Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Название: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 01:58:32 20 августа 2009 Похожие работы
Просмотров: 119 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-32

Лукьянович А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1. Характеристические показатели Ляпунова

2. Теорема Ляпунова. Спектр системы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В данной курсовой работе рассматривается линейная стационарная система.

Линейной стационарной системой называется система вида

где − постоянная матрица, .

Общее решение линейной стационарной системы имеет вид

где - постоянный вектор,

) - фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в виде матрицы), то есть матрица, состоящая из n линейно независимых ее решений

Цель курсовой работы - найти спектр этой системы.

Множество всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы называется ее спектром.

Таким образом, главная задача курсовой работы - найти различные характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы.

1. Характеристические показатели Ляпунова

Рассмотрим следующую линейную стационарную систему

(1).

Найдем общее решение этой системы. Для этого решим ее методом исключения.

Продифференцировав первое уравнение системы (1) и пользуясь вторым, получим

Или

(2).

Решим полученное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (2). Для этого составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

λλ=0

λ=i

λ=-i

Так как характеристическое уравнение имеет два сопряженных корня λ=i и λ=-i, то общее решение линейного уравнения (2) имеет вид

y=ccos t +csin t.

Подставим значение y в первое уравнение системы (1), получим

z=-csin t +ccos t.

Тогда общее решение системы (1) имеет вид

.

Составим фундаментальную систему решений системы (1).

Определение1 [2,c.482]. Фундаментальной системой решений в интервале (a,b) называется совокупность n решений однородной системы, определенных и линейно независимых в этом интервале.

Положим c=1,c=0. Подставим значения cи cв общее решение системы. Получим

.

Пусть теперь c=0,c=1. Тогда получим

.

Эти решения системы (1) запишем в виде матрицы


.

Покажем, что найденные решения составляют фундаментальную систему решений.

Для этого воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 1 [2, c.480]. Если n решений линейной однородной системы линейно независимы в интервале (a,b), то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Составим и вычислим вронскиан решений системы (1):

≠ 0.

Итак, вронскиан решений системы (1) не обращается в нуль ни в одной точке интервала (−∞; + ∞), значит, найденные решения системы (1) являются линейно независимыми в интервале (−∞; + ∞) (по теореме1) и составляют фундаментальную систему решений (по определению1).

Вычислим характеристические показатели матриц x и x. Приведем определение характеристического показателя.

Определение2 [1,c.125]. Число (или символ −∞ или + ∞), определяемое формулой

называется характеристическим показателем Ляпунова.

Лемма [1, c.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы F (t) совпадает с характеристическим показателем ее нормы.

Согласно леммы и определения1 характеристические показатели матриц X и Xбудем вычислять по следующей формуле

(3).

Вычислим нормы матриц x и x.

Определение3 [1,c. 20]. Нормой матрицы А= [a] называется неотрицательное число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) и обратно, если то A=0;

2) где любое комплексное число;

3) где A,B-любые матрицы, допускающие сложение;

4) где A,B-любые матрицы, допускающие умножение;

Норма имеет следующие значения:

Для вектор-столбца

эти нормы имеют соответственно, следующие значения:

(4).

При вычислении норм матриц x и xвоспользуемся формулой (4).

Тогда по формуле (3) имеем

λ= =.

λ= =.

2. Теорема Ляпунова. Спектр системы

Выясним, является ли фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) нормальной фундаментальной системой. Для этого воспользуемся следующей теоремой и определением4.

Теорема Ляпунова (о нормальности фундаментальной системы) [1,c.142]. Фундаментальная система линейной системы является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Определение4 [1,c.142]. Система ненулевых векторов функций обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их комбинации

где− постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть имеем

Возьмем произвольную линейную комбинацию векторов

x и x.

Y=где −постоянны и (5).

Произведем арифметические действия над векторами x и x. Тогда равенство (5) примет вид

(6).

Вычислим характеристический показатель линейной комбинации векторов (6).

Тогда по формуле (3) имеем

Итак, характеристический показатель линейной комбинации векторов совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений x и x, значит, система векторов x и xобладает свойством несжимаемости (по определению4) Следовательно, фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) является нормальной фундаментальной системой (по теореме Ляпунова).

Найдем спектр системы (1).

Воспользуемся определением и следствием из теоремы Ляпунова.

Определение5 [1,c.137]. Спектром называется множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от −∞ и +∞) решений дифференциальной системы.

Следствие [1,c.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Согласно определения5 и следствия из теоремы Ляпунова спектр стационарной системы (1) равен

Заключение

Таким образом, в процессе исследования линейной стационарной системы мы выяснили, что ее фундаментальная система решений является нормальной фундаментальной системой; нормальная фундаментальная система решений реализует весь спектр дифференциальной системы; спектр рассмотренной линейной стационарной системы равен.

Список использованной литературы

1. Б.П. Демидович "Лекции по математической теории устойчивости"-М.: Наука, 1967г., 465 c.

2. Н.М. Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений"-М.: Высшая школа, 1967г., 564 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:41 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
13:06:51 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:59 25 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150314)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru