Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Шпаргалка: Основные понятия математического анализа

Название: Основные понятия математического анализа
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Добавлен 17:48:56 26 августа 2009 Похожие работы
Просмотров: 2914 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

1. Определение неопред . интеграла . Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии . Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (∫ f ( x ) dx ) . Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx

5. Выр. ∫ dF ( x ) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулойF(x)+C, С=const.

Док-во: F ( x )+ C – первообр, тогда ( F ( x )+ C )’= F ’( x )+ C ’= F ’( x )= f ( x ) Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

6. Если k - const , ненулевое число, то ∫ kf ( x ) dx = k f ( x ) dxk можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). -k∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ∫ f ( x ) dx = F ( x )+ C , то и ∫ f ( u ) du = F ( u )+ C , u =φ( x ) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dxy=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)dudF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d (∫ f ( x ) dx )= f ( x ) dx - Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[ f ( x g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx –неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ийвотдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразныедляф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка).Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= Fx ’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C,Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, =>получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt.

Дарбу : Mn =sup (f(x)); mn =inf (f(x)), xÎ(xi-1 ; xi ) Sρ =å Mn∆ xi – верхний; Sρ =å mn xi - нижний; СВ - ВА :

1, "верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек0=< Sρ -I<e -для верх и ниж - Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) -u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. -, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d ( uv )= udv + vdu ;∫ d ( uv )= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn (x)=an xn + an -1 xn -1 +…+ a1 x1 +a0, n – натуральное число. ai , i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= Pm (x)/ Qn (x), Pm (x)-мн-eн степени m, Qn (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2 +px+q) x2 +px+q=0, D<0

4) ( Mx + n )/( x 2 + px + q ) k k >=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Qn ( x ) прав-ой рацион дроби, т.е. Qn ( x )=(х-а) k Õ n - k ( x ) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm (x)/Qn (x)=A/(х-а)k +Rs(x)/(х-а)k -1 Õn - k (x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: Pm (x)/Qn (x)=[A Õn - k (x)+ Pm (x)-AQn - k (x)]/[(х-а)k Õn - k (x)]=[ A Õn - k (x)]/ [(х-а)k Õn - k (x)]+[ Pm (x)-AQn - k (x)]/ [(х-а)k Õn - k (x)]=A/(х-а)k +[Pm (x)-AQn - k (x)]/ [(х-а)k Õn - k (x)], для каждого А. х=а – корень ура-я Pm (x)- A Õn - k (x)=0; Pm (а)- A Õn - k (а)=0; Pm (а)≠0 и A Õn - k (а)≠0; A= Pm (а)/A Õn - k (а); Pm (x)- A Õn - k (x)=(x-a) Rs(x); Pm (x)/Qn (x)= A/(х-а)k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õn - k (x)]= A/(х-а)k + Rs(x)/[(х-а)k -1 Õn - k (x)]; A= Pm (а)/Õn -1 (а).

1 4 . Если Qn ( x )= ( x 2 + px + q )µ Т n ( x ), где p 2 -4 q <0, Т n ( x ) мн-ен не делится на x 2 + px + q , то правильную рацион дробь Pm ( x )/ Qn ( x ) можно представить в виде суммы 2 правильных: Pm (x)/Qn (x) =(Mx+N)/ (x2 +px+q)µ +Фs(x)/[ (x2 +px+q)µ-1 . Тn (x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: Pm (x)/Qn (x) =[(Mx+N) Тn (x)+ Pm (x)-(Mx+N) Тn (x)]//(x2 +px+q)µ Тn (x)]= (Mx+N)/(x2 +px+q)µ + [Pm (x)-(Mx +N) Тn (x)]/[ (x2 +px+q)µ Тn (x)] для люб µ и N. x2 +px+q=0, D<0, x12 =α±iβ, µ и N: Pm (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*Tn (α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ Pm (α+iβ)] /[ Tn (α+iβ)]=k + il . Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/bPm (x)/Qn (x)=(Mx+N)/(x2 +px+q)µ s ( x )/[ ( x 2 + px + q )µ-1 Т n ( x )] конечному пределу при ранге разбиения - 0.

1 5 . Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)r (x-b)s …(x2 +2px+q)t (x2 +2ux+v)z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2 +…. An/(x-a)n +…. (M1x+N1) / (x2 +2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2 +2px+q)2 +…+(Mkx+Nk)/(x2 +2px+q)k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа

1 6 . Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn (x)=an xn + an -1 xn -1 ++ a1 x1 +a0, n– натуральное число. ai , i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов:f(x)= Pm (x)/ Qn (x), Pm (x)-мн-eн степени m, Qn (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a) 2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2 +px+q) x2 +px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x2 +px+q)k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена)sinx=2t/(1+t2 ) cosx=(1-t2 )/ /(1+t2 )dx=2/(1+t2 )dt;∫R(2t/(1+t2 ), (1-t2 )/ /(1+t2 )) 2/(1+t2 )dt=∫Ř(t)dt

2) ∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3) ∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2 )|= ∫R(t)dt/(1+t2 )5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2 )| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin m x cos n xdx

a)m=2k+1 ∫sin 2k x cos n x sinxdx=∫(1-cos 2 x)k cos n x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t 2 )k t n dt

b)n=2k+1 ∫sin m x cos 2k x cosxdx= ∫sin m x (1-sin 2 x)k dsinx

7) ∫sin 2p x cos 2a xdx sin2 x=(1-cos2x)/2

cos2 x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ n=-ν замена t=tgx

1/ sin2 x=1+ ctg2 x 1/ cos2 x=1+tg2 x

9) ∫tgm xdx; ∫ctgm xdx, m-целое >0ое tg2 x=1/ cos2 x-1

сtg2 x=1/ sin2 x-1

10) ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdxsinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения - 0.

ax2 +bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b2 )/(4a2 ) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk =>

ax+b= cx tk + dtk =>x=…; dx=(…)dt

Заменапеременной: ∫f(x)dx=|x=φ(t); t=g(x); dx= φ’(t)dt|=∫f(φ(t)) φ’(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C

интегрир по частям: ∫udv=uv-∫vdu

∫xsinxdx=|u=x; du=dx; dv=sinxdx; v= -cosx|=-xcosx-∫-cosxdx= -xcosx+sinx.

Ф-цию вида R(x,m Ö(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=m Ö(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm = (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm )/(ctm -a) –рацион ф-ция от t; dx=(mtm -1 (ad-bc)dt)/(ctm -a)²ÞòR(x,m Ö(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dtm )/ (ctm -a),t) (mtm -1 (ad-bc)dt)/(ctm -a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖaÞax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рацион функ-ция от t Ч.Т.Д;Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st (f,x1,…,xit)= åI =1 i x f(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a òb f(x)dx Если "E>0 $dE =d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1 i t f(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=lim s t | t | ® 0 . {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj 0-1 ,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xn j o }>0 | limn ® ¥ f(xn jo )=¥ Рассмотрим сумму stI =1 i t f(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI =1 i t f(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jolimst (f,x1,…,x0 n ,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥m>0 существует n0 | st (f,x1,…,xjo ( n ) ,…,xi t )>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $I=lim| t | ® 0 st Þ"E>0 $dE >0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |dt -I|<EÞ|dt |=|dt -I+I|<|dt -I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xi t такие, что |st |>MÞф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.Ф-ла Ньтона-Лейбница a òb f(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|а b –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)=a òx f(t)dtтогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $F(x)=Ф(х)+С; a òx f(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то a òа f(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þa òx f(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18.Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов.Признак Вейерштрасса.Ф-циональную посл-сть {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для " т х ÎE и "n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn-f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) -f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся – есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где a >=0 сх-ся и для "xÎE и "n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, "n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) -S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0 +a1 x+a2 x2 +… + an xn = (1) xÎR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0 +a1 (x-x0)+a2 (x-x0)2 … + an (x-x0)n = (2)Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для " х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти.Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R=0.Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный): , то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r,r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.

На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сх-ся при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn (x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е "xÎU(x0) |f( n ) (x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции ех ряд Маклорена. радиус сх-ти: R=¥ следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f(x) = (1+x)a наз. биномиальный ряд с показ-ем a.

Разложение ф-ции ln(1+x)

сх-ся при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сх-ся при -1<=x<=1.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:51 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
20:54:05 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:50:04 25 ноября 2015

Работы, похожие на Шпаргалка: Основные понятия математического анализа
Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)
1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n ...
27 Если y=f(u) и u=ѭ(x) - дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной ...
=f(x)dx==f(ѭ(t))-ѭ`(t)dt = x=ѭ(t)
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Просмотров: 45649 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпоры по математическому анализу
Производные и дифференциалы высших порядков Опр-ие: производной n-го порядка (n 2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от ...
2. Вычисляются нули функции y=f(x), т.е. значения х1, x2., при которых f(x1)=0, f(x2)=0.Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить ...
Пусть =f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство =f[ѭ(t)]ѭ'(t)dt = F[ѭ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 980 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Экзаменационная программа По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116. 1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn ...
С помощью замены t=m (ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) -рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a) R(x,m (ax+b)/(cx+d))dx= R((b ...
По теор Ньютона-Лейбница : aтbf(x)dx =F(b)-F(a); aтbf( (t)) "(t)dt =F( ( ))-F( ( ))=F(b)-F(a)= aтbf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1453 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
Тогда du = dx/(x2+1), v=x, откуда o arctg x dx = x arctg x - o x dx/(x2+1) = x arctg x + 1/2 ln(x2+1) +C; так как o x dx/(x2+1) = 1/2 o d(x2+1)/(x2+1) = 1/2 ln(x2+1) +C.
Обозначим u = ex, dv = sin x dx, тогда du = ex dx, v=o sin x dx= - cos x Ѭ o ex sin x dx = - ex cos x + o ex cos x dx.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Математический анализ
1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Множество - совокупность некоторых объектов Элементы множества - объекты ...
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=> Е>0 >0 х",х": |х"-х"|< =>|f(x")-f(x")| Е. Возьмем =1/к, к N хK, х"K [a,b]: |хK-х"K|<1/к |f(xK)-f(x"K)| E
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у"(х) и х"(t) то существует производная у"(t)=у"(х)*х"(t) и ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 746 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
ni(x), fi(x), gi(x)ЄP[x], i=1,2,.k. 7. Если n(x), f(x), g(x)ЄP[x] и n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из Р[х] явл-ся делителями Ґf(x)ЄP[x]. 9. Мн-ны cf ...
Н-р, 1)f(x)=x2-2 неприводим над полем Q, но приводим над полем R. 2) f(x)=x2+1 неприводим над R, приводим над C. 3)ѭ(x)=x+1 непривд-м ни над одним числовым полем.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3490 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Гимназия №1 города Полярные Зори Алгебра, геометрия, физика. Научная работа ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ ...
Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением =u, и dy надо вычислять по формуле;
d[(M+ t)u]/dt = F
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3754 Комментариев: 5 Похожие работы
Оценило: 8 человек Средний балл: 2 Оценка: 2     Скачать

Все работы, похожие на Шпаргалка: Основные понятия математического анализа (6076)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150627)
Комментарии (1838)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru