Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Название: Кривые второго порядка. Квадратичные формы
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 21:04:46 01 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 632 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Высшая математика

Кривые второго порядка

Квадратичные формы


Содержание

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

2. Знакоопределенность квадратичных форм

3. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Литература


1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

Квадратичной формой j (х1 , х2 , …, xn ) n действительных переменных х1 , х2 , …, xn называется сумма вида

,(1)

где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji .

Квадратичная форма называется действительной, если aij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица

то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j(х) = хТ Ах, где

хТ = (х1 х2 … xn ). (2)


И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы

j (х1 , х2 , x3 ) = – 6х1 х2 – 8х1 х3 + + 4х2 х3

и найти ее ранг.

Решение.

Þr(A) = 3 Þ

квадратичная форма невырождена.

2. Знакоопределенность квадратичных форм

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1 , х2 , …, xn ), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1 , х2 , …, xn ), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Пример 2.

Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.

1)

Þ

т. е. квадратичная форма является положительно определенной.


2)

Þ

т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.

3)

Þ

данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2 , а не только в начале системы координат.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:


то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

3. Критерий положительной и отрицательной определенности

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма j(х) = хТ Ах была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:

М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.

Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма j(х) = хТ Ах была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:

М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0.

Пример 3.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?

j (х1 , х2 , x3 ) =

Решение.

Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.


М1 = 1 > 0,

= а – 1 > 0 Þ а > 1.

= ав – а – в > 0 Þв > .

Ответ:

а > 1, в > .

Пример 4.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?

j (х1 , х2 , x3 ) =

Решение.


М1 = –1 < 0,

= –а – 1 > 0 Þ а < –1.

= –ав – а – в < 0 Þв > – .

Ответ

а < –1, в > –.

Пример 5.

Доказать, что квадратичная форма

j (х1 , х2 , x3 ) =

положительно определена.

Решение.

Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.


М1 = 6 > 0, = 26 > 0, М3 = ú А ç = 162 > 0

Þj (х1 , х2 , x3 )

положительно определенная квадратичная форма.


Литература

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:28:38 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:54:30 25 ноября 2015

Работы, похожие на Контрольная работа: Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151440)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru