Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: К решению теоремы Ферма

Название: К решению теоремы Ферма
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 06:20:21 30 августа 2004 Похожие работы
Просмотров: 32 Комментариев: 5 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать
Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn = zn (1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)n + xn –(x+b)n = 0 (2)

Здесь: x – переменное число, а < x целое число; n целое число, показатель степени; b целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn 2 xn-2 a2 - cn 3 xn-3 a3 ...... + an

(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn 2 xn-2 b2 + cn 3 xn-3 b3 .......+bn

D = xn - nxn-1 (a+b) + cn 2 xn-2 (a2 -b2 ) - cn 3 xn-3 (a3 +b3 )..+(an + bn ) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

xn - 2nxn-1 a - 2cn 3 xn-3 a3 - 2cn 5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)

ОбозначимчерезP(a,n) = 2cn 3 xn-3 a3 + 2cn 5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0

Разделив все члены уравнения на xn -1 , получим выражение для искомого x

x=2 na + P ( a,n )/ xn -1 , гдеP(a,n)/xn-1 ³ 0 (5)

При a = b = 1 выражение (5) примет вид:

x=2n+P( 1 ,n)/xn-1 (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P (1 , n )/ xn -1 .

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyn + xn = zn

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.

n x y=x-1 z=x+1 xn yn xn + yn zn D %
2 4 3 5 16 9 25 25 -
3 6,055 5,055 7,055 221 129 350 350 -
4 8,125 7,125 9,125 4350 2540 6890 6890 -
5 10,200 9,200 11,200 107000 66000 173000 175000 1,25

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ xn -1 .

2. Если уравнение yn + xn = zn с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1, n )/хn -1 ; у=2n-1+ P(1, n )/хn -1 ; z=2n+1+ P(1, n )/хn -1 , что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1, n )/хn -1 .

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/ х n-1 = 2cn 3 /x2 + 2cn 5 /x4 +2cn 7 /x6 ... ( 1 + 1 ) / xn -1

В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияcn k , распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра ( n+1)/2 . В знаменателе функция x 2 , возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x 2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяxn -1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25– 2/5024 и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

3. Известно, что уравнение второй степениy 2 + x 2 = z 2 решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x , y , z . Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x , y , z , в которых для уравнения ( x -2 a )3 +( x - a )3 + x 3 =( x + b )3 , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33 +43 +53 =63 .

Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.

4. Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.


Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a2 + b2 -c2 )/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b =1:

а → x; b → y=x-1; c → z=x+1 , гдеx=2n+P(1 ,n )/xn-1

После выполнения операций преобразования получим:

cosCn = 0,5-1,5/ xn -1 (7)

По полученной формуле проведены расчеты
n 2 3 4 5 10
x-1 3 5.054 7.125 9.200 19.0..
cosC 0 0.202 0.289 0.337 0.421 0.5
Co 90 78 73 70 65 60

Из которых следует :

- искажение треугольников при n>2 обусловлено изменением угла С от 90о при n=2 до 60о при n ∞ при этом треугольники превращаются из прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.

- В остроугольных треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы нецелыми числами.

- Решение теоремы Ферма в целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых отрезков уравнений y 2 + x 2 = z 2

5. Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со всеми вытекающими из этого результатами.

6. В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2 число z является нецелым.

Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного треугольника, для которого Z 0 2 = x 2 + y 2 –2 xycosc . Требуется доказать, что Z 0 является нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой. Благодаря этому нецелым становится выражение 2 xycosc , что в свою очередь делает нецелым Z 0 2 и извлеченный из него квадратный корень Z 0.

В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного треугольника. Его Z 0 2 = x 2 + y 2 –2 xycosc всегда меньше соответствующего Z п 2 = x 2 + y 2 прямоугольного треугольника и числовой отрезок Z 0 2 находится внутри числового отрезкаZ п 2 =x 2 + y 2 .

Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1, т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z 0 2 будет иметь нецелое значение, т.к. между числами x-1 и x нет других целых чисел.

Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается в следующем.

Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д. составляется ряд их квадратов:

1 4 9 16 25 36 4964 81 100 121 144 169 196 и т.д.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 и т.д.

Между числами первого ряда размещается нижний ряд, представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z1 не могут иметь при извлечении из них корней целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут иметь значения x+D, где D=z1 /Dx2

Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z0 2 всегда меньше zп 2 или соответствующего Dx2 в ряду квадратов, необходимо вставить числовой отрезок z0 2 в числовой отрезок Dx2 и убедиться, что извлеченный корень из числа z0 2 является нецелым числом.

Рассмотрим доказательство на примере для n=5.

Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cosC=0,337 (см. Формулы 6 и 7).

z0 2 =102 +92 -2*10*9*0,337=120,34.

В ряду квадратов это число находится между числами 100 и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.

Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое число.

Проверка: 105 +95 =159049. Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z0 2 может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cosC по трем известным сторонам треугольника.

Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в соответсвии с формулой (6).

Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный корень степени k из числаzk =xk +yk является нецелым числом.

P . S . Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой неограниченное количество значащих цифр.

Остановимся на обосновании принятых в статье допущений (ограничений).

Принятие a =1 обусловлено получением максимальных , (*) при которых для всех a <1 нет решений уравнений Ферма в целых числах, а zn наиболее близок к 2 xn .

Принятие b =1 обусловлено тем, что 1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими соображениями. Из уравнения (*) имеем: , откуда b £ x ( n Ö 2-1) . Подставляя вместо х его близкое целое значение 2 n , получим формулуb £ 2 n ( n Ö 2-1) для практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется от 1,65 при n=2 до 0 при возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в растворе 450 сектора всюду b является нецелым числом, исключающим получение целых x,y,z при решении уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было проделано выше с отрицательным результатом.

Расчеты при a=b=2,3,4…. относятся к точкам на значительном удалении от начала координат, кратным коэффициентам a=2,3,4….

Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет справедливо ( x * a ) n +( y * a ) n =( z * a ) n .

В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P ( a , n )/ xn -1 является иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент пропорциональности a .

В иррациональности добавкиP (1, n )/ xn -1 можно убедиться, если проводить многократное уточнение величины х методом последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное число.

Наконец, анализируя расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции xn и yn могут принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в области распостранения условий теоремы Ферма:

- вся плоскость (x,y) - для четных показателей степени n

- квадрант I - для положительных x и y

- квадрант III- для отрицательных x и y

- в квадрантах II и IVдля нечетных n будут иметь место разности типа xn - yn или yn - xn , рассмотрение которых теоремой Ферма не предусмотрено.

ВЫВОДЫ

1. Разработан метод доказательства теоремы Ферма в общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6), (7) для проведения анализа и расчетов.

2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2 обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yn + xn = zn . При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых числах.

3. Теорема Ферма распространяется на всю плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при нечетных n.

Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ иВС,

Москва 2001 – 2004 год

Т. 396 –90-24

e –meil:hrendy@rumbler.ru

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:56:12 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
11:12:15 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:36:38 25 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
16:07:46 24 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
09:23:22 24 ноября 2015

Работы, похожие на Статья: К решению теоремы Ферма

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150531)
Комментарии (1836)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru