Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Дипломная работа: Сингулярные интегралы

Название: Сингулярные интегралы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Добавлен 22:30:43 06 августа 2007 Похожие работы
Просмотров: 65 Комментариев: 2 Оценило: 1 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно     Скачать

Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Сингулярные интегралы.

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Сколова Ирина Юрьевна

____________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

____________________

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент

Подгорная Ирина Иссаковна

____________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.

« » _______________

Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.

« » _______________

Киров 2005

Оглавление

Введение………………………………………………………………………...с. 3

§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11

§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18

§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23

Литература……………………………………………………………………...с. 27


Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f (t ) в точке x . Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой , если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.

Определение. Если в точке x будет и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t ).

Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x ) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a , b ]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .

Если, в частности, , то и .

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть дано измеримое множество E . Взяв произвольную точку x и число h >0, положим E (, h )=E ∙[-h , +h ]. Это тоже измеримое множество.

Предел отношения при h→0 называется плотностью множества E в точке и обозначается через .

Определение. Пусть функция f (x ) задана на сегменте [a , b ] и . Если существует такое измеримое множество E , лежащее на [a , b ] и имеющее точку точкой плотности, что f (x ) вдоль E непрерывна в точке , то говорят, что f (x ) аппроксимативно непрерывна в точке .

Определение. Измеримая функция f (x ) называется функцией с суммируемым квадратом , или функцией, суммируемой с квадратом , если

.

Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .

Определение. Пусть на сегменте [a , b ] задана конечная функция f (x ). Если всякому ε >0 отвечает такое δ >0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается

, (3)

то говорят, что функция f (x ) абсолютно непрерывна .

Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .

Определение. Две функции f (x ) и g(x), заданные на сегменте [a , b ], называются взаимно ортогональными , если .

Определение. Функция f (x ), заданная на [a , b ], называется нормальной , если .

Определение. Система функций , , , …, заданных на сегменте [a , b ], называется ортонормальной системой , если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.

Определение. Пусть есть ортонормальная система и f (x ) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье функции f (x ) в системе .

Ряд называется рядом Фурье функции f (x ) в системе .


§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.

Рассмотрим функцию

. (1)

Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t . Значит, для всякой суммируемой f (t ) () можно образовать величину

. (2)

Докажем, что во всякой точке x (0<x <1), в которой функция f ( t ) непрерывна, будет

. (3)

Для этого прежде всего отметим, что при

. (4)

Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность

.

Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме

.

Интеграл оценивается следующим образом:

.

В интеграле будет , поэтому

,

где не зависит от n . Аналогично и, следовательно, ,

так что при достаточно больших n будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n , что и требовалось доказать.

Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t , очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x . Но около точки x функция f (t ) почти равна f (x ) (т. к. она непрерывна при t = x ). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t ) на f (x ), т. е. он почти равен интегралу

и, в силу (4), почти равен f (x ).

Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра .

Определение. Пусть функция (n =1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по t при каждом фиксированном x . Она называется ядром , если при условии, что .

Определение. Интеграл вида , где есть ядро, называется сингулярным интегралом .

В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции

f (t ) в точке x . Так как изменение значения функции f (t ) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f (x ) функции f (t ) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t ) в точке t = x . Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t ), и т. п.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [ a , b ] задана последовательность измеримых функций , , , … Если существует такая постоянная K , что при всех n и t будет

, (5)

и если при всяком c () будет

, (6)

то, какова бы ни была суммируемая на [ a , b ] функция f (t ), справедливо равенство

. (7)

Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в [ a , b ] , то из (6) следует, что

. (8)

Рассмотрим непрерывную функцию f (t ), и для наперед заданного разложим [ a , b ] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t )было меньше, чем ε .

Тогда . (9)

Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем ( b - a ). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для окажется меньшей, чем ε . Для этих n будет

,

так что (7) доказано для непрерывной функции f ( t ).

Пусть f (t )измеримая ограниченная функция .

Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g (t ), что , .

Тогда .

Но .

Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε . Значит, для этих n будет

,

что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.

Пусть f (t ) произвольная суммируемая функция.

Возьмем ε >0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ >0, чтобы для любого измеримого множества с мерой me <δ было .

Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g (t ), чтобы было . Это возможно по

Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x ). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g (x ) такая, что .

Можно считать, что на множестве функция g (t ) равна нулю.

Тогда .

Но .

Интеграл же при достаточно больших n будет меньше ε , и при этих n окажется , что и доказывает теорему.

Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана

Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [ a , b ] функции

f (t ) будет .

В частности, коэффициенты Фурье , произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .

Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [ a , b ] функции f (t ), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю .

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f (t ).

Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x ( a < x < b ) и любом δ>0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - δ ],

[ x + δ , b ] и , где H (x ) не зависит от n , то, какова бы ни была суммируемая функция f (t ), непрерывная в точке x , справедливо равенство

.

Доказательство. Так как есть ядро, то ,

и достаточно обнаружить, что

.

С этой целью, взяв ε >0, найдем такое δ >0, что при будет

.

Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x .

Тогда при любом n .

Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - δ ] , [ x + δ , b ] . Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.

И для этих n окажется , что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [ a , b ] дана суммируемая функция f (t ), обладающая тем свойством, что

. (1)

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g (t ), заданная и суммируемая на [ a , b ], интеграл

(2)

существует (может быть как несобственный при t = a ) и справедливо неравенство

. (3)

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g (t ) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g (b )= 0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g (t ) функцию g * (t ), определив ее равенствами

g (t ), если ,

g * (t )=

0, если t=b .

Доказав теорему для g * (t ), мы затем смогли бы всюду заменить g * (t ) на g (t ), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g (b )=0 .

Пусть a < α < b . На сегменте [ α, b ] функция g (t ) ограничена, и интеграл

(4)

заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

,

откуда, после интегрирования по частям, находим

.

Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [ 0, t -a ] выполняется неравенство и следовательно

, (5)

а так как g (t ) убывает, то

. (6)

Значит . С другой стороны, функция g ( t ) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

.

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

.

Отсюда, учитывая (6), следует, что

.

Сопоставляя все сказанное, получаем:

. (7)

Хотя это неравенство установлено при предположении, что g (b )= 0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β , где α< β < b . Но тогда, устремляя α и β к a , получим ,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t )= 1 в (3) достигается равенство.)

Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t , возрастает в сегменте [ a , x ] и убывает в сегменте

[ x , b ].

Тогда для любой суммируемой функции f (t ), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет .

Доказательство. Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что .

Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[ a , x ] и [ x , b ] , рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0 , что при будет

,

что возможно, так как f (t ) в точке t = x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и .

Тогда по предыдущей лемме

.

Так как есть ядро, то .

Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K (x ) такая, что .

Таким образом,

.

С другой стороны, если , то

.

Значит функции на сегменте [ x + δ , b ] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [ x + δ , b ] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет .

При этих n окажется

,

так что

.

Теорема доказана.

В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса .

Функция есть ядро, т. к. при α<x<β

.

Эта функция положительна, и она возрастает при и убывает при . Значит, для всякой будет в каждой точке x , где f (t ) есть производная своего неопределенного интеграла.

Определение. Функция Ψ( t , x ) называется горбатой мажорантой функции , если и если Ψ( t , x ) при фиксированном x возрастает на сегменте [ a , x ] и убывает на сегменте [ x , b ] .

Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что

,

где K (x ) зависит лишь от x , то для любой , имеющей точку t = x точкой Лебега, будет справедливо равенство

.

Доказательство. Достаточно доказать, что

.

Возьмем ε >0 и найдем такое δ >0, что при будет

.

По лемме имеем

.

С другой стороны, в сегменте [ x + δ , b ] последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет

.

Следовательно для достаточно больших n будет

.

При этих n окажется ,

так что . Теорема доказана.


§3. Приложения в теории рядов Фурье

Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x ) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе

, (1)

то рядом Фурье функции f (x ) служит ряд

, (2)

где

, . (3)

Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции f (x ) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.

Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .

Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства

(k =0, 1, …, n -1),

.

Это дает , откуда следует равенство

, (4)

Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид

. (5)

Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле .

Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм :

. (6)

В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5)

.

Но . (7)

Действительно, складывая равенства

(k =0, 1, …, n -1),

находим , откуда и следует (7).

С помощью (7) получаем . (8)

Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера . Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.

Для этого рассмотрим функцию f (t )=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (k =1, 2, …).

Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .

Но выражая интегралом Фейера, получим, что

. (9)

Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A ( x , α ) не зависит от n .

Отсюда следует, что .

Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β , π ]. Сопоставляя это с (9), находим, что

,

так что функция есть ядро.

Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .

Следовательно и

. (10)

С другой стороны, когда , то , так что

. (11)

Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом

при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .

Из (10) и (11) следует, что

.

Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера.

Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n .

Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы

Д. К. Фаддеева. Отсюда следует

Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [- π , + π ] будет

. (12)

Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t ), лежащих внутри [- π , + π ].

Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x ) суммируема с квадратом. Справедлива следующая

Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции

f (x ) равны нулю, то f (x ) эквивалентна нулю.

В самом деле, в этом случае и, следовательно, f (x )=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.

Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что

,

так что .

Отсюда .

§4. Сингулярный интеграл Пуассона

Пусть точка x есть точка d суммируемой функции f (t ), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f (t ) равна f (x ) (причем ).

Интеграл (0<r <1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если x (-π <x <π ) есть точка d суммируемой функции f (t ), то (П. Фату).

1) Докажем, что - ядро. Т. к. ядро является 2π-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от x . Рассмотрим при x =0.

.

Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим

. (1)

Обозначим , тогда , а .

Выражение (1) будет равно

при 0<r <1.

Получили, что и - ядро.

2) Докажем, что .

, .

Тогда . Следовательно достаточно проверить, что .

Найдем такое, что на интервале [x -, x ] ядро возрастает, а на [x , x +] убывает. Это возможно, т. к. производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x : .

Возьмем ε >0 и найдем такое δ (0<δ <), что при будет , что возможно, так как x есть точка d , т.е. f (t ) в точке t = x есть производная своего неопределенного интеграла.

Тогда по лемме И. П. Натансона

, т. к. есть ядро, и .

Таким образом, на интервале [x , x +δ ] справедливо неравенство . На [x -δ , x ] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [x -δ , x +δ ] относительно точки x .

Рассмотрим за пределами [x -δ , x +δ ], т.е. на

[-π, x - δ , ] и на [x +δ , π ].

В этих случаях выполняются неравенства

, .

Тогда и .

Следовательно , т. к. , и знаменатель дроби не равен нулю.

Аналогично .

То есть на интервалах [-π, x - δ , ] и [x +δ , π ].

При r , достаточно близких к 1, получим

и .

При этих r окажется ,

так что и .

Таким образом, доказано, что (0<r <1) есть сингулярный интеграл.

Литература

1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.

2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. –

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:22:03 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:39 25 ноября 2015

Работы, похожие на Дипломная работа: Сингулярные интегралы

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150451)
Комментарии (1831)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru