Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Курсовая работа: Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Название: Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 16:36:13 02 декабря 2009 Похожие работы
Просмотров: 425 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Введение

Данная курсовая работа включает в себя три итерационных метода решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

1. Метод Якоби (метод итераций).

2. Метод Холецкого.

3. Метод верхней релаксации.

Также данная курсовая работа включает в себя: описание метода, применение метода к конкретной задаче (анализ), код программы решения вышеперечисленных методов на языке программирования BorlandC++ Builder 6.

Описание метода

Метод решения задачи называют итерационным , если в результате получают бесконечную последовательность приближений к решению. Основное достоинство итерационных методов состоит в том, что точность искомого решения задается. Число итераций, которое необходимо выполнить для получения заданной точности , является основной оценкой качества метода. По этому числу проводится сравнение различных методов.

Главным недостатком этих методов является то, что вопрос сходимости итерационного процесса требует отдельного исследования. Примером обычных итерационных методов служат: метод итераций (метод Якоби), метод Зейделя, метод верхних релаксаций.

Начнем с метода итераций или как его ещё называют метода Якоби.

Существует сиcтема A·x = f (1), где матрица A = [aij ] (i, j = 1, 2, …m ) имеет обратную матрицу; x = (x1 , x2 , x3 ,… xm ) – вектор неизвестных, f – вектор свободных членов. Систему (1) нужно преобразовать к следующему виду: (2) i=1, 2,…, m, где , , при этом aii0.

Значение суммы считается равным 0, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Тогда при i=1 уравнение имеет вид: (3). В методе Якоби исходят из записи системы в виде (2), итерации при этом определяют следующим образом: , (n=0, 1, …, n0, i=1, 2, …, m) (4).

Начальные значения – (i=0, 1, …, m ) задаются произвольно (в программе мы это проделываем, вводя функцию по генерации случайных чисел – «random»). Окончание итерационного процесса определяют либо заданием максимального числа итераций n0 , либо следующим условием: , где >0. В качестве нулевого приближения в системе (4) примем .

Если последовательность приближений x1 (0) , x2 (0) ,…, xm (0) , x1 (1) , x2 (1) ,…, xm (1) ,…, x1 (k) , x2 (k) ,… , xm (k) имеет предел , , то этот предел является решением системы (2).

Достаточным условием сходимости решения системы (1) является то, что матрица A является матрицей с преобладающими диагональными элементами, то есть , i=1, 2, …, m.

Теперь рассмотрим второй итерационный метод – метод Зейделя , который является модификацией метода Якоби. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k +1) – го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k +1) – е приближения (x1 x2 ,…, xi-1 ).

Пусть дана приведенная линейная система: (i = 1, 2, …n ) (5). Выбираются произвольно начальные приближения корней x1 (0) , x2 (0) ,…, x n (0) , чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным x1 , x2 , x3 ,…, xn .

Предполагается, что k -е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода строится (k +1) – е приближение по следующим формулам:

k=0,1,2,... (6)


Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (5) – по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения (6) так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов: .

Теперь рассмотри 3 метод – метод верхних релаксаций .

Метод верхней релаксации – это есть метод Зейделя с заданным числовым параметром w.

Одним из наиболее распространенных одношаговых методов является метод верхних релаксаций, который имеет следующий вид (7), где w заданный числовой параметр (0<w<2). Изменяя w можно получать различную скорость сходимости итерационного процесса. Этот параметр выбирается таким образом, чтобы на каждом шаге итерационного процесса уменьшалась величина, характеризующая близость полученного решения к искомому решению системы.

Достоинством итерационного метода верхних релаксаций является то, что при его реализации программным путем алгоритм вычислений имеет простой вид и позволяет использовать всего один массив для неизвестного вектора.

Для получения расчетных формул (7) перепишем в виде: или в компонентной записи получим (8) – это есть основная вычислительная формула.

В выражение (8) ивходят одинаковым образом => при вычислениях они могут быть записаны в один и тот же массив. При реализации метода верхних релаксаций используется следующая форма записи алгоритма вычислений .

Действительно, при последовательном нахождении элемента (i+10 итерации) на каждом шаге будут использоваться найденные ранее значения, которые при k<j соответствуют i+1 итерации, а при k<j-i итерации.

Применение метода к конкретной задаче (анализ)

Составляя задачи на языке программирования BorlandC++ Builder 6 для реализации точных методов решения СЛАУ я учитывал разное количество уравнений в системе (размерность матрицы задавал равным nxn). Но для проверки результатов использовал систему уравнений:

Вообще говоря, процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и т.п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода Якоби достаточны и для сходимости метода Зейделя. Реализовав программы из полученного ответа я увидел, что процесс Зейделя сходится быстрее. Это видно по количеству итераций полученных в программе при приближенной точности =0,000001. Если для метода Якоби они составляют 16, то для метода Зейделя они составляют 9.

Также рассматривая метод верхней релаксации и сравнивая его с двумя другими методами видно, что в методе верхней релаксации количество итераций зависит от заданного числового параметра w. Задавая w=1, количествоитераций равно 9, уменьшая значение параметра от 1 количество итераций начинает расти, в свою очередь увеличивая параметр количество итераций тоже начинает расти.

Приведем таблицу показывающих количество итераций (k) при разных значениях параметра w:

w 0.1 0.4 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.7 1.9
k 16 15 14 13 9 13 14 15 16 16

Из всего этого можно сделать вывод, что итерационные методы сходятся быстрее, чем точные методы, о чем свидетельствуют как быстрое уменьшение невязок, так и уменьшение изменений неизвестных.

Листинг программы

// –

# include < vcl . h >

#pragma hdrstop

#include «Unit1.h»

// –

#pragma package (smart_init)

#pragma resource «*.dfm»

#include<math.h>

#include<stdlib.h>

TForm1 *Form1;

int n=0, prov=0, k=0;

const x=100;

float A[x] [x], B[x] [x];

float C[x], Y[x];

float *X;

bool fl1=false;

float e;

float v_sh;

// –

__fastcall TForm1:TForm1 (TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

// –

void __fastcall TForm1: ButtonOkClick (TObject *Sender)

{

Memo1->Lines->Clear();

k=0;

TryStrToInt (Edit1->Text, n);

if (n>1)

{

StringGrid1->Enabled=true;

StringGrid1->RowCount=n;

StringGrid1->ColCount=n+1;

ButtonClear->Enabled=true;

ButtonOk->Enabled=false;

StringGrid1->Color=clWindow;

ButtonYakobi->Enabled=true;

ButtonZeydel->Enabled=true;

ButtonRelax->Enabled=true;

X=new float[n];

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

A[i] [j]=NULL;

}

X[i]=NULL;

}

}

else

{

ShowMessage («Число должно быть вещественного типа!»);

}

}

// –

void __fastcall TForm1: ButtonClearClick (TObject *Sender)

{

StringGrid1->Enabled=false;

StringGrid1->RowCount=0;

StringGrid1->ColCount=0;

ButtonClear->Enabled=false;

ButtonOk->Enabled=true;

StringGrid1->Color=clBtnFace;

ButtonYakobi->Enabled=false;

}

// –

void __fastcall TForm1: ButtonYakobiClick (TObject *Sender)

{

//TryStrToFloat (Edit2->Text, e);

Memo1->Lines->Clear();

e=StrToFloat (Edit2->Text);

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

TryStrToFloat (StringGrid1->Cells[j] [i], A[i] [j]);

}

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

if (A[i] [j]==NULL)

{

ShowMessage (« Ошибка ! Есть пустые ячейки!»);

fl1=true;

i=n;

break;

}

}

}

if(! fl1) {

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n; j++)

{

if (i!=j) B[i] [j]=(-1)*A[i] [j]/A[i] [i];

else

{

B[i] [j]=0;

C[i]=A[i] [n]/A[i] [i];

}

}

}

for (int i=0; i<n; i++) X[i]=C[i];

float s=0;

k=0;

do

{

prov=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

Y[i]=X[i];

for (int j=0; j<n; j++)

{

s+=B[i] [j]*X[i];

}

X[i]=s+C[i];

s=0;

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

if (fabs(X[i] – Y[i])<e) prov++;

}

k++;

}

while (prov!=n);

Memo1->Lines->Add (» МЕТОД ЯКОБИ »);

Memo1->Lines->Add(«»);

String p=»»;

Memo1->Lines->Add («Промежуточная матрица:»);

for (int i=0; i<n; i++)

{

p=»»;

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

p+=FloatToStr (B[i] [j])+»»;

}

Memo1->Lines->Add(p);

}

Memo1->Lines->Add(«»);

Memo1->Lines->Add (« Корни СЛАУ равны :»);

for (int i=0; i<n; i++)

{

if (X[i]!=NULL)

{

Memo1->Lines->Add («x»+IntToStr (i+1)+» = «+FloatToStr (X[i]));

}

else

{

Memo1->Lines->Add (« Нет корней !»);

break;

}

}

Memo1->Lines->Add(«»);

Memo1->Lines->Add (« Количество итераций = «+FloatToStr(k));

}

}

// –

void __fastcall TForm1: ButtonExitClick (TObject *Sender)

{

Close();

}

// –

void __fastcall TForm1: RadioButton2Click (TObject *Sender)

{

ButtonYakobi->Visible=false;

ButtonZeydel->Visible=true;

ButtonRelax->Visible=false;

}

// –

void __fastcall TForm1: RadioButton1Click (TObject *Sender)

{

ButtonYakobi->Visible=true;

ButtonZeydel->Visible=false;

ButtonRelax->Visible=false;

}

// –

void __fastcall TForm1: ButtonZeydelClick (TObject *Sender)

{

Memo1->Lines->Clear();

k=0;

e=StrToFloat (Edit2->Text);

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

TryStrToFloat (StringGrid1->Cells[j] [i], A[i] [j]);

}

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

if (A[i] [j]==NULL)

{

ShowMessage (« Ошибка ! Есть пустые ячейки!»);

fl1=true;

i=n;

break;

}

}

}

if(! fl1) {

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n; j++)

{

if (i!=j) B[i] [j]=(-1)*A[i] [j]/A[i] [i];

else

{

B[i] [j]=0;

C[i]=A[i] [n]/A[i] [i];

}

}

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

X[i]=rand();

}

k=0;

float s=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n; j++)

{

s+=B[i] [j];

}

Y[i]=s;

s=0;

}

s=Y[0];

for (int i=1; i<n; i++)

{

if (s<Y[i]) s=Y[i];

Y[i]=0;

}

if (s<1)

{

do

{

s=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

Y[i]=X[i];

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

s=C[i];

for (int j=0; j<n; j++)

{

s+=X[j]*B[i] [j];

}

X[i]=s;

}

prov=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

if (fabs(X[i] – Y[i])<e) prov++;

}

k++;

}

while (prov!=n);

Memo1->Lines->Add (» МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ »);

Memo1->Lines->Add(«»);

String p=»»;

Memo1->Lines->Add («Промежуточная матрица:»);

for (int i=0; i<n; i++)

{

p=»»;

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

p+=FloatToStr (B[i] [j])+»»;

}

Memo1->Lines->Add(p);

}

Memo1->Lines->Add(«»);

Memo1->Lines->Add (« Корни СЛАУ равны :»);

for (int i=0; i<n; i++)

{

if (X[i]!=NULL)

{

Memo1->Lines->Add («x»+IntToStr (i+1)+» = «+FloatToStr (X[i]));

}

else

{

Memo1->Lines->Add (« Нет корней !»);

break;

}

}

Memo1->Lines->Add(«»);

Memo1->Lines->Add (« Количество итераций = «+FloatToStr(k));

}

else {Memo1->Lines->Add («СЛАУ является не сходимой!»);}

}

}

// –

void __fastcall TForm1: RadioButton3Click (TObject *Sender)

{

ButtonYakobi->Visible=false;

ButtonZeydel->Visible=false;

ButtonRelax->Visible=true;

}

// –

void __fastcall TForm1: ButtonRelaxClick (TObject *Sender)

{

//TryStrToFloat (Edit2->Text, e);

v_sh=StrToFloat (Edit3->Text);

e=StrToFloat (Edit2->Text);

Memo1->Lines->Clear();

k=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

TryStrToFloat (StringGrid1->Cells[j] [i], A[i] [j]);

}

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

if (A[i] [j]==NULL)

{

ShowMessage (« Ошибка ! Есть пустые ячейки!»);

fl1=true;

i=n;

break;

}

}

}

if(! fl1) {

float vsp=0, alp=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n; j++)

{

if (i!=j) B[i] [j]=(-1)*A[i] [j]/A[i] [i];

else

{

B[i] [j]=0;

C[i]=A[i] [n]/A[i] [i];

}

}

}

float *sq_z=new float[n];

float *sq_y=new float[n];

for (int i=0; i<n; i++)

{

sq_z[i]=rand();

}

for (int i=0; i<n; i++) sq_y[i]=C[i];

for (int i=0; i<n; i++) X[i]=0;

vsp=C[0];

for (int j=0; j<n; j++)

{

vsp+=sq_z[j]*B[0] [j];

}

sq_z[0]=vsp;

for (int i=0; i<n; i++)

{

for (int j=0; j<n; j++)

{

vsp+=B[i] [j];

}

Y[i]=vsp;

vsp=0;

}

vsp=Y[0];

for (int i=1; i<n; i++)

{

if (vsp<Y[i]) vsp=Y[i];

Y[i]=0;

}

if (vsp<1)

{

do

{

for (int i=0; i<n; i++)

{

Y[i]=X[i];

}

for (int i=0; i<n; i++)

{

vsp=C[i];

for (int j=0; j<n; j++)

{

vsp+=sq_z[j]*B[i] [j];

alp+=B[i] [j]*sq_y[i];

}

sq_z[i]=vsp;

sq_y[i]=alp+C[i];

vsp=0;

alp=0;

X[i]=v_sh*sq_z[i]+(1-v_sh)*sq_y[i];

}

prov=0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

if (fabs(X[i] – Y[i])<e) prov++;

}

k++;

}

while (prov!=n);

Memo1->Lines->Add (» МЕТОД ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ »);

Memo1->Lines->Add(«»);

String p=»»;

Memo1->Lines->Add («Промежуточная матрица:»);

for (int i=0; i<n; i++)

{

p=»»;

for (int j=0; j<n+1; j++)

{

p+=FloatToStr (B[i] [j])+»»;

}

Memo1->Lines->Add(p);

}

Memo1->Lines->Add(«»);

Memo1->Lines->Add (« Корни СЛАУ равны :»);

for (int i=0; i<n; i++)

{

if (X[i]!=NULL)

{

Memo1->Lines->Add («x»+IntToStr (i+1)+» = «+FloatToStr (X[i]));

}

else

{

Memo1->Lines->Add (« Нет корней !»);

break;

}

}

Memo1->Lines->Add(«»);

Memo1->Lines->Add (« Количество итераций = «+FloatToStr(k));

}

else {Memo1->Lines->Add («СЛАУ является не сходимой!»);}

}

}

// –

Результаты расчета

МЕТОД ЯКОБИ МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ МЕТОД ВЕРХНЕЙ РЕЛАКСАЦИИ

Промежуточная матрица:

0 -0,100000001490 -0,100000001490 0

-0,200000002980 0 -0,100000001490 0

-0,200000002980 -0,200000002980 0 0

Корни СЛАУ равны:

x1 = 1

x2 = 1

x3 = 1,00000011920929

Количество итераций = 16

Промежуточная матрица:

0 -0,100000001490 -0,100000001490 0

-0,200000002980 0 -0,100000001490 0

-0,200000002980 -0,200000002980 0 0

Корни СЛАУ равны:

x1 = 1

x2 = 0,99999988079071

x3 = 0,999999940395355

Количество итераций = 9

Промежуточная матрица:

0 -0,100000001490 -0,100000001490 0

-0,200000002980 0 -0,100000001490 0

-0,200000002980 -0,200000002980 0 0

Корни СЛАУ равны:

x1 = 1,00000011920929

x2 = 0,99999988079071

x3 = 0,999999940395355

w =1

Количество итераций = 9

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:56:09 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:36:36 25 ноября 2015

Работы, похожие на Курсовая работа: Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(149904)
Комментарии (1829)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru