Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Учебное пособие: Матрицы и определители

Название: Матрицы и определители
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Добавлен 04:34:52 24 мая 2010 Похожие работы
Просмотров: 15185 Комментариев: 2 Оценило: 1 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Матрицы

1. Понятие матрицы. Типы матриц

2. Алгебра матриц

Лекция 2. Определители

1. Определители квадратной матрицы и их свойства

2. Теоремы Лапласа и аннулирования

Лекция 3. Обратная матрица

1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы

2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы

4. Задачи и упражнения

4.1. Матрицы и действия над ними

4.2. Определители

4.3. Обратная матрица

5. Индивидуальные задания

Литература

ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ

План

1. Понятие матрицы. Типы матриц.

2. Алгебра матриц.

Ключевые понятия

Диагональная матрица.

Единичная матрица.

Нулевая матрица.

Симметричная матрица.

Согласованность матриц.

Транспонирование.

Треугольная матрица.

1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ

Прямоугольную таблицу

А=,

состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка m´n и обозначать .

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:

А = .

Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

А = = diag ().

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны 1:

Е = = diag (1, 1, 1,…,1).

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

=, =.

Квадратные матрицы

А = , В =

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2 . Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3 . Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:


4 .Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0:

0 =

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5 . Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Пример . Пусть = , тогда = .

Заметим, если матрица А имеет порядок m´n, то транспонированная матрица имеет порядок n´m.

6 . Матрица А называется симметричной , если А=А, и кососимметричной , если А = –А.

Пример . Исследовать на симметричность матрицы А и В.

= , тогда = , следовательно, матрица А – симметричная, так как А = А.

В = , тогда = , следовательно, матрица В – кососимметричная, так как В = – В.

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть =. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали = – .

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример. и – матрицы одного порядка 2´3;

и – матрицы разных порядков, так как 2´3≠3´2.

Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и = , где 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

λА = , λR.


Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть матрица А =, тогда 5А==.

Пусть матрица В = = = 5.

Свойства умножения матрицы на число :

1) λА = Аλ;

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;

3) (λА) = λА;

4) 0ּА = 0.

Сумма (разность) матриц .

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где = ± ( 1, 2, 3, …, m ,

j = 1, 2, 3, …, n.).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример . Найти сумму и разность матриц А и В.

= , = ,


тогда =+==,

===.

Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1) коммутативность А+В=В+А;

2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3) дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А+В) = λА+λВ;

4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;

5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;

6) (А+В)= А+ В.

Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

Матрицы А и В называются согласованными , если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если , , m≠k, то матрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратном порядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы, когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если , а , то будут согласованы матрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.

Произведением двух согласованных матриц и


А=, В=

называется матрица С порядка m´k:

=, элементы которой вычисляются по формуле:

(1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

то есть элемент i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

Пример . Найти произведение матриц А и В.

=, =,

===.

Произведение матриц В∙А не существует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1 ) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

Пример 1 . = , = ;

==;

==.

Очевидно, что .

Пример 2 . = , = ;

= = =;

= = = .

Вывод: , хотя матрицы и одного порядка.

2 ) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

Пример .

=, =;

===;

===.

3 ) A·0 = 0·A = 0.

4 ) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

Пример .

= , = ;

= ==.

5 ) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:

· (·

Пример .

Имеем матрицы , , ;

тогда Аּ(ВּС) = (·

(АּВ)ּС=

===

==.

Таким образом, мы на примере показали, что Аּ(ВּС) = (АּВ)ּС.

6 ) дистрибутивность относительно сложения:

(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.

7) (А∙В)= В∙А.

Пример.

=, =,

, =.

Тогда АВ ===

=(А∙В )= =

В А = = ==.

Таким образом, (А∙В )= В А .

8 ) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λ,R.

Рассмотрим типовые примеры на выполнение действий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение (если они существуют) двух матриц А и В.

Пример 1 .

, .

Решение.

1) + = = =;

2)===;

3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.

Пример 2 .

=, =.

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2´3, а матрица В – порядок 3´1;

2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:

·=·==,

произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны.

Пример 3.

=, =.

Решение.

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 3´2, а матрица В – порядок 2´3;

2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ·=, ·=.

·=·=

= = ;

·=·= =

= =в данном случае АВ ≠ ВА.

Пример 4 .

=, =.

Решение.

1) +===,

2) = ==;

3) произведение как матриц А ּ В , так и В ּ А , существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

=, то есть матрицы А и В некоммутирующие.

Пример 5 .

=, =.

Решение.

1) +===,

2) ===;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

== АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.


ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

План

1. Определители квадратной матрицы и их свойства.

2. Теоремы Лапласа и аннулирования.

Ключевые понятия

Алгебраическое дополнение элемента определителя.

Минор элемента определителя.

Определитель второго порядка.

Определитель третьего порядка.

Определитель произвольного порядка.

Теорема Лапласа.

Теорема аннулирования.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

А=.

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

= det A= Δ=.

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядка матрицы называется число, определяемое по правилу:

==, (1)

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример .

=, тогда == 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.

Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства :

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

=.

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

= – , = – .

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

= или =.

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

=0, = 0.

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

=+, =+.

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

=+=,

так как =0 по свойству 5.

Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число

Δ == det A= =

=++,

(2)

т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):


Пример . Вычислить определитель

==

==

=.

Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

2. ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА И АННУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Обозначают минор элемента через .


Пример . = .

Тогда, например, = , = .

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение будем обозначать , то есть =.

Например:

= , === –,

===.

Вернемся к формуле (2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:

=() +() +()=

= ּ+ּ+ּ=


= ++.

Аналогично доказываются равенства:

=++, 1, 2, 3; (3)

=++, 1, 2, 3.

Формулы (3) называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки (j-го столбца), или формулами Лапласа для определителя третьего порядка.

Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя :

Теорема Лапласа . Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).

Пример . Вычислить определитель

== (из второй строки вычтем первую) =

== (из третьей строки вычтем первую)=

== (разложим определитель по элементам третьей

строки) = 1ּ = (из второго столбца вычтем первый столбец) = = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.

Пример .

Рассмотрим определитель четвертого порядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, то есть разложением по элементам строки (столбца).

== (так как второй столбец содержит три нулевых элемента, то разложим определитель по элементам второго столбца)= =3ּ= (из второй строки вычтем первую, умноженную на 3, а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2) =

= 3ּ= (разложим определитель по элементам первого столбца) = 3ּ1ּ =

Девятое свойство определителяносит название теорема аннулирования :

сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть

++ = 0,

Пример .

= = (разложим по элементам третьей строки)=

= 0ּ+0ּ+ּ = –2.

Но, для этого же примера: 0ּ+0ּ+1ּ=

= 0ּ +0ּ+1ּ = 0.

Если определитель любого порядка имеет треугольный вид

=, то он равен произведению элементов, стоящих на диагонали:

=ּּ … ּ. (4)


Пример. Вычислить определитель.

=

Иногда при вычислении определителя с помощью элементарных преобразований удается свести его к треугольному виду, после чего применяется формула (4).

Что касается определителя произведения двух квадратных матриц, то он равен произведению определителей этих квадратных матриц: .


ЛЕКЦИЯ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

План

1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.

2. Алгоритм построения обратной матрицы.

Свойства обратной матрицы.

Ключевые понятия

Обратная матрица.

Присоединенная матрица.

1. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему () такое, что , и число, обратное ему такое, что . Например, для числа 5 противоположным будет число

(– 5), а обратным будет число . Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А). Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства

, (1)

где Е – единичная матрица порядка n.

Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если detA ≠ 0. Если же detA = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу . Докажем это утверждение.

Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы ,, то есть

и .

Тогда =ּ=ּ() =

= (ּ) ===.

Что и требовалось доказать.

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.

=1 .

Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.


2. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.

Пусть

А =, .

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

Транспонируя ее, получим так называемую присоединенную матрицу:

.

Найдем произведение ּ. С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:


ּ = =

=.

Делаем вывод:

. (2)

Алгоритм построения обратной матрицы.

1)Вычислить определитель матрицы А . Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2)Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу .

3)Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу .

4)По формуле (2) составить обратную матрицу .

5)По формуле (1) проверить вычисления.

Пример . Найти обратную матрицу.

а). Пусть А=. Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы.

б). Пусть А =.

Вычислим определитель матрицы

обратная матрица существует.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

= = ;

транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

;

по формуле (2) найдем обратную матрицу

==.

Проверим правильность вычислений

=

= = .

Следовательно, обратная матрица построена верна.

Свойства обратной матрицы

1. ;

2. ;

3. .


4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

4.1 Матрицы и действия над ними

1. Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.

а), ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ;

ж) , ;

з) , ;

и) , .

2. Доказать, что матрицы А и В коммутирующие.

а) , ; б) , .

3. Даны матрицы А. В и С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).

а) , , ;

б) , , .

4. Вычислить (3А – 2В)·С, если

, , .

5. Найти , если

а) ; б) .


6. Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где

, .

7. Найти АВС, если

а) , , ;

б) , , .

ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ»

1. а) , ;

б) произведения АВ и ВА не существуют;

в) , ;

г) , ;

д) суммы, разности и произведения ВА матриц не существуют, ;

е) , ;

ж) произведения матриц не существуют;

з) , ;

и) , .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. .

5. а) ; б) .

6. .

7. а) ; б) .

4.2 Определители

1. Вычислить определители

2.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

3. С помощью правила треугольников вычислить определители

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.

5. Вычислить определители, предварительно упростив их:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) .

6. Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду

.

7. Пусть даны матрицы А и В. Доказать, что :

, .

ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

1. а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3; ж) -6; з) 1.

2. а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.

3. а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.

4. а) 2; б) 0; в) 0; г) 70; д) 18; е) –66; ж) -36.

5. –24.

4.3 Обратная матрица

1. Найти обратную матрицу:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) ;

м) ; н) .


2. Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия :

а) ; б) .

3. Доказать равенство :

а) , ; б) ,.

4. Доказать равенство :

а) ; б) .

ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА»

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ;

к) ; л) ;

м) ; н) .

2. а) ; б) .

2. а) , , =;

б) , ,

=.

5. а) , ,

, ;

б) , ,

, .


5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить определитель разложением

а) по i- той строке;

б) по j- тому столбцу.

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

i=2, j=3. i=4, j=1. i=3, j=2.

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.

1.10. ; 1.11. ; 1.12. ;

i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.


1.13. ; 1.14. ; 1.15. ;

i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.

1.16. ; 1.17. ; 1.18. ;

i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.

1.19. ; 1.20. ; 1.21. ;

i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.

1.22. ; 1.23. ; 1.24. ;

i=1, j=3. i=2, j=1. i=3, j=4.

1.25. ; 1.26. ; 1.27. ;

i=4, j=3. i=3, j=3. i=1, j=2.


1.28. ; 1.29. ; 1.30. .

i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.


ЛИТЕРАТУРА

1. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.

2. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.

3. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.

4. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.

5.Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. -Мн.: ЧИУП, 2003. – 32 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:29:06 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:54:53 25 ноября 2015

Работы, похожие на Учебное пособие: Матрицы и определители
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной ...
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Способы решения систем линейных уравнений
- очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для ...
Для этого вычислим элемент, стоящий в i-й строке и jстолбце произведения АВ.
Согласно правилу разложения определителя по элементам строки (или столбца) выражение (6) равно определителю = при i = j и нулю при i = j. Следовательно, мы установили, что ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 11754 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 9 человек Средний балл: 3.3 Оценка: 3     Скачать
Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ ...
Кольцом называется числ. множ. На котором выполняются три опер-ии: слож, умнож, вычит. Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож ...
2. Опред-ль n-го порядка, у которого 2 строки (2 столбца) одинаковы =0. 3. Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-ля n порядка * на одно и то же число m, то и значение ...
е. 2) Если в опред-е n пор-ка все эл-ты лежащие ниже главной диагонали =0, то опрд-ль = произв-ю диагональных эл-в. 3) Сумма произведений эл-в какой-либо строки на алгеб-е ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3491 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 3 человек Средний балл: 3 Оценка: неизвестно     Скачать
Обратимые матрицы над кольцом целых чисел
... государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа Обратимые матрицы ...
Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по ...
, Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 388 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного ...
Введение Предложенная мне тема "Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ)" написана на основе книги ...
3.Произведение С = АВ матрицы А размера m n и матрицы В размера n p - это матрица С размера m p такая, что
4. если две какие-либо строки (столбца) матрицы поменять местами, то определитель матрицы умножиться на (-1);
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 197 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МУРМАНСКИЙ ...
Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет ...
Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 3479 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия
Матрицы. Терминология и обозначения. Матрицей размера (mxn) называется набор m n чисел - элементов м-цы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы ...
Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.
9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение соответствующих элементов другой строки опр = 0
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Просмотров: 767 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 5 человек Средний балл: 2.8 Оценка: неизвестно     Скачать
Моделирование электрических цепей в системе Mathcad
Учебное пособие "Моделирование электрических цепей в системе MathCAD" Введение Большинство проблем, связанных с анализом схем электрических цепей ...
где - определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-того столбца.
eigenvecs(A) - вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, порядок следования ...
Раздел: Рефераты по информатике, программированию
Тип: учебное пособие Просмотров: 2181 Комментариев: 3 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Матрицы и определители
Матрицы. Операции над матрицами Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы ...
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной ...
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 12518 Комментариев: 14 Похожие работы
Оценило: 46 человек Средний балл: 3.5 Оценка: 4     Скачать

Все работы, похожие на Учебное пособие: Матрицы и определители (5913)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150782)
Комментарии (1840)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru