Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Реферат: Кривые второго порядка

Название: Кривые второго порядка
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 14:23:36 08 августа 2010 Похожие работы
Просмотров: 2771 Комментариев: 4 Оценило: 2 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно     Скачать

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка


СОДЕРЖАНИЕ

1 Окружность. Эллипс

2Гипербола

3Парабола

4 Литература


1 Окружность. Эллипс

При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них
в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у , или обе переменные х и у , входят во второй степени, или же входит произведениех· у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R ; уравнение гиперболы, – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть – центр
окружности. R – радиус окружности. Пусть – произвольная точка окружности. Следовательно,= =

(1)

(1) – уравнение окружности радиуса R cцентром в точке с координатами

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а , а > 0,большая , чем расстояние между фокусами 2с , с > 0.

Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х , причем т. е. – межфокусное расстояние эллипса.

Пусть – произвольная точка эллипса. Величины называются фокальными радиусами точки М эллипса.

По определению эллипса: r 1 + r 2 = 2a , а > c . Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Умножим (2) на

(3)

Сложим уравнения (2) и (3):

(4)

Возведем (4) в квадрат:

Пусть

(5)

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке

Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса . Заметим, что а > , если а < , то фокусы эллипса будут на оси Оу , если а = , то эллипс превращается в окружность.

Точки , называются вершинами эллипса . Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника:

Так как

(6)

Эксцентриситетом эллипса e называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а .

(7)

Следовательно, причем когда т. е. имеем окружность.

При стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох .

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (4):

(8)

Из (3):

Значит, подставив координаты точки эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М .

Прямые называются директрисами эллипса .

– левая директриса,

– правая директриса.

Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:

(9)

т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

2 Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая , чем расстояние между фокусами

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох , причем т. е. Заметим, что

Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, фокальные радиусы точки М .

По определению гиперболы:

где

Следовательно,

(10)

Умножим (10) на

(11)

Сложим уравнения (10) и (11):

(12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a = b ) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

(14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу , а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как , то (15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси :

(16)

Следовательно,

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (12)

(17)

Прямые называются директрисами гиперболы.

– левая директриса,

– правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

(18)

т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

(19)

которые являются ее асимптотами , т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу , то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис.

3 Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось О x проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M . d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда

По определению параболы. Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

(20)

каноническое уравнение параболы , симметричной относительно оси О x и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу .

Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х 2 = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М (х , у ) выражается формулой .

Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох .

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1

Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х 2 + у 2 – 4х + 6у – 3 = (х 2 – 4х + 4) – 4 + (у 2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2)2 + (у + 3)2 = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

ПРИМЕР 2

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох , проходит через точку М (–4; ) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М .

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Так как эллипс проходит через точку М , то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

Фокусы находятся на оси Ох , следовательно

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а 2 и в 2 :

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, , .

Þr 1 = а + eх = = 8 – 3 = 5,

r 2 = а – eх = = 8 + 3 = 11.

ПРИМЕР 3

Определить траекторию точки М , которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Решение.

Пусть М (х , у ). Тогда çMN ú = 2 çMF ú, çMN ú = ç–4 – x ú, çMF ú= = , Þç– (4 + х )ú = .

Возведем в квадрат: (4 + х )2 = 4 ((х + 1)2 + у 2 ),

Þ 16 + 8х + х 2 = (х 2 + 2х + 1 + у 2 ) · 4 = 4х 2 + 8х + 4 + 4у 2 ,

Þ 3х 2 + 4у 2 = 12 ÞÞ.

Таким образом, точка М (х , у ) движется по эллипсу.

ПРИМЕР 4

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Решение.

Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в .

Следовательно, Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F 1 (–с ; 0) = (–4; 0), F 2 (4; 0).

Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в ), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох , имеет вид (13)

,

причем F 1 (–5 ; 0), F 2 (5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с 1 = 5. Найдем а 1 и в 1 .

Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а 1 = с = 4. Следовательно:

.

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

ПРИМЕР 5

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох .

Решение.

Пусть точка М (х , у ) – принадлежит данному множеству точек.

Следовательно çFM ú = çNM ú , çFM ú == , çNM ú = 2 – у , Þ 2 – у = .

Возведем в квадрат:

– парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох .

у = 0 ÞÞÞх 1 = 0; х 2 = 4.

Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).

Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ= = 2 – 1 = 1, т. е.

Вершиной параболы будет точка (2; 1).

ПРИМЕР 6

На параболе у 2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.

Решение.

Так как у 2 = 2рх Þ 2р = 6, р = 3. Þ = = Значит у 2 = 6 · 3 = 18 Þу = ± = ±. Þ (3; ±) – две таких точки.


ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
18:45:08 21 ноября 2016
18:45:08 21 ноября 2016
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:28:38 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:54:30 25 ноября 2015

Работы, похожие на Реферат: Кривые второго порядка
Высшая математика для менеджеров
ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает такие разделы высшей математики, изучение которых дает математический аппарат ...
... экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид y2 = 2рx, вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 2145 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)
1. Векторы. Действия над векторами. Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n ...
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз ...
Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: шпаргалка Просмотров: 45639 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 4 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Плоские кривые
1. История изучения плоских кривых Понятие линии определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды ...
"Различные уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их графики".
5. Какие вы знаете свойства эллипса, гиперболы, параболы, окружности?
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Просмотров: 1878 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)
1) Основные понятия линейной алгебры. Задачи о перевозках. Элементы линейной алгебры. Задачи о перевозках. На 2-х складах А1 и А2 сосредоточено а1, а2 ...
Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4. Координаты левого фокуса ...
Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.Ось 2а называется действительной ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 3141 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 2 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпоры по математическому анализу
Производные и дифференциалы высших порядков Опр-ие: производной n-го порядка (n 2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от ...
Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через р. Канонической уравнение параболы имеет вид:
у2=2рх и получается, если фокус F поместить в точку (р 2, 0), а в качестве директрисы взять прямую х = - р 2. Число р называют параметром параболы, точку (0,0) - ее вершиной.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 980 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 2 человек Средний балл: 4.5 Оценка: неизвестно     Скачать
Аналитический метод в решении планиметрических задач
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра геометрии ...
Для примера получим параметрические уравнения окружности с центром в начале координат радиуса r. В качестве параметра выберем центральный угол t, который образует радиус-вектор ОМ ...
По этому уравнению легко устанавливаются следующие свойства параболы: парабола расположена в правой полуплоскости , проходит через начало координат О(0, 0) и имеет ось Ох своей ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Просмотров: 2559 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Геометрические построения на плоскости
Геометрические построения на плоскости Введение Вам, будущим учителям, в школьном курсе математики придется учить ребят решению задач на построение ...
Геометрическое место центров всех окружностей, которые касаются окружности К1`` и проходят через точку Р, есть эллипс или гипербола, в зависимости от того, лежит ли Р внутри ...
Геометрическое место центров окружностей, которые касаются прямой l и проходят через точку Р, есть парабола, имеющая прямую l своей директрисой, а фокус - в точке Р.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: учебное пособие Просмотров: 13848 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно     Скачать
Шпоры по вышке
1. Матрицы. Линейные операции над ними и их свойства. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины. Матрицы ...
Парабола - множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы.
Уравнение вида Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу (при А*С=0), при этом возможны ...
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1502 Комментариев: 4 Похожие работы
Оценило: 6 человек Средний балл: 3.5 Оценка: 4     Скачать
Линии на плоскости
При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них. Кривая безразличия - кривая ...
... экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Парабола y2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Просмотров: 1766 Комментариев: 2 Похожие работы
Оценило: 6 человек Средний балл: 3.2 Оценка: 3     Скачать

Все работы, похожие на Реферат: Кривые второго порядка (1258)

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150451)
Комментарии (1831)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru