено условие

или . (3.18)

Тогда из (3.17) получим:

,

или

. (3.19)

Неравенство (3.19) означает, что при , не превосходит ,тоесть невозрастает с увеличением n .

Это свойство однородной разностной схемы принято называтьпринципом максимума . Положим в (3.19) . Это даст


,

,

.

Заметим, что есть число, независящее от m и n . Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что , получим

(3.20)

где обозначено

На основании (3.20) можно записать

или .

Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на и h , устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

. (3.21)

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

и перепишем ее в виде

(3.22)

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения на первом временном слое со значениями на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n = 0 , получим:


(3.23)

Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x , на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть , а на прямых x = a и x = b дополнительно заданы некоторые ограничения на решение , то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях .

Если, например, на отрезках прямых x = a и x = b , заданы условия , , то вид системы (3.23) существенно изменится:

(3.24)

Формулы (3.24) представляют собой систему M + 1 алгебраических уравнений относительно . Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение . Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка и устойчива при . Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка .

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:58 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:50:07 25 ноября 2015

Работы, похожие на Учебное пособие: Разностные схемы для уравнений параболического типа

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151454)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru