Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Дипломная работа: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Название: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Добавлен 12:29:05 31 мая 2008 Похожие работы
Просмотров: 310 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Содержание

Введение 3

Основные понятия и определения 4

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7

§1. Свойства НОД и НОК_ 7

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15

Библиографический список 19

Введение

В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R .

Как известно, различные подалгебры множества R + (например, полугруппа N ) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S R + , обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*) (a < b );

(**) (0<a < b ).

Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х , называемых открытыми , удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

3) и ÆÎt.

Тогда называется топологическим пространством , t – топологией на Х .

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами .

Определение 3. Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х 1 топологию t1 . Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х 1 .

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R + эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R + Ç (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х 1 называется плотным подпространством пространства Х , если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х 1 .

Очевидно, Х 1 плотно в Х , если каждая точка подпространства Х 1 является предельной точкой множества Х .

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми .

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ.

Определение 8. Множество Х 1 в топологическом пространстве Х называется связным , если оно связно как топологическое подпространство пространства Х .

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9 . Топологическое пространство называется нульмерным , если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10 . Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой , если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .

Определение 11 . Элемент bS называется делителем элемента а S , если для некоторого . При этом говорят, что делится на , или делит (|).

Определение 12 . Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД .

Определение 13 . Элемент S называется кратным элементу S , если a делится на b .

Определение 14 . Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК .

Определение 15 . Полугруппа S называется НОД -полугруппой (НОК -полугруппой ), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16 . Элемент из S называется неприводимым , если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .

Определение 17 . Элемент из S называется простым , если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18 . Полугруппа S называется топологической полугруппой , если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

1) áS , ×ñ– полугруппа;

2) S топологическое пространство;

3) полугрупповая операция × непрерывна в S :

.

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

§1. Свойства НОД и НОК

Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми , или коническими .

Элементы и из S называются взаимно простыми , если НОД (,)=1.

Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.

Свойства делимости в целых полугруппах

(1) ;

(2) рефлексивность ;

(3) антисимметричность ;

(4) транзитивность ;

(5) ;

(6) ;

(7) Любой простой элемент неприводим ;

(8) р неприводим Û;

Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.

Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и b из S . Пусть (a ,b ) и (a ,b ). Тогда из определения НОД следует и . По свойству антисимметричности имеем .

Свойство 2. .

Доказательство. Импликации и очевидны. Пусть , т.е. для некоторого . Очевидно, b – общий делитель а и b . Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b . Для него существуют такой элемент , что и . Таким образом, с делит b . Это и означает, что . Аналогично доказывается .

Следствие 1. .

Следствие 2. и .

Свойство 3. и .

Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.

Свойство 4. .

Доказательство. Обозначим d 1 =НОД (НОД (a , b ), c ). Так как d 1 является общим делителем НОД (a , bc , то d 1 – общий делитель и для элементов a , b и c . Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД (a , bc . Аналогичным свойством обладает и элемент d 2 =НОД (a , (НОД (b , c )). Тогда элементы d 1 и d 2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d 1 =d 2 .

Свойство 5. .

Доказательство. Обозначим k 1 =НОК (НОК (a , b ), c ). Так как k 1 является общим кратным элементов НОК (a , bc , то k 1 – общее кратное и для элементов a , b и c . Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК (a , bc . Аналогичным свойством обладает и элемент k 2 =НОК (НОК (a , b ), c ). Тогда элементы k 1 и k 2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k 1 =k 2 .

Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.

Доказательство. По условию НОД (a , b )= d ¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b .

Свойство 7. = .

Доказательство. Обозначим d =НОД (a , b ). По свойству (6) делимости элемент с d делит любой общий делитель элементов ас и b с , следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 8. Если , то .

Доказательство. Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов а и b и . Тогда по свойству (6) делимости элемент делит любой общий делитель элементов , следовательно, является их НОД. Свойство доказано.

Свойство 9. Если и , то .

Доказательство. Пусть НОД и НОД (а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а . Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а , что и означает, что .

Свойство 10. Если , то для любых N .

Доказательство. Докажем, что методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что для всех k < m . Покажем, что при k = m. по свойству (10) для с = b . Отсюда, для всех N . по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем для любого N . Следовательно, .

Свойство 11. Если , то для любого .

Доказательство. Пусть , тогда а = sd и c = td для некоторых s,tS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку , то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно, . Свойство доказано.

Свойство 12. Существование НОК (a , b ) влечет существование НОД (a , b ) и равенство НОД (a , b ) НОК (a , b ) = ab .

Доказательство. Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то и равенство справедливо. Пусть элементы и ненулевые и . Поскольку - общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то - общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий делитель элементов и . Пусть - произвольный общий делитель чисел и , т.е. и для некоторых . Поскольку - общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД ().

Предложение 1 . Полугруппа является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда есть НОД-полугруппа.

Доказательство . По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные . Если хотя бы одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным элементов и . Осталось показать, что на делится любое общее кратное и . Возьмем произвольное общее кратное элементов и , т. е. для некоторых . Тогда , т.е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т.е. .

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп

Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R + и мультипликативную полугруппуS R + , содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой.

Лемма 1 . Если S связно, то S = или S = R + .

Доказательство. Пусть S связное множество в R + . Тогда S является промежутком. Поскольку и , то . Если в S нет элемента c > 1, то . В противном случае числа (N ) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то для всех N . Отсюда R + .

Лемма 2. Если несвязно, то .

Доказательство. Предположим, что .Тогда в силу несвязности существуют такие числа , что и . Так как , то . Тогда . Полученное противоречие завершает доказательство.

Лемма 3. Если , то или =R + .

Доказательство. Очевидно, - полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:

1) (0,с )S для любого ,

2) если , то и для любого .

Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S , то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS ¹Æ.Предположим, что (0,c )S для некоторого . Не теряя общности, будем считать, что . Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s [0, 1]\S . Возьмем в S ненулевой элемент и положим b =asS . Пусть d =НОД (a , b ). Поскольку 0<s <1, то sn 0 при n . Тогда sN < c для некоторого натурального N , и, значит, sN S . По свойству 8, пункт (3), НОД (a / d , b / d )=1. Поскольку b / d :a / d =s S , то элемент a / d необратим в S . Очевидно, необратимым является и (a / d )N . По свойству 11, пункт (5), имеем НОД ((a / d )N , (b / d )N )=1. Из (b / d )N :((a / d )N =sN S следует, что НОД ((a / d )N , (b / d )N )=(a / d )N . Значит, элемент (a / d )N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с )S для любого .

2) Если , то заключение справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3 существует s . Предположим, что для некоторого с >1. Возьмем в S элемент и положим b =asS . Поскольку s > 1, то sn +¥ при n . Следовательно, sN >c для некоторого натурального N , и, значит, sN S . Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: для любого.

Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и , то S нульмерно.

Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале , где , есть точки, не принадлежащие S . Доказывая от противного, предположим, что [a ,b ]S для некоторых . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть 0<a <. Докажем, что найдется n 0 N , для которого ab . В самом деле, допуская, что b < a для всех n N и, переходя в неравенстве b < a к пределу при n , получили бы b a < b . Откуда b > a для всех натуральных n > n 0 . Тогда что невозможно по лемме 4.

Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с > a , чтобы 1<c <b . Рассуждая, как и в случае 1, получаем cb для некоторого n 0 N . Тогда что также невозможно по лемме 4.

Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и . Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U , что . Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a иb , что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U . Пусть левее s в интервале нет точек множества S , а правее – есть, и точка с - одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U . Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S , а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из S и справа и слева от s . Предложение доказано.

С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.

Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих классов:

1. S связно.

2. S нульмерно, замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S .

3. S нульмерно, не замкнуто в R + и 0 – предельная точка для S .

4. Точка 0 изолирована в S.

Доказательство. По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то для любого N и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS , множество при этом может быть как замкнутым в R + , так и не замкнутым. Предложение доказано.

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел

со свойствами (*) и (**)

В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S , которые обладают одним из следующих свойств:

(*) (a < b );

(**) (0<a < b ).

Лемма 8. Полугруппа S , удовлетворяющая хотя бы одному из свойств (*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД (a ,b )= max {a ,b }, НОК (a ,b )= min {a ,b } для любых a , bS , а во втором случае – НОД (a ,b )= min {a ,b }, НОК (a ,b )= max {a ,b }, если числа и не равны нулю.

Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента имеют НОД и НОК. По свойству (*) a = и S . Получили, что элемент b является делителем a . Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a ,b ) = b = max{a ,b } и НОК(a ,b ) = а = min{a ,b }. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a ,b )= min{a ,b }, НОК(a ,b )= max{a ,b }. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a ,b ) = НОД(а,0) = а и НОК(a ,b ) = НОК(а,0) = а.

Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (* ) существует элемент c > 1, то S \ {0 } – группа.

Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acn > 1 для некоторого n N . Тогда 1 / acn S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acn ) cn S .

Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (* ) относится к одному из следующих классов:

1. S = [0,1].

2. S = R + .

3. S = {rn | n = 0,1,2,…}, где 0 < .

4. S = {rn | n Z }, где 0 < .

5. S – нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6. S нульмерное плотное подпространство в R + .

7. S = {0,1}.

Доказательство. Если связно, S = или S = R + по лемме 1.

Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R + ). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S . Предположим, что это не так. Тогда в S существует строго возрастающая последовательность (е n ), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d , что (c ,d ) = по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (en ,d ) элементов из S сходится к числу d . Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N . По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S имеем 0,1,2,… , а в противном случае Z по лемме 9.

Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0а n S , сходящаяся к некоторому а S . Пусть bn = an / an +1 , если (an ) возрастает, и bn = an +1 / an , если она убывает. Тогда bn S (N ) и bn 1 при . Возьмем произвольное число с (0,1). Для каждого N найдется такое k (n )N , что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S , то получаем случай 5. Если же S , то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.

Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:

1. S = R + .

2. S = {rn | n ÎN }, где .

3. S = {rn | n Z }, где .

4. S \{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,).

5. S нульмерное плотное подпространство в R + .

6. S = {0,1}.

7. È[1,+¥).

Доказательство. Пусть связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S = R + .

Очевидно, является полугруппой со свойством (**).

Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2.

Пусть замкнуто и Æ. Если в нет элемента, большего 1, то . Пусть (1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в существует строго убывающая последовательность, сходящаяся к 1. Так как замкнуто и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы , что . В то же время строго убывающая последовательность элементов из сходится к числу , следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал . Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда и поскольку замкнуто, то . Возьмем произвольный элемент из . Для него при некотором N . По свойству (**) получаем и . Поскольку , то . В этом случае N .

Пусть замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства по доказанному выше получаем: для некоторого натурального N . Поскольку , то . В этом случае Z .

Пусть не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел , сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность элементов убывает, и , если она возрастает. Тогда для всех N и при . Возьмем произвольное число . Для каждого N найдется такое N , что . Тогда имеем и .

Следовательно, числа N из образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).

Если не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что S плотное подпространство в R + .

Следствие 1. Любая полугруппа S , обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:

1. S = R + .

2. S нульмерное плотное подпространство в R + .

3. S = {0,1}.

Библиографический список

1. Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С 493-510.

2. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:36 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:57 25 ноября 2015

Работы, похожие на Дипломная работа: Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151072)
Комментарии (1843)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru