Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Название: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков
Раздел: Рефераты по математике
Тип: дипломная работа Добавлен 10:18:42 11 сентября 2009 Похожие работы
Просмотров: 26 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

(0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

(0.2)


Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x3 +a1 x2 y+b1 xy2 +g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.


1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

, (1.2)

где Fk (x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)ºx3 +a1 x2 y+b1 xy2 +g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:


(3x2+2a1 xy+b1 y2 +2a2 x+b2 y+b3 )(ax+by+a1 x2 +2b1 xy+c1 y2 )+(a1 x2 +

2b1 xy+3g1 y2 +b2 x+2g2 y+g3 )(cx+dy+a2 x2 +2b2 xy+c2 y2 )=(x3+a1 x2 y+b1 xy2 + (1.5)

g1 y3 +a2 x2 +b2 xy+g2 y2 +b3 x+g3 y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

xm yn слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a1+ a1 a2 -f=0, (1.61 )

(2a1 +2b2 -f)a1 +2a2 b1 -g+6b1 =0, (1.62 )

2a1 c1 +(2b1 +2c2 -g)b1 +(6b2 -f)g1 =0, (1.63 )

(4b1 +c2 -g)a1 +(a1 +4b2 -f)b1 +3a2 g1 +3c1 =0, (1.64 )

c1 b1 +(3c2 -g)g1 =0; (1.65 )

ca1 +(2a1 -f)a2 +a2 b2 -k+3a=0, (1.71 )

(2a+d-k)a1 +2cb1+(4b1 -g)a2+(a1 +2b2 -f)b2+2a2 g2 +3b=0, (1.72 )

2ba1 +(a+2d-k)b1 +3cg1 +2c1 a2 +(2b1 +c2 -g)b2 +(4b2 -f)g2 =0, (1.73 )

bb1 +(3d-k)g1 +c1 b2 +(2c2 -g)g2 =0; (1.74 )

(2a-k)a2 +cb2 +(a1 -f)b3 +a2 g3 =0, (1.81 )

2ba2 +(a+d-k)b2 +2cg2 +(2b1 -g)b3 +(2b2 -f)g3 =0, (1.82 )

bb2 +(2d-k)g2 +c1 b3 +(c2 -g)g3 =0; (1.83 )

(a-k)b3 +cg3 -df=0, (1.91 )

bb3 +(d-k)g3 -dg=0, (1.92 )

dk=0. (1.93 )


Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.93 ) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a2 =c1 =0, а коэффициенты a1 , b1 , g1 интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.61 ) – (1.93 ) при этих предположениях будут иметь вид:

3a1 -f=0, (1.101 )

g+6b1 =0; (1.102 )

(2a1 -f)a2 +3a=0, (1.111 )

(4b1 -g)a2+(a1 +2b2 -f)b2+3b=0, (1.112 )

(2b1 +c2 -g)b2 +(4b2 -f)g2 =0, (1.113 )

(2c2 -g)g2 =0; (1.114 )

2aa2 +cb2 +(a1 -f)b3 =0, (1.121 )

2ba2 +(a+d)b2 +2cg2 +(2b1 -g)b3 +(2b2 -f)g3 =0, (1.122 )

bb2 +2dg2 +(c2 -g)g3 =0; (1.123 )

ab3 +cg3 -df=0, (1.131 )

bb3 +dg3 -dg=0. (1.132 )

Из условий (1.101 ) и (1.102 ) получаем, что

f = 2a1, g = 6b1 .

Из условия (1.114 ) имеем

(2c2 -g)g2 =0.

Пусть g2, тогда

2c2 -g=0 и g=2c2 ,

с другой стороны g = 6b1 , значит

c2 =3b1 .

Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2 =3b1 , из соотношений (1.111 ) – (1.113 ), (1.121 ), (1.123 ) и (1.131 ) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

a2 = , b2 = ,

g2 = , b3 = ,

g3 = ,(1.15)

d = .

Равенства (1.122 ) и (1.132 ) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1 , b1 , b2 :

(2ab1 -ba1 )[3(32a1 b1 b2 -15a1 2 b1 -16b1 b2 2 ) a+(8a1 b2 2 -18a1 2 b2 +9a1 3 ) b+

24(a1 b1 2 -b1 2 b2 ) c+(16a1 b1 b2 -15a1 2 b1 ) d]=0, (1.16)

(2ab1 -ba1 )[12(7a1 b1 b2 -3a1 2 b1 -4b1 b2 2 ) a2 +6(3a1 b1 2 -4b1 2 b2 ) ac+(3a1 2 b1 -

-4a1 b1 b2 ) bc+2(4a1 2 b2 -3a1 3 )bd –8a1 b1 2 cd+4a1 2 b1 d2 ]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c 1 = a 2 = 0, c 2 = 3 b 1 .

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a2 =c1 =0, c2 =3b1 . (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a1 x2 +2b1 xy)+n(cx+dy+2b2 xy+3b1 y2 )=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn , получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a1 -a)m= 0, (1.211 )

(2b1 -b)m+(2b2 -a)n=0, (1.212 )

(3b1 -b)n=0; (1.213 )

(a-g)m+cn-pa=0, (1.221 )

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222 )

pg= 0. (1.223 )


Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223 ) получаем, что g=0.

Условия (1.221 ), (1.222 ) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.231 )

bm+dn-bp= 0. (1.232 )

Из условий (1.211 ) и (1.213 ) имеем:

(a1 -a)m= 0,

(3b1 -b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a1 -a=0 и

a=a1 , (1.24)

а при n¹0, получаем, что 3b1 -b=0 и

b=3b1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212 ) находим выражение коэффициента m:

m=, (1.26)

а соотношение (1.231 ) даст значение коэффициента p:

p=. (1.27)


Из равенства (1.232 ), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a1 b1 -2b1 b2 ) a+(2a1 b2 -a1 2 ) b-3b1 2 c+a1 b1 d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1 =a2 = 0, c2 = 3b1 .

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab1 -ba1 )[3(32a1 b1 b2 -15a1 2 b1 -16b1 b2 2 ) a+(8a1 b2 2 -18a1 2 b2 +9a1 3 ) b+

24(a1 b1 2 -b1 2 b2 ) c+(16a1 b1 b2 -15a1 2 b1 ) d]=0,

(2ab1 -ba1 )[12(7a1 b1 b2 -3a1 2 b1 -4b1 b2 2 ) a2 +6(3a1 b1 2 -4b1 2 b2 ) ac+(3a1 2 b1 -

-4a1 b1 b2 ) bc+2(4a1 2 b2 -3a1 3 )bd –8a1 b1 2 cd+4a1 2 b1 d2 ]=0,

[3(a1 b1 -2b1 b2 ) a+(2a1 b2 -a1 2 ) b-3b1 2 c+a1 b1 d] n=0.

Причем b1 ¹0, a1 ¹0, 2b1 a-ba1 ¹0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a1 =, b1 =1, b2 =0.


Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a2 +d2 +ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=a-b+d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=- a,

a1 =, b1 =1, a2 =0, c1 =0, b2 =0, c2 =3b1 =3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a2 =12a, b2 = -a,

g2 =a, b3 =a2 ,

g3 = -a2 ,d=a3 , (1.36)

m= -n, p= -an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

(2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x3 +12ax2 -axy+ay2 +a2 x-a2 y+a3 =0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y4 -11776ay3 +5480a2 y2 -825a3 y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y0 =0, y1 =a, y2 =a, y3 =a. (2.5)


Абсциссы точек покоя имеют вид:

x0 =0, x1 = -a, x2 = -a, x3 = -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

(2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:


==0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка - седло.

2. Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .


Корни - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.

3. Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

, .

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

4. Исследуем точку .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

,

Корни - действительные и одного знака.Следовательно точка - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

(2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

(2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

(2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N1 (0,0) N2 (0,).

Исследуем характер точек N1 , N2 .

1. Исследуем точку N1 (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N1 :

(2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N1 (0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N2 (0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N2 :

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N2 (0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

(2.15)

При z=0, получаем:

(2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N3 (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N3 :

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N3 (0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

a О А В С
N1 N2 N3
(-∞;0) с У+ с У- У+ с У+
(0;+∞) с У- с У+ У+ с У+

Примечание: через с, у+ , у- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

а ) (a>0)

б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N3 , а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N1 , а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N1 , w - сепаратрисы – к точке С и N3 .

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.


ПРИЛОЖЕНИЕ

Поведение траекторий системы (2.1)



а) (а>0)



б) (а<0)

Рис. 2

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:56:14 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:36:40 25 ноября 2015

Работы, похожие на Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(151300)
Комментарии (1844)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru