Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика

Название: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Добавлен 01:43:19 26 ноября 2009 Похожие работы
Просмотров: 3919 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Случайные и достоверные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероятности.

2. Общее определение вероятности: аксиомы Колмогорова.

3. Теоремы сложения. Условная вероятность и независимость.

4. Теоремы умножения. Формула полной вероятности и формула Бейеса.

5. Случайные величины- дискретные и непрерывные. Функция распределения и ее свойства.

6. Плотность вероятности распределения непрерывной случайной величины.

7. Числовые характеристики случайных величин (и их вероятностный смысл): математическое ожидание; дисперсия и среднее квадратическое отклонение; мода и медиана; коэффициент вариации; асимметрия, эксцесс.

8. Модельные законы распределения.

· Биномиальное распределение и его числовые характеристики. Схема Бернулли-схема формирования биномиальной случайной величины. Формула Бернулли. Теорема Пуассона и теоремы Муавра-Лапласа.

· Гипергеометрическое распределение и его числовые характеристики. Урновая схема- схема формирования гипергеометрического распределения.

· Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

· Равномерное и показательное распределения. Числовые характеристики.

· Нормальное распределение. Правило 3 сигм.

9.. Предельные теоремы: Закон больших чисел; центральная предельная теорема.

10. Зависимость случайных величин: ковариация и корреляция.

ЧАСТЬ II. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

1. Первичная обработка данных. Генеральная совокупность и выборка. Полигон и гистограмма. 2. Выборочные оценки числовых характеристик.

3. Теория оценивания. Точечные оценки и их свойства: несмещенность; состоятельность;

эффективность. Метод моментов.

4. Оценки максимального правдоподобия и их свойства.

5. Доверительные интервалы для средней и дисперсии нормальной генеральной совокупности. 6. Доверительные интервалы для неизвестной вероятности.

7. Проверка гипотез. Общая схема проверки гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. F,T- критерии. 8.c2 -критерий.

9. Схема дисперсионного анализа.

10. Регрессионный анализ.

Таблица выбора заданий по вариантам для выполнения контрольной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» Номер варианта соответствует последней цифре в № зачетки

варианта

задание 1 задание 5 задание 8 задание 9 задание12
1 1 10 1 5 8
2 2 9 3 1 2
3 4 3 5 8 7
4 3 6 1 2 6
5 5 4 6 10 9
6 7 8 1 2 5
7 8 7 2 3 3
8 6 6 5 2 2
9 9 4 6 7 10
10 10 5 2 10 9

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ДЛЯ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

При выполнении контрольных работ (далее К.Р.) необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.

1. Каждая К.Р. выполняется в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной не менее 2 см для замечаний рецензента.

2. Внешнее оформление К.Р.: на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы; название дисциплины; номер контрольной работы; вариант; название учебного заведения; проставлена дата ее выполнения и подпись студента.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по соответствующему варианту. В случае не выполнения этого требования ставится «незачет».

4. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.

5. К.р. представляется не позднее установленных сроков. В случае не выполнения этого требования проверка К.Р. производится в неустановленные сроки (после сессии).

6. Если К.Р. «не зачтена», то ее необходимо переделать в соответствии с указаниями, данными в рецензии, и с надписью «повторная», сдать на проверку, приложив рецензию к работе.

7. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

8. К.Р. с оценкой «зачет» обязательно представляется на экзамене (зачете).

!!! Экзамен (зачет) начинается с проверки знаний студента по выполненной К.Р.. Если при этом обнаруживается не самостоятельность выполнения К.Р. и непонимания студентом смысла проведенных операций, то экзаменатор ставит «незачет», аннулируя предварительный «зачет» К.Р., а в ведомость оценку «неудовлетворительно» по данной дисциплине.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ЗАДАНИЕ 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) два; б)меньше пяти.

2. В ящике находится 90 красных и 15 черных шаров. Наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что он а) красный, б) белый, в) черный.

3. Брошена стандартная игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет а) три; б) меньше трех.

4. Случайным образом выбирается число из множества {12,20,32,41,53,64,72,86}. Какова вероятность, что а) оно четно; б) четное и делится на 2.

5. Студент знает 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что предложенный вопрос студент а) знает б) не знает.

6. Из колоды в 36 карт случайным образом достается одна. Какова вероятность того, что а) эта туз; б) дама черви или король черви.

7. Из слова " вероятность " наугад выбирается одна буква. Какова вероятность, что это будет а) буква "В"; б) согласная буква.

8. В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет, попадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов по 50 руб. и на 60 билетов по 10 руб. Некто покупает 1 билет. Какова вероятность, что он выиграет а) 50 рублей; б) не менее 50 рублей.

9. В магазин поступило 150 цветных телевизоров, среди которых 50 фирмы Самсунг. Некто случайным образом покупает телевизор. Какова вероятность, что он от фирмы Самсунг.

10. Набирая номер телефона, забыли последнюю цифру. Какова вероятность того, что набирая ее случайным образом, правильно наберем номер. Как изменится эта вероятность, если дополнительно известно, что это четная цифра.

ЗАДАНИЕ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1. Для определения доли бракованных изделий были взяты случайным образом 200 изделий. При проверке оказалось, что среди них 5 бракованных. Какова вероятность, что произведенная деталь является а) бракованной б) стандартной.

2. Обследование показало, что из 1000 зашедших в магазин потенциальных покупателей, действительно приобрело товар 190. Какова вероятность того, что зашедший в магазин человек а) приобретет товар б) не приобретет товар.

3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень 57 раз. Какова вероятность, что стрелок поразит мишень.

4. Из 500 телевизоров 490 проработало без поломок 10 000 часов и более. Какова вероятность, что произведенный по данной технологии телевизор проработает не менее 10 000 часов без поломок.

5. За последние 100 дней курс доллара повышался 25 раз. Какова вероятность, что на следующих торгах курс доллара повысится.

6. Статистика показала, что из последних 1000 новорожденных 560-мальчики. Какова вероятность того, что следующий новорожденный будет мальчик.

7. Из 1000 случайно отобранных семей у 350 доходы были выше 1000 у.е. Какова вероятность, что отдельная семья имеет доход выше 1000 у.е.

8. При аттестации 100 сотрудников неаттестованными оказались 8. Какова вероятность пройти аттестацию у данной категории сотрудников.

9. Относительная частота появления бракованных изделий на автоматической срочной линии составляет 0,02. Сколько проверялось изделий, если известно, что бракованных было 8?

10.Из 1000 проверенных изделий оказалось, что 130 из них - "подделки". Какова вероятность, что приобретенный товар является "подделкой"?

ЗАДАНИЕ 3. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

1. Технологический процесс контролируется тремя независимо работающими приборами, вероятности отказа которых 0,1;0,1;0,2 соответственно. Определите вероятность выхода из строя хотя бы одного прибора.

2. Вероятность того, что на торговую площадку в течении минуты придет одно сообщению равна 0,3, то, что два равна 0,15, то, что три сообщения - 0,05. Какова вероятность того, что в течении следующей минуты придет от одного до трех сообщений включительно.

3. Вероятность того, что индекс N ценной бумаги А возрастет равна 0,4, а для ценной бумаги В эта вероятность равна 0,3. Вероятность того, что индекс N возрастет одновременно для обоих ценных бумаг равна 0,15. Какова вероятность того, что а) индекс N возрастет хотя бы для одной ценной бумаги; б) индекс N не возрастет ни у одной ценной бумаги.

4. Вероятность того, что студент изучает английский равна 0,8, а немецкий 0,3. Вероятность того, что студент изучает оба языка равна 0,2. Найти вероятность того, что случайно взятый студент а) изучает хотя бы один язык; б) не изучает ни одного.

5. Вероятность того, что станок А выйдет из строя в течении смены равна 0,1, а для станка В-0,05. Вероятность того, что оба станка выйдут из строя в течении смены - 0,01. Найти вероятность того, что в течении смены а) выйдет из строя хотя бы один станок; б) не выйдут из строя оба станка.

6. Рабочий обслуживает три станка, вероятности отказа станков в течении смены р1 =0,4; р2 =0,25; р3 =0,15 соответственно. Найти вероятность того, что в течении смены откажут ровно два станка.

7. В условиях предыдущей задачи положить p1 =0,45; p2 =0,1, p3 =0,35.

8. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих датчика, вероятности отказа которых p1 =0,2 и p2 =0,1. Найти вероятность того, что при отказе сработает ровно один датчик.

9. В урне находится n=10 красных и m=20 белых шара. Из урны без возвращения вынимают три шара. Какова вероятность того, что среди них два белых. При решении использовать теоремы сложения и умножения.

10.В условиях предыдущей задачи положить n=20, m=40.

ЗАДАНИЕ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БЕЙЕСА

1. В магазин поступили телевизоры с двух заводов в соотношении 30% с завода №1 и 70% с завода №2. Продукция завода №1 содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, а завода №2-10%. Найти вероятность того, что купленный телевизор содержит скрытый дефект.

2. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. Известно, что купленный телевизор оказался со скрытым дефектом. Требуется найти вероятность того, что он произведен на заводе №2.

3. В урне 1 содержится 3 белых и 3 черных шара, а в урне №2 содержится 5 белых и 1 черный шар. Из случайно выбранной урны достается один шар. Какова вероятность того, что это белый шар?

4. В условиях предыдущей задачи, стало известно, что вынутый шар оказался белый. Какова вероятность того, что случайно выбрана была урна №2.

5. Известно, что 5% всех мужчин и 3% всех женщин - дальтоники. В группе из 100 человек 60 мужчин и 40 женщин. Найти вероятность того, что случайно выбранный человек - дальтоник.

6. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи и предположим, что выбранный человек - дальтоник. Какова вероятность, что это женщина.

7. Вероятность того, что "хороший" эксперт оценит неправильно ценную бумагу равна 0,05, эта вероятность для "среднего" эксперта 0,15. В конторе работает 5 "хороших" и 3 "средних" эксперта. Для оценки ценной бумаги случайным образом выбран эксперт. Найти вероятность того, что ценная бумага будет оценена неправильно.

8. Пусть мы находимся в условиях предыдущей задачи. И пусть известно, что ценная бумага оценена неправильно. Какова вероятность того, что ошибку допустил "хороший" эксперт.

9. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает 5% брака, второй - 4%. Для контроля отобрано 20 деталей с первого цеха и 10 деталей со второго. Эти детали смешаны в одну партию, и из нее на удачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

10.В условиях предыдущей задачи стало известно, что деталь оказалась бракованная. Какова вероятность того, что она из цеха №1.


ЗАДАНИЕ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В следующих задача дискретная случайная величина задана законом распределения. Требуется построить функцию распределения, найти математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратичесоке отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

1. х 0 1 4
p 0.3 0.6 0.1
2. х -1 1 2
p 0.25 0.25 0.5
3. x -1 0 4
p 0.1 0.3 0.6
4. x -2 0 2
p 0.1 0.3 0.6
5. x -5 0 5
p 0.1 0.6 0.3
6. X -1 0 2
P 0.2 0.2 0.6
7. X 0 1 6
P 0.5 0.4 0.1
8. X -3 0 3
P 0.4 0.2 0.4
9. X -2 0 5
P 0.5 0.1 0.4
10. X -1 0 1
P 0.4 0.2 0.4

В следующих задачах непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятности:

Требуется вычислить константу А и математическое ожидание Х. Найти вероятность Р(с<x<d) и изобразить это решение на графике плотности распределения.

11. a=0, b=3, c=1, d=2. 16. a=3, b=8, c=0, d=5.

12. a=0, b=2, c=1, d=3. 17. a=3, b=10, c=1, d=2.

13. a=1, b=5, c=2, d=3. 18. a=4, b=8, c=1, d=5.

14. a=1, b=7, c=5, d=10. 19. a=5, b=10, c=0, d=7.

15. a=1, b=10, c=5, d=7. 20. a=5, b=8, c=7, d=8.

ЗАДАНИЕ 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

1. Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Случайная величина Х- число родившихся мальчиков среди 1000 новорожденных. Найти числовые характеристики Х и вероятности

а) Р (=520) б) Р(510££530).


2.Вероятность того, что клиенту страховой компании понадобится страховка равна 0,01. Случайная величина Х- число клиентов, которые обратятся в страховую компанию за страховкой из 10000 застраховавшихся. Найти числовые характеристики Х и вероятности а) Р(=100) б)Р(90££110).

3. Вероятность того, что зашедший в магазин посетитель приобретет товар равна 0,35. Случайная величина Х- число посетителей, которые приобрели товар из 1000 вошедших в магазин. Найти числовые характеристики Х и вероятности

а) Р(Х=350) б) Р(320£Х£380).

4. По предварительным опросам известно, что 40% опрошенных готовы проголосовать на выборах мэра города за №. Найти вероятность того, что из 50000 жителей, имеющих право проголосовать, за № отдадут голоса а) ровно 20000 человек; б) от 15000 до 25000 человек.

5. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,1. Найти вероятность, что среди 500 деталей окажется бракованными а) ровно 50; б) от 40 до 60.

6. Вероятность нарушения герметичности банки консервов 0,001. Найти вероятность того, что среди 20000 банок с нарушениями окажутся а) ровно 20; б) от 15 до 25.

7. Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность того, что среди 200 посаженных семян взойдет а) ровно 160; б) от 140 до 180.

8. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка будет повреждена равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит поврежденными: а) ровно 3 бутылки; б) более 5 бутылок.

9. Книга издается тиражом 10000 экземпляров. Технология изготовления предполагает, что вероятность того, что в книге будет иметься дефект брошюровки равна 0,0003. Найти среднее число книг с дефектом брошюровки. Найти вероятность того, что число книг с дефектом брошюровки будет: а) хотя бы одна; б) более 4.

10. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,005. Найти числовые характеристики Х- числа элементов отказавших в течении часа. Найти вероятность того, что в течении часа откажет а) хотя бы один элемент; б) от 4 до 6 элементов.

ЗАДАНИЕ 7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. РАВНОМЕРНОЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Число сообщений Х, поступающих на пульт диспетчера в течении часа, подчиняется закону Пуассона с параметром l=5(сообщений в час). Найти числовые характеристики Х и вероятности следующих событий:

а) Р(Х=0); б) Р(Х>3).

2. В порт в среднем приходит 2,5 судна в день. Предполагается, что Х- число судов зашедших в порт в течении суток, имеет распределение Пуассона. Найдите числовые характеристики Х и вероятности следующих событий:

а) Р(Х³1); б) Р(х£3).


3. Интервалы времени между приходами в порт судов распределены по показательному закону с интенсивностью l=5 (часов). Найти числовые характеристики Х- время между приходами двух судов. Вычислить: а)

Р(Х(1,2)); б) Р(Х(4,6))

4. Время между двумя сообщениями, поступающими на торговую площадку (с.в.Х), имеет показательное распределение с параметрами l=0,5 (часа). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности а)

Р(Х<0,2); б) Р(0,3<X<0,7).

5. С.в. Х - время безотказной работы элемента имеет показательное распределение, причем известно, что среднее время безотказной работы элемента рано 1,5 суток. Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности:

а) Р(Х<1); б) Р(1,4<Х<1,6).

6. Случайная величина Х- время обслуживания клиентов в мастерской имеет показательное распределение с функцией распределения F(х)=1-е-3х (отсчет времени берется в часах). Найти числовые характеристики Х и следующие вероятности

а) Р(Х<0,5) б) Р(0,2<X<0,4).

7. Автобусы некоторого маршрута имеют интервал движения 10 мин. С.в. Х - время, в течении которого пассажиру придется ждать автобус, имеет равномерное распределение. Найти числовые характеристики Х и вероятность того, что пассажир будет ждать автобус более 3 минут.

8. С.в. Х - имеет равномерное распределение на отрезке [2,6]. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятности, числовые характеристики Х и вероятность Р(Х(3,4)).

9. Шкала лабораторных весов имеет цену деления 1 грамм. При взвешивании вес округляется в ближайшую сторону. Какова вероятность, что абсолютная ошибка определения массы: а) будет заключена между DX и 2DX? б) будет менее 0,2 грамма.

10.Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в настоящий момент часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 15 секунд.

ЗАДАНИЕ 8. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛО 3-Х СИГМ

1. Автомат штампует детали. Контролируемый размер является случайной величиной Х, имеющей нормальное распределение с параметром а=50, =0,02. Выписать функцию распределения и плотность распределения с.в. Х. Деталь считается годной, если ее размеры попадают в интервал от 49,96 до 50,04. Найдите процент бракованных деталей.

2. Жирность молока коров в область (в %) есть нормально распределенная с.в. с математическим ожиданием равным 4% и среднеквадратическим отклонением 0,03. Вычислить вероятность того, что в наудачу взятой пробе жирность молока будет: а) более 4%; б) менее 4%; в) от 3,95 до 4,05%. Выписать плотность распределения данной с.в.

3. Продолжительность работы прибора есть нормально распределенная с.в. с параметрами а=1000 ч. и 2 =900 ч. Найти вероятность того, что продолжительность горения лампы составляет: а) более 1000 ч. б) менее 1000 ч. в) от 940 ч. до 1060 ч. Выписать плотность распределения данной с.в. и изобразить решение п. в) на графике плотности.

4. Рост людей призывного возраста предполагается нормально распределенным со средним 170 см. и средним квадратическим отклонением 7 см. Определить процент лиц, имеющих рост а) более 170 см. б) менее 170 см. в) от 170 до 180 см. Решение п. в) изобразить схематично на графике плотности распределения.

5. Изменение индекса ценной бумаги на фондовой бирже может быть смоделировано как нормально распределенная случайная величина с параметрами а=1 и 2 =0,01. Найти вероятность того, что на следующих торгах индекс ценной бумаги будет а) более 1 б) менее 1 в) от 0,98 до 1,02. Выписать функцию распределения и плотность распределения данной с.в.

6. Средний процент выполнения плана предприятиями отрасли составляет 103%, среднее квадратическое отклонение 2%. Предполагая, что выполнение плана предприятиями подчиняется нормальному закону, определить процент предприятий, выполняющих план: а) более 103% б) менее 103% в) от 99% до 107%. Решение п. в) схематично изобразить на графике плотности распределения.

7. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является с.в., имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием равным а=5 см. и дисперсией 0,0004. В каких границах можно практически гарантировать диаметр деталей. Если данная с.в. выйдет за эти границы, то объясните ситуацию. Подсчитайте процент деталей, заключенных в пределах от 4,96 до 5,04.

8. На автомате изготовляют заклепки. Диаметр заклепок можно считать нормально распределенной с.в. со средним 3 мм и среднем квадратическим отклонением 0,1. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью: а) 0,95; б) 0,9973.

9. Контролируемый размер детали представляет собой нормально распределенную с.в. с параметрами МХ=150 мм (Х)=2 мм. а) Найти вероятность брака, если допустимые размеры должны быть 150±3 мм. б) Какую точность контролируемого размера можно гарантировать с вероятностью 0,97. в) За какие границы практически не выйдет контролируемый размер детали. Если он выйдет за эти границы, то постарайтесь объяснить ситуацию.

10.Вес отдельной коробки конфет представляет собой нормально распределенную с.в. со средним 500 гр. и средним квадратическим отклонением 10 гр. а) Найти процент коробок, вес которых более 500 гр. б) Найти процент коробок, вес которых заключен в пределах 500±15 гр.


ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЗАДАНИЕ 9. ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ ПО НЕСГРУППИРОВАННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ

1-10. В следующих задачах дана выборка. Требуется:

а) Построить статистический ряд распределения частот и полигон частот;

б) Вариационный ряд;

в) Найти "хорошие" оценки математического ожидания и дисперсии;

г) Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.

1. 0,1,1,3,1,2,2,0,1,0.

2. 1,5,1,2,1,3,2,3,1,2.

3. 10,8,10,11,9,10,8,9,10,10.

4. 50,45,45,55,45,50,40,45,50,45.

5. 20,22,20,24,20,22,20,20,25,22.

6. -1,1,0,1,1,2,-1,1,2,1.

7. 9,5,5,7,5,7,3,5,9,7.

8. 15,12,8,15,10,15,8,12,15,12.

9. 10,20,20,5,15,20,5,10,20,5.

10. 0,-1,2,-2,0,0,-1,2,-1,-2.

ЗАДАНИЕ 10. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ

1. 25 рабочих контролировались в течении месяца по признаку - процент выполнения норм выработки за месяц. По выборочным данным были рассчитаны =102,3% - средний процент выработки и дисперсия S2 =16. Найти 95% доверительный интервал для генеральной средней, если известно, что признак имеет нормальное распределение.

2. Используя данные задачи 1, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того, чтобы оценить среднюю месячную норму выработки с 95% надежностью и с максимальной ошибкой (точностью) не более 0,5(%).

3. Из большой партии электроламп случайным образом взята выборка из 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы, оцененная по выборке оказалась равной 1200 ч. Из предыдущих проверок известно, что данный признак имеет нормальное распределение с дисперсией s2 =2500. Найти 97% доверительный интервал для генеральной средней.

4. Используя данные задачи 3, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того, чтобы оценить среднюю продолжительность горения лампы с 99% надежностью и с точностью не более 100 (ч).

5. Произведено 15 замеров контролируемого признака детали, изготовляемой станком-автоматом. По выборочным данным найдено S2 =20 мкм. Найти точность работы станка с надежностью 0,95. Предполагается, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.

6. По предварительному опросу населения большого города, в котором участвовало 900 жителей, за мероприятие Х, готовы проголосовать 400 человек из опрошенных жителей. Найти 90% доверительный интервал, в котором находится истинный процент готовых проголосовать за мероприятие Х.

7. Используя данные задачи 6, определите, каким должен быть минимальный размер выборки для того, чтобы оценить истинный процент "за" с 95% надежностью и с точностью не более 2%.

8. Недельные доходы фирмы подчинены нормальному закону распределения. По 25-еженедельным наблюдениям за доходами фирмы найдено S2 =1200. Найдите 95% доверительный интервал для среднего квадратического отклонения недельных доходов.

9. Средний привес 16 поросят, которым давали в пищу добавку А, составил 30 кг, а S2 =1,5. Считая, что данный признак имеет нормальное распределение, найдите 90% доверительный интервал для генеральной средней.

10.Среди 400 деталей, изготовленных станком-автоматом, 20 оказалось нестандартных. Найдите доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,98 неизвестную вероятность "брака".

ЗАДАНИЕ 11. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. F, T - КРИТЕРИИ

1-5. Для сравнения организации работы на двух однотипных

предприятиях, были взяты выборочные данные объемами n1 и n2 соответственно по признаку - объемы выпущенной продукции в у.е. Оценки дисперсии и даны ниже. Можно ли считать, что предприятия работают одинаково точно. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

1. n1 =10, n2 =15;

2. n1 =16, n2 =9;

3. n1 =12, n2 =17;

4. n1 =8, n2 =17;

5. n1 =11, n2 =9;

6-10. Для сравнения производительности работы двух однотипных отделов торговли, были взяты две соответствующие выборки объемами n1 и n2 соответственно, по которым подсчитаны выборочные характеристики: Проверьте гипотезу о том, что производительность отделов одинакова. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

6. n1 =15, n2 =20;

7. n1 =20, n2 =16;

8. n1 =12, n2 =8;

9. n1 =9, n2 =14;

10. n1 =8, n2 =20;

ЗАДАНИЕ 12.Критерий Пирсона

1-3. Ниже приведены данные о фактических объемах сбыта (в у.е.) в пяти районах. Согласуются ли эти результаты с предположением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков. Уровень значимости выбрать самостоятельно.

1. Район 1 2 3 4 5
Объем сбыта 75 90 85 70 80
2. Район 1 2 3 4 5
Объем сбыта 85 120 140 70 85
3. Район 1 2 3 4 5
Объем сбыта 50 65 70 80 35

4-10. В следующих задачах для приведенных сгруппированных данных проверить гипотезу о том, что они получены из нормальной генеральной совокупности. Уровень значимости выбрать самостоятельно.


4. Границы интервала 0-6 6-12 12-18 18-24 24-30 30-36 36-42
Частота 2 9 19 35 24 13 6
5. Граница интервала

0-4

4-8 8-12 12-16 16-20 20-24
Частота 7 16 55 22 4 2
6. Граница интервала

10-14

14-18 18-22 22-26 26-30 30-34
Частота 10 31 65 25 8 3
7. Граница интервала

1-5

5-9 9-13 13-17 17-21 21-25 25-29
Частота 3 29 56 81 67 19 8
8. Граница интервала

14-16

16-18 18-20 20-22 22-24 24-26
Частота 12 20 78 45 10 3
9. Граница интервала

7-9

9-11 11-13 13-15 15-17 17-19 19-21
Частота 2 35 97 86 45 26 4
10. Граница интервала

30-32

32-34 34-36 36-38 38-40 40-42 42-44
Частота 19 43 101 95 40 13 3

ЗАДАНИЕ 13. ИсслЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В следующих задачах следует построить уравнение регрессии вида Сделать вывод о возможности использования линию регрессии в дальнейших прогнозах.

1. Данные о выпуске продукции (Y) и энерговооруженности (X) на 6 предприятиях.

Xi 2 3 5 6 6 7
Yi 2,5 5,5 10 10 11,5 13,5

2. Данные об удельной величине спроса товаров (Y) и среднедушевого дохода (Х).

Xi 1 2 3 4 6 6
Yi 3,5 6,1 7,5 7,8 8,2 8,1

3. Данные об объеме валового продукта (Y) и затратами на капитальные вложения (Х) по 6 предприятиям.

Xi 1 1 2 4 6 8
Yi 4,5 5,1 10,3 18,1 19,2 19,8

4. Данные об объеме выпуска продукции (Y) и ее себестоимости.

Xi 2 2 3 4 5 6
Yi 8,5 9,1 11,2 12,8 15,1 17,3

5. Данные о долговечности элемента (Y) и величине эксплуатационного напряжения (Х).

Xi 6 7 7 8 9 9
Yi 40,1 45,4 46,2 53,2 59,5 60,2

6. Данные об урожайности (Y) и количестве весенних осадках (Х).

Xi 1 2 2 3 4 5
Yi 0,8 3,5 4,2 7,1 9,8 13,1

7. Данные об урожайности (Y) и механовооруженности (Х)

Xi 1 1 2 2 3 5
Yi 4,2 3,9 4,8 5,1 6,2 7,7

8. Данные о зависимости стоимости сооружения (Y) и срока ее эксплуатации (Х).

Xi 1 2 3 3 4 6
Yi 0,7 4,2 7,3 7,1 10,3 15,6

9. Данные об изменении массы просят (Y) и возраста (Х).

Xi 4 5 7 7 8 10
Yi 12,6 14,2 16,3 15,9 17,4 18,8

10. Данные о производительности труда (Y) и фондовооруженности (Х).

Xi 2 4 6 6 7 8
Yi 0,8 5,2 8,7 9,2 11 13,2

IV. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Пример_1. Студент знает 15 вопросов из 25. Наудачу ему задается вопрос. Найти вероятность того, что он его знает.

Решение: Мы находимся в классической схеме. Действительно, если представить эксперимент

в виде урновой схемы - в урне 25 пронумерованных шаров из которой достается один шар- то ясно, что все исходы равновозможные и их конечное число. Далее A={студент знает предложенный вопрос}, m=15- число исходов благоприятствующих А, n=25- общее число исходов. Тогда

.

Пример 2. Из колоды в 36 карт, достается одна. Найти вероятность того, что она "красная".

Решение: Обозначим А={наудачу вынутая карта- "красная"}; m=18- число исходов благоприятствующих А, т.к. в колоде из 36 карт, 18 "красных" карт; n=36- общее число исходов. Тогда по классическому определению вероятности

.

Пример 3. Стрелок произвел 100 выстрелов по мишени, причем поразил мишень в 45 случаях. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень.

Решение: Подсчитаем относительною частоту события А={стрелок поразит мишень при одном выстреле}.


.

Таким образом искомая вероятность Р(А)=0,45.

Пример 4. Вероятность того, что событие А произойдет в опыте равна 0,75; вероятность того, что событие В произойдет в опыте- 0,4. Вероятность того, что оба события произойдут в опыте равна 0,25. Найти вероятность того, что хотя бы одно событие произойдет в опыте.

Решение: Обозначим А={событие А произошло в опыте}, В={событие В произошло в опыте}

Тогда А×В={события А и В произошли в опыте одновременно}.

Р(А)=0,75; Р(В)=0,4; Р(А×В)=0,25.

Используя теорему о сумме двух совместных событий получим

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А×В)=0,75+0,4-0,25=0,9.

Пример 5. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность появления брака во время первой операции равна 0,02, второй- 0,01, третьей- 0,03. Найти вероятность: а) выхода стандартной детали, считая появление брака во время отдельных операций независимыми событиями; б) выхода бракованной детали.

Решение: а) введем события А={на выходе появилась стандартная деталь}, Аi ={i-я операция обработки прошла без брака}, i=1,2,3. Тогда А=А1 ×А2 ×А3. По условию задачи Р(А1 )=0,98; Р(А2 )=0,99; Р(А3 )=0,97.Используя теорему умножения для независимых событий, получаем.

Р(А)=Р(А1 ×А2 ×А3 )=Р(А1 )×Р(А2 )×Р(А3 )=0,98×0,99×0,97=0,9411.

б)={на выходе появилась бракованная деталь}.Тогда

Пример_6. Партия деталей содержит 70% деталей первого завода и 30% деталей второго завода. Вероятность того, что деталь с первого завода проработает без отказа более 1000 часов (надежность) равна 0,95 , а для деталей со второго завода эта вероятность равна 0,9.

а) Найти вероятность того, что случайно взятая из партии деталь проработает без отказа более 1000 часов.

б) Деталь прошла испытание и проработала безотказно 1000 часов. Найти вероятность того, что она с первого завода.

Решение: Введем события А={деталь проработает без отказа более 1000 часов}.Hi ={взятая деталь с завода i} , i=1,2 по условию задачи P(H1 )=0,7 ; P(H2 )=0,3 ; P(A/H1 )=0,95 ; P(A/H2 )=0,9.

По формуле полной вероятности

P(A)= P(H1 )×P(A/H1 )+ P(H2 )×P(A/H2 )=0,7×0,95+0,3×0,9=0,935.

Таким образом, партия деталей (большое количество) будет содержать где-то 93,5% деталей с заданной надежностью. б) Сохраним обозначения п. а). по формуле Бейеса

.

Пример 7. Найти числовые характеристики с.в. Х , построить функцию распределения если:

Х -4 0 8
Р 0,2 р 0,6

Решение: р=1-(0,2+0,6)=0,2. График ф.р.

МХ=-4×0,2+0×0,2+8×0,6=4, DX=MX2 -(MX)2 =(-4)2 ×0,2+02 ×0,2+82 ×0,6-(4)2 =25,6.

Среднее квадратическое отклонение

,

коэффициент вариации

.

Мода(Х)=8, т.к. 8 имеет наибольшую вероятность, равную 0,6. Коэффициент асимметрии

.

Пример 8. Вероятность того, что в данный день торговая база уложится в норму расходов на транспорт, равна 0,8. Какова вероятность того, что за три рабочих дня база уложится в норму 2 раза. Найти числовые характеристики с.в. Х- число дней, когда база укладывается в норму транспортных расходов в течение трех рассматриваемых дней.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли, а следовательно с.в. Х имеет биномиальное распределение. По условию задачи n=3 , p=0,8.

Тогда Основные числовые характеристики с.в. Х равны: а) математическое ожидание MX= n×p=3×0,8=2,4; б) дисперсия DX= n×p×q=3×0,8×0,2=0,48; q=1-p=0,2,

»0,7;

в) коэффициент вариации

;

г) коэффициент асимметрии

;

д) коэффициент эксцесса

;

е) Мода (наивероятнейшее число) находится из неравенства

np-q£Мода(Х)<np+p , т.е. 3×0,8-0,2£Мода(Х)<3×0,8+0,8

2,2£Мода(Х)<3,2ÞМода(Х)=3.

Пример 9. В условиях предыдущего примера, найти вероятность того, что из 100 рабочих дней торговая база уложится в норму транспортных расходов:

а) ровно 80 раз; б) от 75 до 85 дней включительно.

Решение: а) в нашем случае n=100; p=0,8; q=0,2.

Воспользоваться точной формулой для вычисления Р(Х=80) практически невозможно, поэтому воспользуемся приближенной. Так как npq=100×0,8×0,2=16>9,то применим локальную теорему Муавра- Лапласа.

,

j(0)- найдено по таблице 3 приложения-плотности нормального распределения N(0,1);

б) воспользуемся интегральной теоремой Муавра- Лапласа.

=2Ф(1,25)=2×0,39435=0,7887

здесь Ф(Х)- функция Лапласа, значение которой найдено по таблице.

Пример 10. Вероятность того, что наборщик ошибется при наборе знака равна 0,0001. Найти вероятность того, что набирая 30000 знаков, наборщик допустит:

а) ровно 3 ошибки; б) от 2 до 4 ошибок включительно.

Решение: Можно считать, что мы находимся в схеме Бернулли с параметрами n=30000, p=0,0001. Тогда npq=30000×0,0001×0,9999»3<9, поэтому для вычисления отдельных вероятностей воспользуемся теоремой Пуассона:

,

l=np, k=0,1,2,...

а)пользуясь таблицей, получим

, l=np=3.

б)

=0,22404+0,22404+0,16803=0,61611.

Пример 11. С.в. Х имеет распределение Пуассона со средним равным 1,5. Найти числовые характеристики Х. Вычислить вероятности: а) Р(Х=0); б) Р(Х³1); в) Р(Х>7).

Решение: Для с.в. имеющей распределение Пуассона с параметром l известно, что МХ=l. Следовательно, из условия задачи (МХ=1,5) находим, что l=1,5.Числовые характеристики Х равны

МХ=l=1,5 ; DХ=l=1,5; среднее квадратическое отклонение

.

Коэффициент вариации

.

Коэффициент асимметрии


.

Коэффициент эксцесса

.

Моду с.в. Х найдем по таблице: Мода(Х)=1, т.к. Х=1 имеет наибольшую вероятность.а) По таблице находим Р(Х=0)=0,22313; б)

Р(Х³1)=1-Р(Х=0)=0,77687;

в) Р(Х>7)=0,00017.Эта вероятность найдена по таблице 2 приложения, она настолько мала, что можно считать, что больше 7 событий практически не происходят.

Пример 12. Из урны содержащей четыре белых и шесть черных шаров, наудачу извлекают три шара. Какова вероятность, что среди них два черных шара. Найдите числовые характеристики с.в. Х- число черных шаров из вынутых трех шаров.

Решение: Мы находимся в схеме формирования с.в. Х имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами (N,p,n):

,

k=0,1,2,..., q=1-p. В нашем случае: N=6+4=10 - общее число шаров в урне; n=3 - число шаров, которые достаются из урны; Np=6 - количество черных шаров, Þp=6/N=6/10=0,6 (p связано с черными шарами, т.к. Х- тоже связано с черными шарами);

Nq=4 - число белых шаров,Þq=0,4. Итак:

.

Числовые характеристики с.в. Х равны MX=n×p=3×0,6=1,8 ;

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации

Коэффициент асимметрии

.

Пример 13. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром l=2. Найти числовые характеристики с.в. Х и вычислить Р(1<X<3).

Решение: Числовые характеристики с.в. Х вычисляются по формулам:

-математическое ожидание;

-дисперсия;

-

среднее квадратическое отклонение;

V(X)=100% -коэффициент вариации

всегда равен 100% ; Медиана

(Х)=.

График плотности с.в. Х имеет вид изображенный на рис.1. Из этого графика видно, что локальный максимум плотности находится в точке О.

Следовательно Мода(Х)=0.

Коэффициент асимметрии a(Х)=2 (всегда 2).

Коэффициент эксцесса е(Х)=6 (всегда 6).

рис.1


Пример 14. С.в. Х имеет нормальное распределение с параметрами а=150, s2 =36.

а) Выпишите плотность с.в. Х и изобразите эскиз графика плотности.

б) Найти числовые характеристики с.в. Х.

в) Найти границы за которые практически не выходит с.в. Х.

г) Вычислить Р(135<X<165).

Решение : а) Выпишем плотность с.в. Х:

,

б) Найдем числовые характеристики Х.

МХ=Мода()=Медиана()=а=150

D(X)=s2 =36Þs(x)==s=6

Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 0. Коэффициент вариации

,

в) используя правило 3 сигм, можно утверждать, что с.в. Х практически (с вероятностью 0,9973) не выйдет за границы интервала а-

3s<X<a+3s, т.е. 150-3×6<X<150+ 3×6sÞ132<X<168;

г) Р(135<X<165)=Ф =

,

здесь Ф(×)-функция Лапласа, значение которой найдено по таблице. Отметим свойство функции Ф(х):Ф(-х)=-Ф(х) поэтому Ф(-2,5)=- Ф(2,5)=-0,49379.

Пример 15. Найдите выборочные числовые характеристики по выборке: 3,5,6,3,3,6,3,7,5,5,3.

Решение: Построим статистический ряд частот:

Варианты хi 3 5 6 7
Частота ni 5 3 2 1

Объем выборки

n=n1 +n2 +n3 +n4 =5+3+2+1=11.

;

S2 =,

Оценки являются "хорошими" для математического ожидания и дисперсии, т.к. выборка является малой, а Мода(Х)=3, т.к. значение 3 встречается большее число раз (пять). Построим вариационный ряд: 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7.Т.к. n-нечетно (n=11), то на месте (n+1)/2=6 в вариационном ряде стоит медиана: Медиана(Х)=5.

Коэффициент асимметрии

a* (х)=

.

Пример 16. По выборочным данным найти моду, медиану. Построить гистограмму.

Интервал Частота ni
5-11 18
11-17 25
17-23 14
23-29 8
29-35 2

Решение: Построим гистограмму частот


Для удобства

Интервал Середина интервала Частота ni Накопленная частота
вычислений 5-11 8 18 18
составим 11-17 14 25 43
таблицу. 17-23 20 14 57
23-29 26 8 65
29-35 32 2 67
S=67

При вычислении

=

Медиана оценивается по формуле Медиана= L+i

Здесь L- нижняя граница интервала, в котором находится медиана (медианный интервал);

i- величина медианного интервала; n- объем выборки; f- частота медианного интервала;

F- накопленная частота интервала, предшествующему медианному.

В нашем случае n=67, следовательно, медиана равна члену, стоящему на (n+1)/2=34-м месте в вариационном ряду. По накопленным частотам заключаем, что этот член находится в интервале (11,17). Следовательно, медианный интервал (11,17). Тогда L=11, i=6, (n+1)/2=34, f=25, F=18 и, следовательно

Медиана = 11+6×.

Мода находится по формуле Мода= L+i

где L- нижняя граница модального интервала, i- величина модального интервала

fмо , fмо-1 , fмо+1 частота модального, предшествующего модальному и следующего за модальным интервала. В нашем случае модальный интервал [11,17], т.к. имеет наибольшую частоту. Тогда L=11, i=6,

fмо =25, fмо-1 =18, fмо+1 =14; Мода =

Пример 17. Найти 97,5% доверительный интервал для неизвестного параметра а нормально распределенного признака, если известно s=7,3. По выборке объема n=64 найдено .

Решение Требуемый доверительный интервал равен

,

где надежность g=0,975 позволяет найти Ug из уравнения 2Ф(Ug )=0,975. Из таблицы 4 приложения находим Ug =2,24. Тогда

;

120,3-2,044<a<120,3+2,044;118,256<a<122,344.


Пример 18. В условиях предыдущего примера, определите минимальный объем выборки, чтобы с надежностью g=0,975 точность оценки была не больше 0,5.

Решение: Точность оценки зависит от выражения

Подставляя Ug =2,24 ; s2 =7,32 =53,29 ; e2 =0,52 =0,25 ,получим

Таким образом, минимальный объем выборки должен составлять 1070 измерений.

Пример 19. По выборке объема n=25 найдены . Считая, что наблюдаемый признак имеет нормальное распределение найдите доверительный интервал с надежностью 0,9.

Решение. Искомый доверительный интервал равен

где находится по таблице 5 приложения:

Здесь a=1-g=0,1; К=n-1=25-1=24, тогда t0,1 (24)=1,711. Итак,

e; 16,3-0,71<a<16,3+0,71; 15,59<a<17,01.


Пример 20 Признак имеет нормальное распределение. По выборке объема n=30 найдена оценка дисперсии S2 =1,5. Найдите 95% доверительный интервал для дисперсии.

Решение: Доверительный интервал определяется так

,

Здесь a=1-0,95=0,05; тогда из таблицы 7 приложения находим

, 0,95<s2 <2,7.

Пример 21. Произведено 529 испытаний, в которых события А наблюдалось 70 раз. Найдите 93% доверительный интеграл для вероятности р события А.

Решение. Искомый доверительный интервал находится так: р1 <p<p2 , где

,

здесь g=0,93, Ug находится из уравнения Ф(Ug )=g/2=0,465Þ по таблице 4 функции Лапласа находим Ug =1,811. Вычислим

Итак: 0,1323-0,0267<p<0,1323+0,0267; 0,1056<p<0,159.


Пример 22. Необходимо проверить точность работы двух агрегатов А и В по контролируемому признаку. Для этого были взяты две выборки nA =9, nB =12 соответственно, по которым найдено . Требуется проверить гипотезу о том, что точность работы агрегатов одинакова, если известна, что контролируемый признак имеет нормальное распределение.

Решение: Проверку проведем по F-критерию:

,

здесь

m1 =nA -1=9-1=8, т.к. А имеет большую дисперсию, m2 =nВ -1=12-1=11. По таблице, находим при a=0,1 Fкр =F(a/2=0,05;8;11)=2,95. Т.к. Fнаб. <Fкр. , то нет основания считать, что точность работы агрегатов разная.

Пример 23. Нужно проверить влияние двух различных кормовых добавок на увеличение веса свиней. Для этого 10 свиней кормили с добавкой А, а других 8 с добавкой В. По выборочным данным вычислим

Решение Уровень значимости возьмем a=0,1.Первый этап. Проверим гипотезу о равенстве дисперсии

.

Т.к. Fнаб <Fкр , то гипотезу о равенстве дисперсий принимаем. Второй этап. Проверим гипотезу о равенстве увеличения веса для двух добавок (Н0 :МХ=МУ).

Используем t – критерий:

.

Выберем a=0,05. Найдем для k=n1 +n2 -2=10+8-2=16 степеней свободы по таблице 5 приложения tкр =t(0,05;16)=2,12. Т.к.½tнаб ½>tкр , то различия признаются существенными. Следовательно добавка В дает больший привес в весе.

Пример 24. Фактический сбыт в шести районах характеризуется таблицей (выборкой).

Район 1 2 3 4 5 6
Объем сбыта 90 130 110 85 75 110

Согласуются ли эти результаты с предложением о том, что сбыт продукции в этих районах одинаков?

Решение: Выберем уровень значимости a=0,05. Если гипотеза Н0 : сбыт одинаков - верна, то теоретически объем сбыта в 600 у.е. (90+130+110+85+75+110=600) должен распределиться одинаково по шести районам, т.е. по 100 у.е. на каждый район. Дальнейшие вычисления сведем в таблицу.

Район

1

2

3

4

5

6

90

130

110

85

75

110

100

100

100

100

100

100

100

900

100

225

625

100

1

9

1

2,25

6,25

1

S 20,5

Таким образом:

Т.к. мы не оценивали ни один параметр, то по числу степеней свободы k=6-1=5 и уровню значимости a=0,05 по таблице 7 приложения находим , то различие в сбыте по районам признается значимым и не может быть объяснено действием случайного фактора.

Пример_25. Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки:

Интервал 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Частота 2 4 8 12 16 10 3

Решение: Для проверки гипотезы будем использовать критерий Пирсона. Уровень значимости выберем a=0,1. Т.к. нормальное распределение определяется двумя параметрами а и s2 , то оценим их по выборке, объем которой равен: n=2+4+8+12+16+10+3=55.

Итак:

Для удобства вычисления статистики будем промежуточные результаты вносить в таблицу. Объединим крайние интервалы с соседними, так, чтобы выполнилось условие

I II III IV V VI
№ интервала Интервал Pi

1

2

3

4

5

-¥;14

14;16

16;18

18;20

20;+¥

6

8

12

16

13

0,0959

0,1686

0,2576

0,2484

0,2295

5,274

9,273

14,168

13,662

12,623

0,010

0,175

0,332

0,400

0,011

n=55 1 0,928

Здесь Рi - вероятность того, что с.в. Х попадает в соответствующий интервал Di при условии, что она имеет нормальное распределение с параметрами а=17,84; s2 =8,53 (s=2,92). Например, используя таблицу 4 приложения, находим:

Значения в V столбце вычисляются так:

и т.д.


Значения в VI столбце вычисляются так:

Тогда сумма VI столбца даст значение Теперь найдем по таблице 7 приложения при уровне значимости a=0,1. Т.к. после объединения интервалов у нас осталось r=5- интервалов и по выборке мы оценили два (S=2) параметра а и s, то для нахождения параметр число степеней свободы будет равен k=r-s-1=5-2-1=2. Тогда Так как (т.е. 0,928<4,61), то гипотезу о нормальном распределении можно принять.

Пример_26. Построить линию регрессии в виде Можно ли использовать ее в дальнейших прогнозах?

xi 4 5 8 8 10 12
yi 0,5 4,2 12,7 13,6 19,2 24,8

Решение: Выборочное уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид , где -условная средняя (при фиксированным х); -выборочные средние; -несмещенные оценки дисперсии; rB - выборочный коэффициент корреляции: .

n=6, т.к. наблюдалось 6 точек вида (xi ;yi );


Sx =3 ; Sy =9,06 ;=4×0,5+5×4,2+8×12,7+8×13,6+10×19,2+12××24,8=723

rB =(723-6×7,83×12,5)/(6×3×9,06)=0,832.

Уравнение регрессии:

.

Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, т.е. H0 :r=0, H1 :r¹0.

Вычислим статистику критерия:

По уровню значимости a=0,05 и числу степеней свободы k=n-2=6-2=4 из таблицы находим двухстороннюю критическую область tкр =2,776. Так как ½tнаб ½>tкр , то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем, т.е. считаем, что r¹0.

Найдем, коэффициент детерминации Так как R2 <0,75 (0,75-шаблонное значение), то уравнением регрессии пользоваться не рекомендуется. В дальнейшем, т.к. зависимость между X и Y существует (r¹0), следует либо изменить вид зависимости, либо увеличить число наблюдений и провести анализ зависимости снова.

Таблица 1. Плотность стандартного нормального распределения


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0,39894 0,39892 0,39886 0,39876 0,39862 0,39844 0,39822 0,39797 0,39767 0,39733
0,1 0,39695 0,39654 0,39608 0,39559 0,39505 0,39448 0,39387 0,39322 0,39253 0,39181
0,2 0,39104 0,39024 0,38940 0,38853 0,38762 0,38667 0,38568 0,38466 0,38361 0,38251
0,3 0,38139 0,38023 0,37903 0,37780 0,37654 0,37524 0,37391 0,37255 0,37115 0,36973
0,4 0,36827 0,36678 0,36526 0,36371 0,36213 0,36053 0,35889 0,35723 0,35553 0,35381
0,5 0,35207 0,35029 0,34849 0,34667 0,34482 0,34294 0,34105 0,33912 0,33718 0,33521
0,6 0,33322 0,33121 0,32918 0,32713 0,32506 0,32297 0,32086 0,31874 0,31659 0,31443
0,7 0,31225 0,31006 0,30785 0,30563 0,30339 0,30114 0,29887 0,29659 0,29431 0,29200
0,8 0,28969 0,28737 0,28504 0,28269 0,28034 0,27798 0,27562 0,27324 0,27086 0,26848
0,9 0,26609 0,26369 0,26129 0,25888 0,25647 0,25406 0,25164 0,24923 0,24681 0,24439
1 0,24197 0,23955 0,23713 0,23471 0,23230 0,22988 0,22747 0,22506 0,22265 0,22025
1,1 0,21785 0,21546 0,21307 0,21069 0,20831 0,20594 0,20357 0,20121 0,19886 0,19652
1,2 0,19419 0,19186 0,18954 0,18724 0,18494 0,18265 0,18037 0,17810 0,17585 0,17360
1,3 0,17137 0,16915 0,16694 0,16474 0,16256 0,16038 0,15822 0,15608 0,15395 0,15183
1,4 0,14973 0,14764 0,14556 0,14350 0,14146 0,13943 0,13742 0,13542 0,13344 0,13147
1,5 0,12952 0,12758 0,12566 0,12376 0,12188 0,12001 0,11816 0,11632 0,11450 0,11270
1,6 0,11092 0,10915 0,10741 0,10567 0,10396 0,10226 0,10059 0,09893 0,09728 0,09566
1,7 0,09405 0,09246 0,09089 0,08933 0,08780 0,08628 0,08478 0,08329 0,08183 0,08038
1,8 0,07895 0,07754 0,07614 0,07477 0,07341 0,07206 0,07074 0,06943 0,06814 0,06687
1,9 0,06562 0,06438 0,06316 0,06195 0,06077 0,05959 0,05844 0,05730 0,05618 0,05508
2 0,05399 0,05292 0,05186 0,05082 0,04980 0,04879 0,04780 0,04682 0,04586 0,04491
2,1 0,04398 0,04307 0,04217 0,04128 0,04041 0,03955 0,03871 0,03788 0,03706 0,03626
2,2 0,03547 0,03470 0,03394 0,03319 0,03246 0,03174 0,03103 0,03034 0,02965 0,02898
2,3 0,02833 0,02768 0,02705 0,02643 0,02582 0,02522 0,02463 0,02406 0,02349 0,02294
2,4 0,02239 0,02186 0,02134 0,02083 0,02033 0,01984 0,01936 0,01888 0,01842 0,01797
2,5 0,01753 0,01709 0,01667 0,01625 0,01585 0,01545 0,01506 0,01468 0,01431 0,01394
2,6 0,01358 0,01323 0,01289 0,01256 0,01223 0,01191 0,01160 0,01130 0,01100 0,01071
2,7 0,01042 0,01014 0,00987 0,00961 0,00935 0,00909 0,00885 0,00861 0,00837 0,00814
2,8 0,00792 0,00770 0,00748 0,00727 0,00707 0,00687 0,00668 0,00649 0,00631 0,00613
2,9 0,00595 0,00578 0,00562 0,00545 0,00530 0,00514 0,00499 0,00485 0,00470 0,00457
3 0,00443 0,00430 0,00417 0,00405 0,00393 0,00381 0,00370 0,00358 0,00348 0,00337
3,1 0,00327 0,00317 0,00307 0,00298 0,00288 0,00279 0,00271 0,00262 0,00254 0,00246
3,2 0,00238 0,00231 0,00224 0,00216 0,00210 0,00203 0,00196 0,00190 0,00184 0,00178
3,3 0,00172 0,00167 0,00161 0,00156 0,00151 0,00146 0,00141 0,00136 0,00132 0,00127
3,4 0,00123 0,00119 0,00115 0,00111 0,00107 0,00104 0,00100 0,00097 0,00094 0,00090
3,5 0,00087 0,00084 0,00081 0,00079 0,00076 0,00073 0,00071 0,00068 0,00066 0,00063
3,6 0,00061 0,00059 0,00057 0,00055 0,00053 0,00051 0,00049 0,00047 0,00046 0,00044
3,7 0,00042 0,00041 0,00039 0,00038 0,00037 0,00035 0,00034 0,00033 0,00031 0,00030
3,8 0,00029 0,00028 0,00027 0,00026 0,00025 0,00024 0,00023 0,00022 0,00021 0,00021

Таблица 4. Функция Лапласа.

( заштрихованная площадь под кривой равна значению функции Лапласа )
о x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586
0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535
0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409
0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173
0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793
0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240
0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490
0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524
0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327
0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891
1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298
1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147
1,3 0,40320 0,40490 0,40658 0,40824 0,40988 0,41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774
1,4 0,41924 0,42073 0,42220 0,42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189
1,5 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0,44062 0,44179 0,44295 0,44408
1,6 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449
1,7 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327
1,8 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0,47062
1,9 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670
2,0 0,47725 0,47778 0,47831 0,47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169
2,1 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48500 0,48537 0,48574
2,2 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899
2,3 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158
2,4 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361
2,5 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520
2,6 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643
2,7 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736
2,8 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807
2,9 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861
3,0 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900
3,1 0,49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929
3,2 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950
3,3 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965
3,4 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976
3,5 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983
3,6 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989
3,7 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992
3,8 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995
4,0 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998
4,5 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000

Таблица 3. Распределение Стьюдента.

Таблица 5. Распределение Стьюдента ( t-распределение).

(k-степени свободы,  - заданная вероятность )
k
0,10 0,05 0,025 0,020 0,010 0,005 0,003 0,002 0,001
1 6,314 12,706 25,452 31,821 63,656 127,321 212,193 318,289 636,578
2 2,920 4,303 6,205 6,965 9,925 14,089 18,217 22,328 31,600
3 2,353 3,182 4,177 4,541 5,841 7,453 8,891 10,214 12,924
4 2,132 2,776 3,495 3,747 4,604 5,598 6,435 7,173 8,610
5 2,015 2,571 3,163 3,365 4,032 4,773 5,376 5,894 6,869
6 1,943 2,447 2,969 3,143 3,707 4,317 4,800 5,208 5,959
7 1,895 2,365 2,841 2,998 3,499 4,029 4,442 4,785 5,408
8 1,860 2,306 2,752 2,896 3,355 3,833 4,199 4,501 5,041
9 1,833 2,262 2,685 2,821 3,250 3,690 4,024 4,297 4,781
10 1,812 2,228 2,634 2,764 3,169 3,581 3,892 4,144 4,587
11 1,796 2,201 2,593 2,718 3,106 3,497 3,789 4,025 4,437
12 1,782 2,179 2,560 2,681 3,055 3,428 3,707 3,930 4,318
13 1,771 2,160 2,533 2,650 3,012 3,372 3,639 3,852 4,221
14 1,761 2,145 2,510 2,624 2,977 3,326 3,583 3,787 4,140
15 1,753 2,131 2,490 2,602 2,947 3,286 3,535 3,733 4,073
16 1,746 2,120 2,473 2,583 2,921 3,252 3,494 3,686 4,015
17 1,740 2,110 2,458 2,567 2,898 3,222 3,459 3,646 3,965
18 1,734 2,101 2,445 2,552 2,878 3,197 3,428 3,610 3,922
19 1,729 2,093 2,433 2,539 2,861 3,174 3,401 3,579 3,883
20 1,725 2,086 2,423 2,528 2,845 3,153 3,376 3,552 3,850
21 1,721 2,080 2,414 2,518 2,831 3,135 3,355 3,527 3,819
22 1,717 2,074 2,405 2,508 2,819 3,119 3,335 3,505 3,792
23 1,714 2,069 2,398 2,500 2,807 3,104 3,318 3,485 3,768
24 1,711 2,064 2,391 2,492 2,797 3,091 3,302 3,467 3,745
25 1,708 2,060 2,385 2,485 2,787 3,078 3,287 3,450 3,725
26 1,706 2,056 2,379 2,479 2,779 3,067 3,274 3,435 3,707
27 1,703 2,052 2,373 2,473 2,771 3,057 3,261 3,421 3,689
28 1,701 2,048 2,368 2,467 2,763 3,047 3,250 3,408 3,674
29 1,699 2,045 2,364 2,462 2,756 3,038 3,239 3,396 3,660
30 1,697 2,042 2,360 2,457 2,750 3,030 3,230 3,385 3,646
40 1,684 2,021 2,329 2,423 2,704 2,971 3,160 3,307 3,551
50 1,676 2,009 2,311 2,403 2,678 2,937 3,120 3,261 3,496
60 1,671 2,000 2,299 2,390 2,660 2,915 3,094 3,232 3,460
100 1,660 1,984 2,276 2,364 2,626 2,871 3,042 3,174 3,390
S 1,645 1,960 2,241 2,326 2,576 2,807 2,968 3,090 3,291

Таблица 4. Распределение Пирсона


k-число степеней свободы

(В таблицах по заданным находятся  )
k
0,99 0,975 0,95 0,9 0,01 0,025 0,05 0,1
1 0,00016 0,00098 0,00393 0,01579 6,63489 5,02390 3,84146 2,70554
2 0,0201 0,0506 0,1026 0,2107 9,2104 7,3778 5,9915 4,6052
3 0,1148 0,2158 0,3518 0,5844 11,3449 9,3484 7,8147 6,2514
4 0,297 0,484 0,711 1,064 13,277 11,143 9,488 7,779
5 0,554 0,831 1,145 1,610 15,086 12,832 11,070 9,236
6 0,872 1,237 1,635 2,204 16,812 14,449 12,592 10,645
7 1,239 1,690 2,167 2,833 18,475 16,013 14,067 12,017
8 1,647 2,180 2,733 3,490 20,090 17,535 15,507 13,362
9 2,088 2,700 3,325 4,168 21,666 19,023 16,919 14,684
10 2,558 3,247 3,940 4,865 23,209 20,483 18,307 15,987
11 3,053 3,816 4,575 5,578 24,725 21,920 19,675 17,275
12 3,571 4,404 5,226 6,304 26,217 23,337 21,026 18,549
13 4,107 5,009 5,892 7,041 27,688 24,736 22,362 19,812
14 4,660 5,629 6,571 7,790 29,141 26,119 23,685 21,064
15 5,229 6,262 7,261 8,547 30,578 27,488 24,996 22,307
16 5,812 6,908 7,962 9,312 32,000 28,845 26,296 23,542
17 6,408 7,564 8,672 10,085 33,409 30,191 27,587 24,769
18 7,015 8,231 9,390 10,865 34,805 31,526 28,869 25,989
19 7,633 8,907 10,117 11,651 36,191 32,852 30,144 27,204
20 8,260 9,591 10,851 12,443 37,566 34,170 31,410 28,412
21 8,897 10,283 11,591 13,240 38,932 35,479 32,671 29,615
22 9,542 10,982 12,338 14,041 40,289 36,781 33,924 30,813
23 10,196 11,689 13,091 14,848 41,638 38,076 35,172 32,007
24 10,856 12,401 13,848 15,659 42,980 39,364 36,415 33,196
25 11,524 13,120 14,611 16,473 44,314 40,646 37,652 34,382
26 12,198 13,844 15,379 17,292 45,642 41,923 38,885 35,563
27 12,878 14,573 16,151 18,114 46,963 43,195 40,113 36,741
28 13,565 15,308 16,928 18,939 48,278 44,461 41,337 37,916
29 14,256 16,047 17,708 19,768 49,588 45,722 42,557 39,087
30 14,953 16,791 18,493 20,599 50,892 46,979 43,773 40,256
31 15,655 17,539 19,281 21,434 52,191 48,232 44,985 41,422
32 16,362 18,291 20,072 22,271 53,486 49,480 46,194 42,585
33 17,073 19,047 20,867 23,110 54,775 50,725 47,400 43,745
34 17,789 19,806 21,664 23,952 56,061 51,966 48,602 44,903
37 19,960 22,106 24,075 26,492 59,893 55,668 52,192 48,363
40 22,164 24,433 26,509 29,051 63,691 59,342 55,758 51,805

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М: Финансы и статистика., 1983г.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1999г.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., 1999г.

4. Ковалев Е.А. Вероятность и статистика. Тольятти, 2003г.

5. Ковалев Е.А. Задачник по теории вероятностей. Тольятти, 2002г.

6. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Юнита, 2001 г.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:15 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:47 25 ноября 2015

Работы, похожие на Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Южный ...
1) овладеть основами теории вероятностей, усвоив понятия множества элементарных исходов, алгебры случайных событий, вероятностной функции как числовой функции множеств, случайной ...
Для любого испытания, определяющего элементарные исходы как объекты некоторой природы (наборы карт, выборки шаров, извлеченные детали и т.п.), мы можем теперь, с помощью понятия ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 21966 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Серьёзные лекции по высшей экономической математике
Комбинаторные задачи. 1.Сколькими способами колода в 52 карты может быть роздана 13-ти игрокам так, чтобы каждый игрок получил по одной карте каждой ...
Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 ( > 0). Из генеральной совокупности ...
Пусть имеется нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием, равным а и дисперсией 2. Определим вероятность попадания в интервал (а - 3 ; а + 3 ), то есть ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 8130 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Курс лекций по теории вероятностей
Раздел 1. Классическая вероятностная схема 1.1 Основные формулы комбинаторики В данном разделе мы займемся подсчетом числа "шансов". О числе шансов ...
Говорят, что случайная величина ѭ имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут ѭ Ia если ѭ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то есть P(ѭ = a) = 1 ...
Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027 - см. свойство 9. Мы получим верную для ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 2208 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в ...
... ПЦК преподавателей естественно-математических дисциплин Разработка программы факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса
Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
Рассмотрев ряд примеров случайных величин (число выпавших очков при бросании игровых костей, число голосов, набранных кандидатами, результат измерения формулируется определение ...
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: курсовая работа Просмотров: 9578 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать
Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных ...
Введение Глава I. Вероятностно - статистическая линия в базовом школьном курсе математики 1.1 Статистическое мышление и школьное математическое ...
3.P(A)= P()= - вероятность того, что будет вынут белый (черный) шар.
Какова вероятность того, что оно наступило вместе с событием Нi, где I=1,2,3. другими словами, найти вероятность P(H1\A), P(H2\ А), P(H3\ А).
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 9688 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно     Скачать
... quot;Основы теории вероятностей и математической статистики" в ...
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Вятский государственный ...
Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены ...
2. Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x<y. Вероятность того, что Х примет значение х =0,6. Найти закон распределения величины Х, если ...
Раздел: Рефераты по педагогике
Тип: дипломная работа Просмотров: 3368 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Основы теории вероятности
Цель пособия Цель создания данного пособия - на разных задачах, имеющих вероятностный характер, показать наиболее типичные алгоритмы их решения. С тем ...
При этом на каждом из этих предприятий допускается брак, соответственно на В - 4%, на С - 5%, и на D - 6%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь будет бракованной ...
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 11020 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
... единичного технологического процесса изготовления детали Картер
Аннотация 6 Введение 7 1. Исходные данные 10 1.1. Базовая информация 10 1.2. Руководящая информация 11 1.3. Справочная информация 12 2. Обзор ...
Планируемый интервал времени выпуска по неизменным чертежам - 2 года.
Установить тип производства можно по коэффициенту закрепления операций (ѭз.о.). Для определения числового значения этого коэффициента надо предварительно рассчитать средний ...
Раздел: Рефераты по технологии
Тип: реферат Просмотров: 4937 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 8 человек Средний балл: 4.4 Оценка: 4     Скачать

Все работы, похожие на Учебное пособие: Теория вероятностей и математическая статистика (17865)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150900)
Комментарии (1842)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru