Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Дипломная работа: Редуцированные полукольца

Название: Редуцированные полукольца
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Добавлен 21:16:26 04 августа 2007 Похожие работы
Просмотров: 23 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Министерство Образования Российской Федерации


Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Редуцированные полукольца»

Работу выполнил студент

математического факультета

\Подпись\____________

Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

.

\Подпись\____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук,профессор

.

\Подпись\____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

«___»________________

Декан факультета _______________.

«___»________________

Киров , 2003 .

План.

1. Введение.

2. Основные понятия, леммы и предложения.

3. Доказательство основной теоремы.

1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом , если выполняются следующие аксиомы:

1. (S , +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S , ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc

длялюбыхa, b, c Î S;

4. 0a = 0 = a0 длялюбогоa Î S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным , если для любых a , b Î S выполняется a = b , как только a + b = ab + ba .

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );

3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим , если для любых элементов a , b , b ¢ ,c Î S выполняется

abc = ab ¢c Û acb = acb ¢.

Определение 4. Элемент a Î S называется нильпотентным , если в последовательности a , a , a ,…, a , … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов .

Доказательство: Пусть ab = ab ¢. Тогда

baba = bab ¢a иb ¢aba = b ¢ab ¢a ,

откуда

baba + b ¢ ab ¢ a = bab ¢ a + b ¢ aba

или иначе

(ba )+ (b ¢a )= bab ¢a + b ¢aba .

В силу редуцированности ba = b¢a , т.е.

ab = ab ¢Þba = b ¢a . (1)

Аналогично доказывается ba = b ¢a Þab = ab ¢.

Пусть ab = ab ¢. Тогда с помощью (1) ba = b ¢a , откуда bac = b ¢ac и acb = acb ¢. Значит, имеем:

ab = ab ¢Þ acb = acb ¢, ba = b ¢a Þbca = b ¢ca. (2)

Пусть сейчас abc = abc ¢. Тогда

abc = ab ¢c Þacbc = acb ¢c Þacbac =acb ¢ac Þacbacb =acb ¢acb и

acbacb ¢= acb ¢acb ¢Þ ( acb ) + ( acb ¢) = acb ¢acb + acbacb ¢Þacb = acb ¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

Пустьa + b = ab + ba влечётa = b . Приb = 0 получаемa = 0 Þa = 0. Если с = 0 для некоторого натурального n > 2, то c = 0 для k ÎN с условием n£ 2. Получаем, что c = 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a , b , 1}, операции в котором заданы следующим образом:

+ a b 1

a

b

1

a b 1

b b b

1 b 1

· a b 1

a

b

1

a a a

b b b

a b 1

Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab , но aa ¹ ba . Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.

Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным , если AB ÍP влечёт A ÍP или B ÍP для любых идеалов A и B . Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым , если ab = 0 влечёт a ÎP или b ÎP для "a , b ÎS .

Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a , b Î S \ P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P . Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a , b Ï P влечёт ab Ï P .

Доказательство: Пусть P первичен и элементы a , b ÏP . Тогда главные идеалы (a ) и (b ) не лежат в P , как и их произведение. Значит, некоторый элемент t ÎaSb не принадлежит P , поскольку t = для некоторых u , v , w Î S , то хотя бы для одного i Î {1,…,k } a v b ÏP , ибо в противном случае каждое слагаемое uav b w лежит в P , и следовательно, t ÎP .

Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P , но A P . Тогда найдётся a ÎA \ P . Предположим, что B P . Получим, что некоторый элемент b ÎB \ P и по условию asb ÏP для подходящего s ÎS . Но тогда и AB P , и следовательно, P - первичный идеал.

Утверждение для коммутативного случая очевидно.

Определение 7. Подмножество T полукольца называется m - системой , если 0 ÏT , 1 ÎT и для любых a , b ÎT найдётся такой s ÎS , что asb ÎT .

Пример. Рассмотрим множество T = {a , a , a , … , a }, где n Î N и a ¹ 0. Оно является подмножеством полукольца R неотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 ÏT , 1ÎT и для "a ,a ÎT $с = 1ÎS : a с a = a ÎT . Таким образом, T является m - системой.

Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m -системой. И хотя дополнение до m - системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.

Предложение 3. Пусть T - m - система, а J - произвольный идеал полукольца S , не пересекающийся с T . Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.

Доказательство: Пусть P ÊJ , P ÇT = Æ и P - максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb ÍP для некоторых a , b ÏP . Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P , и значит, пересекаются с T . Пусть m Î (P +SaS ) ÇT , r Î (P +SbS ) ÇT и msr ÎT для некоторого s ÎS . Но, с другой стороны,

msr Î (P +SaS ) × (P +SbS ) ÍP +SaSbS ÍP .

Получили противоречие, что P пересекается с T . Значит, предположение, что aSb ÎP неверно, и P - первичный идеал. Предложение доказано.

Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M ÍA влечёт M = A или A = S для каждого идеала A .

Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.

Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m -систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T , значит, по предложению 3 он будет первичным.

Определение 9. Для любого a ÎS множество

Ann aS = {t ÎS : ("s ÎS ) ast =0} называется аннулятором элемента a .

Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S .

Ann a ={s ÎS : as = 0} -правыйидеалиAnn aS ÍAnn a .

Определение 10. Для любого идеала P множество O p = {s ÎS : ($t ÏP ) sSt = 0} = {s ÎS : AnnsS P } называется O - компонентой идеала P .

Лемма 1. O p является идеалом для любого первичного идеала P .

Доказательство: Пусть a , b ÎO p . Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t , u ÏP . В силу первичности P tsu ÏP для подходящего s ÎS . Для любого v ÎS

(a + b )vtsu = (avt )su + b (vts )u = 0.

Далее, (as )vt = a (sv )t = 0, (sa )vt = s (avt ) = s 0 = 0, поэтомуa + b , sa, as ÎO p , иO p -идеал.

Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.

Тогда O M Í O p Í P.

Доказательство: Пусть a ÎO M , тогда aSt = 0 для некоторого t ÏM . Поскольку t ÏP , то a ÎO p , и значит, O M ÍO p . Для любого s ÎS 0 = ast ÎP . Поскольку P первичен, то a ÎP или t ÎP , отсюда a ÎP , и следовательно, O p ÍP .

Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ симметрического полукольца S верна импликация:

P Ç P ¢ не содержит первичных идеалов Þ O p P ¢ .

Доказательство: Предположим, что O p ÍP ¢. Полагая A = S \ P и B = S \ P ¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A ÈB . Покажем, что AB ÇO p = Æ. В самом деле, если s ÎAB ÇO p , то sb = 0 для некоторогоb ÎA , т.е. {0} ÎAB . Поскольку s является произведением элементов из A ÈB , то в силу первичности идеалов P и P ¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u ÎB , v ÎA . Откуда u ÎO p P ¢- противоречие.

Таким образом, AB является m -системой, и значит, существует первичный идеал Q , не пересекающийся с AB и содержащий O p . А так как A ÈB ÍAB , то P ÇP ¢ÊQ . Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P ¢.

Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ в симметрическом полукольце, если O p Í P ¢ , то пересечение P и P ¢ содержит хотя бы один первичный идеал.

Определим множество (a , b ) = {s ÎS : "x ÎS (axs = bxs )} - идеал полукольца S для "a , b ÎS .Очевидно, (a , 0) = Ann aS .

Для произвольного идеала A обозначим - пересечение первичных идеалов полукольца S , содержащие идеал A .

Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным , если для любых элементов a , b ÎS выполняется

= (a , b ).

Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S .

Определение 13. Полукольцо называется полупервичным , если его первичный радикал равен нулю.

Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a Î S .

Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S - полупервично.

Пусть S - полупервичное полукольцо и b Î. Для каждого первичного идеала P , либо P содержит Ann aS , либо Ann aS не содержится в P . В первом случае b ÎP , во втором случае a ÎO p ÍP . Тогда aSb rad S = 0, откуда b ÎAnn aS . Следовательно, ÍAnn aS . Другое включение справедливо всегда.

Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.

Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.

Доказательство: Пусть c Ï(a , b ) для a , b ÎS . Тогда ac ¹bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcbacbc + bcac . Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac ¹bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac ¹bc , и следовательно, ac ¹bc . По индукции ac ¹bc . Значит, T = {1, c , c ,…} -m -система, не пересекающаяся с (a , b ), и поэтому найдётся первичный идеал P , содержащий (a , b ), при этом c ÎS \ P . Значит, c Ï, откуда Í (a , b ). Другое включение справедливо всегда.

Получили = (a , b )Þ по определению 12 S - строго полупервично, что и требовалось доказать.

Обозначим через S pec S множество всех первичных идеалов полукольца S . Для любого идеала A полукольца S положим

D (A ) = {P ÎS pec S : A P }.

МножествоD ({0}) = {P ÎS pec S : {0}P } = Æ, аS pec S = D (S ).

D (A ) ÇD (B ) = { P ÎS pec S : A P ÙB P } = { P ÎS pec S : AB P } = D (AB ).

S pec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD (A ).

Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S

= {P Î S pec S: Ann A Í P}.

Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P ÎD (A ), т.е. A P , то Ann A ÍP , т.е. P ÎY . Откуда ÍY , ибо Y замкнуто.

Обратно, пусть P Ï. Тогда P лежит в некоторой окрестности D (B ), где B - некоторый идеал в S , не пересекающийся с.

D (A ) ÇD (B ) = Æ, тогдаAB Írad S = 0, т.е. B ÍAnn A .

Тогда P не содержит Ann A , иначе P содержал бы B . Следовательно, P ÏY . Получили Y Í.

Лемма 5. Пусть P - первичный идеал редуцированного полукольца S . Тогда P = O p Û P - минимальный первичный идеал.

Доказательство: Пусть P = O p , P ¢ÎS pec S и P ¢ÍP . Тогда O p ÍO P¢ÍP ¢. Поэтому P ¢= P , и P минимален.

Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S . Предположим, что существует a ÎP \ O p . Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS : a с a = a Î{ a }),не пересекающуюся с O p . Действительно, если a ÎO p , n ÎN , то a b = 0 для некоторого b ÎS \ P . Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьa ÎO p ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O p , не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P ÇP ¢,что противоречит минимальности P . Значит, P ÍO p . Также O p ÍP (Лемма 2). Тогда P = O p .

Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.

Доказательство: В самом деле, если a , b ÎS \ P , то asb ÏP для подходящего s ÎS , откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.

Определение 14. S – слабо риккартово Û"a ÎS "b ÎAnn aS

Ann aS + Ann b = S

Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 Î N . Тогда Ann aS = N . В результате получим, что Ann aS + Ann b = N . Теперь возьмём a Î N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N . В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.

3. Доказательство основной теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S слабо риккартово;

2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );

3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;

5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1) Þ 3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал O p вполне первичен. ПустьP ÎS pec S иab ÎO p приa, b ÎS.

Тогда$с ÎS \ P : abSc = 0,т.е. absc = 0 для" s ÎS .

Возьмём s = 1 Þabc = 0 Þbc ÎAnn aS (по определению Ann aS ). НоAnn aS ÍAnn a . Тогдаbc ÎAnn a . Поусловию 1) S -слабориккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S дляa ÎS , bc ÎAnn aS .

$e ÎAnn aS , f ÎAnn bc : e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏO p ÞAnn aS ÍP (по определению Ann aS ) Þe ÎP .

Тогда f ÏP , т.к. в противном случае 1ÎP . Но P - первичный идеал ÞP - собственный Þ 1ÏP .

f ÎAnn bc Þbcf = 0. Т.к. S - симметрическое ÞbScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP , f ÏP , а P - первичный идеал) Þb ÎO p .

Таким образом, получили, что все идеалы O p , P ÎS pec S , вполне первичны.

3) Þ 4). По условию 3 все идеалыO p , где P ÎS pec S , первичны. Но M ÎMax S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M ÎS pec S . Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы O M , где M ÎS pec S и M ÎMax S , первичны.

Пусть P ÍM . Тогда O M ÍO p (лемма 2).

Если a ÎO p , т.е. ab = 0 при некотором b ÎS \ P и s = 1ÎS , то a ÎO M , ибо b ÏO M ÍP , а ab = 0 ÎO M и O M псевдопрост (доказано выше). Значит и O p ÍO M . Тогда O p = O M .

4) Þ 5). Пусть P – первичный идеал из S иP ÍM . По условию 4) данной теоремы O M – первичный идеал и так как P ÍM ÞO p = O M . Также O p ÍP (Лемма 2). Докажем, что O M – минимальный первичный идеал в S , лежащий в P . Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S . Но Q ÍM ÞO M ÍO Q ÍQ . По условию 4) данной теоремы O M = O Q . . Так как Q – минимальный первичный идеал ÞO Q = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что O p = OM=Q .

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢- произвольный минимальный первичный идеал в S , отличный от Q и лежащий в M . Тогда O P¢= O M (по условию 4)). Также O P¢ = P ¢ .

Тогда получили равенство Q = O Q = O M = O P¢= P ¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S , то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5) Þ 6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹S для некоторых a , b ÎS .

Тогда Ann a + Ann b ÍM для подходящего M ÎMax S .

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P , содержащийся в M . ТогдаO M ÍP (Лемма 2). Предположим, что $a ÎP \ O M . Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{a } $с = 1ÎS : a с a = a Î{ a }),не пересекающуюся с O M . Действительно, еслиa ÎO M , n ÎN , то ab = 0 для некоторого b ÎS \ M . Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎO M ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O M , не содержащий a , который будет первичным.

Пустьq, w ÎS \ P иq, w ÎS \ P ¢. Тогда $s ÎS : qsw ÏP Þqsw ÏP ÇP ¢ÞP ÇP ¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P . ЗначитP ÍOM и P = OM . Первичный идеалO M псевдопрост, поэтому a ÎO M или b ÎO M . Откуда по определению нуль-компонент Ann a M ÚAnn b M ÞAnn a + Ann b M Þ противоречие ÞAnn a + Ann b = S .

6) Þ 1). Возьмём"a, b ÎS : ab = 0 Þb ÎAnn aS .

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S . Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a , то Ann aS + Ann b = S . Таким образом, полукольцо S -слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2) Û 6). Пустьa, b ÎS иab = 0. D (a ) ÇD (b ) = {P ÎS pec S : a ÏP Ùb ÏP } = { P ÎS pec S : ab ÏP } (всилупервичности) = D (ab ) = D (0) = Æ.

Обратно, D (a ) ÇD (b ) ={P ÎS pec S : a ÏP Ùb ÏP } ={P ÎS pec S : ab ÏP }=D (ab ) =ÆÞab = 0, таккакD (x ) = ÆÛx = 0.

Таким образом, ab = 0 ÛD (a ) ÇD (b ) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

= {S ÎS pec S : Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ.

ТогдаAnn a + Ann b M для"M ÎMax S ÍS pec S ÞAnn a + Ann b = S .

Вдругуюсторону, пустьAnn a + Ann b = S ÞAnn a M ÚAnn b M дляподходящегоM ÎMax S ÍS pec S.

Тогда = {S ÎS pec S : Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

C войство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a , b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b , что ab = 0 и a + bÎA . Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S , то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b .

c ÎAnn a Þac = 0 (по определению аннулятора).

k ÎAnn b Þbk = 0.

a = a ×1 + 0 = a ×(c + k ) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + bk = (a + bk ÎA .

Получили a ÎA , что и нужно было доказать.

Литература.

1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:21:37 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
18:31:18 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:49:27 25 ноября 2015

Работы, похожие на Дипломная работа: Редуцированные полукольца

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150051)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru