Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Решение систем дифференциальных уравнений

Название: Решение систем дифференциальных уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 21:18:18 17 августа 2009 Похожие работы
Просмотров: 367 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Реферат

на т ем у :

"Решение систем дифференциальных уравнений"

1. Дифференциальная линейная алгебра

С собственными значениями и векторами матрицы приходится иметь дело в задачах, связанных с решением систем линейных дифференциальных уравнений и исследованием устойчивости этих решений. Дифференциальная векторно-матричная алгебра включает в себя операции интегрирования и дифференцирования, которые во множестве случаев в своей нотации напоминают соответствующие операции обычного дифференциального исчисления. Производная по скалярной переменной и интеграл от вектора и матрицы в заданных пределах изменения скалярной переменной определены так:

Производные от векторных и векторно-матричных выражений определяются следующими правилами:

,

,


,

,

.

2 . Векторное решение однородного уравнения

Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений задана в векторной форме:

Если уравнение записано в форме однородного дифференциального уравнения n -го порядка и его характеристический многочлен имеет различные корни, то общее решение представляется суммой n частных решений с экспоненциальными базовыми функциями:

,

где – константы, определяемые начальными условиями.

Можно предположить, что векторное уравнение, представляющее общее решение, имеет аналогичную форму

.


Для выяснения вопроса, что есть в таком представлении и , подставим частное решение в уравнение:

Отсюда видно, что будет частным решением, если будут собственным значением и собственным вектором матрицы A.

Таким образом, если матрица A имеет собственные значения и векторы , k=1,2,…, n, то общее решение однородного векторного уравнения после ряда эквивалентных преобразований предстанет в следующем виде:

.

Используя значение решения при t= 0, находим . Таким образом, общее решение однородного векторного уравнения имеет следующий вид: .

Матричная экспонента выражается через проекторы и собственные значения матрицы по формулам спектрального разложения:

.

После подстановки X в решение вместо экспоненты получим:

.


В случаях, когда собственные значения и векторы найти не удается, матричную функцию можно разложить в ряд по степеням матрицы:

,

что позволяет численно получать многомерный переходной процесс, если ряд сходится.

Матричный ряд сходится, если существует предел последовательности частичных сумм. Достаточным условием является сходимость ряда из норм членов степенного матричного ряда. Используя, например, признак сходимости Даламбера ряд, представляющий матричную экспоненту, сходится, если существует и меньше единицы предел отношения

,

где R – радиус сходимости.

Объем вычислительной работы при оцифровке многомерного переходного процесса существенно зависит от числа членов в матричном ряде. Для повышения скорости сходимости применяют различные аппроксимации этого ряда. В частности, для экспоненты широко используются аппроксимации отрезков ряда дробно-рациональными функциями Падэ вида:

.

Так, матричная экспонента для трех и четырех членов имеет вид:


В свете приведенных разложений матричной экспоненты общее решение линейного векторно-матричного дифференциального уравнения приближенно можно вычислить по формуле:

.

3. Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений.

Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту :

.

Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты на вектор y :

.


Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной t :

.

Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным с шагом , где R – радиус сходимости степенного матричного ряда с матрицей :

.

В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на k- том шаге через , получим

.


Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого – формула трапеций, или второго – формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

,

где – постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:


Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:


Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:


Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

t

Аналитическое

решение

Аппроксимация

Падэ порядка 1

Аппроксимация

Падэ порядка 2

Аппроксимация

Падэ порядка 3

0 1 1 1 1 1 1 1 1
0.1 1.066 0.3475 1.0670 0.3483 1.0660 0.3475 1.066 0.3475
0.2 1.072 -0.2023 1.0740 -0.2018 1.0720 -0.2023 1.072 -0.2023
0.3 1.029 -0.6434 1.0320 -0.6440 1.0290 -0.6434 1.029 -0.6434
0.4 0.9478 -0.9755 0.9513 -0.9778 0.9478 -0.9755 0.9478 -0.9755
0.5 0.8380 -1.203 0.8420 -1.207 0.8380 -1.203 0.8380 -1.203
0.6 0.7103 -1.335 0.7145 -1.341 0.7102 -1.335 0.7102 -1.335
0.7 0.5737 -1.383 0.5779 -1.391 0.5737 -1.383 0.5737 -1.383
0.8 0.4360 -1.360 0.4398 -1.369 0.4360 -1.360 0.4360 -1.360
0.9 0.3035 -1.280 0.3068 -1.290 0.3035 -1.280 0.3035 -1.280
1.0 0.1814 -1.156 0.1839 -1.167 0.1814 -1.156 0.1814 -1.156

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h= 0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.


В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1 ) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

t

Точное решение

Интегрирование по формуле прямоугольников Интегрирование по формуле трапеций Интегрирование по формуле парабол
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0.1 1.16576 0.328872 1.16422 0.302569 1.16514 0.330031 1.16576 0.328872
0.2 1.26681 -0.271328 1.26234 -0.318851 1.26567 -0.269062 1.26680 -0.271346
0.3 1.31004 -0.785828 1.30176 -0.849621 1.30849 -0.782554 1.31125 -0.802579
0.4 1.30354 -1.20604 1.29100 -1.28147 1.30167 -1.20189 1.30354 -1.20605
0.5 1.25599 -1.52886 1.23917 -1.61178 1.25389 -1.52399 1.25944 -1.55740
0.6 1.17619 -1.75579 1.15542 -1.84257 1.17395 -1.75039 1.17618 -1.75580
0.7 1.07265 -1.89209 1.04854 -1.97973 1.07033 -1.88633 1.07991 -1.92961
0.8 0.953246 -1.94585 0.926640 -2.03193 0.950907 -1.93991 0.953243 -1.94586
0.9 0.825009 -1.92713 0.796891 -2.00986 0.822699 -1.92120 0.837584 -1.97248
1.0 0.693974 -1.84722 0.665412 -1.92534 0.691726 -1.84145 0.693977 -1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

Литература

1. Бахвалов И.В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

2. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304c.

3. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 608 с.

4. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП «Раско», Томск, 1991.

5. Пантелеев А.В., Киреев В.И., Пантелеев В.И., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2004. – 480c.

6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры. Учебное пособие. Издательство: ИНФРА-М, 2008.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:21:46 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:31 25 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Решение систем дифференциальных уравнений

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151312)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru