Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

Название: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Раздел: Рефераты по математике
Тип: статья Добавлен 05:52:05 12 июля 2005 Похожие работы
Просмотров: 18 Комментариев: 3 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U ' и U '' и умножения равенства a ^ n + b ^ n c ^ n = 0 на 11^ n (т.е. на 11 в степени n , а чисел a , b , c на 11 ) ( k +3) -я цифра в числе a ^ n + b ^ n c ^ n (где k – число нулей на конце числа a + b c ) не равна 0 (числа U ' и U '' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11 . Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.

Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).

В.С.

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

ВИКТОР СОРОКИН

ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]

Используемые обозначения:

Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10 .

[Все случаи с составным n, кроме n = 2 k (который сводится к случаю n = 4 ), сводятся к случаю

простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]

ak k -я цифра от конца в числе a (a 1 – последняя цифра).

[Пример для a = 1043: 1043 = 1 x53 + 0 x52 + 4 x51 + 3 x50 ; a1 = 3 , a2 = 4 , a3 = 0 , a4 = 1 .]

a( k ) – окончание (число) из k цифр числа a (a (1) = a 1 ; 1043(3) = 043 ). Везде в тексте a 1 0 .

[Если все три числа a , b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn .]

(ai n )1 = ai и(ai n - 1 )1 = 1 (см. Малую теорему Ферма для ai 0 ). (0.1°)

( n + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = …101 (см. Бином Ньютона для простого n ).

Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s 1 [a 1 0 ]:

если цифра as увеличивается/уменьшается на 0 < d < n ,

то цифра an s +1 увеличивается/уменьшается на d (или d + n , или d n ). (0.2°)

[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]

***

(1°) Допустим, что an + bn cn = 0 .

Случай 1 : ( bc )1 ? 0.

(2°) Пусть u = a + b c , где u ( k ) = 0, uk +1 ? 0 ,k > 0 [известно, что в 1° u > 0 иk > 0 ].

(3°) Умножим равенство 1° на число d 1 n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить

цифру uk +1 в 5 . После этой операции обозначения чисел не меняются

и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).

Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b c , u ( k ) = 0 ,uk +1 = 5 .

(1*°) И пусть a * n + b * n c * n = 0 , где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11 n .

(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u ,u ' = a ( k ) + b ( k ) c ( k ) ,

u'' = u – u' = (a – a(k) ) + (b – b(k) ) – (c – c(k) ) , v = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1 , u*' = a*(k) + b*(k) – c*(k) ,

u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k) ) + (b* – b*(k) ) – (c* – c*(k) ) , 11u' , 11u'' ,v* = (a*k+2 + b*k+2 – c*k+2 )1 ,

и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:

(3a°) uk+1 = (u'k+1 + u''k+1 )1 =5 ;

(5°) u'k+1 = (–1 , 0 или1 ) – таккак – nk < a'(k) < nk , – nk < b'(k) < nk , – nk < c'(k) < nk

и числа a , b , c имеют различные знаки;

(6°) u '' k +1 = (4 , 5 или6 )(см. 3a° и 5°) [важно :1 < u '' k +1 < n – 1 ];

(7°) u ' k +2 = 0 [всегда!] – так как \ u '\ < 2 nk ;

(8°) u '' k +2 = uk +2 [всегда!];

(9°) u '' k +2 = [ v + ( ak +1 + bk +1 ck +1 )2 ]1 , где ( ak +1 + bk +1 ck +1 )2 = (–1 , 0 или1 );

(10°) v = [ uk +2 – ( a ( k +1) + b ( k +1) c ( k +1) ) k +2 ]1 [где ( a ( k +1) + b ( k +1) c ( k +1) ) k +2 = (–1 , 0 или1 )] =

= [ uk +2 (–1 , 0 или1 )]1 ;

(11°) u * k +1 = uk +1 = 5 – т.к. u * k +1 иuk +1 – последние значащие цифры в числах u * и u ;

(12°) u *' k +1 = u ' k +1 – т.к. u *' k +1 иu ' k +1 – последние значащие цифры в числах u *' и u ' ;

(13°) u*''k+1 = (u*k+1 – u*'k+1 )1 = (3 – u*'k+1 )1 = (4 , 5 или6 )[важно : 1 < u*''k+1 < n – 1 ];

(14°) (11 u ') k +2 = ( u ' k +2 + u ' k +1 )1 (затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –

величина u ' k +1 «уходит» в u *'' k +2 , поскольку u *' k +2 = 0 );

(14a°) важно: числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k +2 -ми цифрами, а именно:

u *' k +2 = 0 , но (11 u ') k +2 0 в общем случае;

(15°) (11 u '') k +2 = ( u '' k +2 + u '' k +1 )1 ;

(16°) u*k+2 = (uk+2 + uk+1 )1 = (u''k+2 + uk+1 )1 = (u''k+2 + 5)1 ;

(16а°) к сведению: u *' k +2 = 0 (см. 7°);

(17°) u*''k+2 = (u*k+2 +1 , u*k+2 илиu*k+2 1 )1 = (см. 9°) = (u''k+2 + 4 ,u''k+2 + 5 или u''k+2 + 6)1 ;

(18°) v* = [u*k+2 – (a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1) )k+2 ]1

[гдеu*k+2 = (uk+2 + uk+1 )1 (см. 16°), а(a*(k+1) + b*(k+1) – c*(k+1) )k+2 = (–1 , 0 или1 ) см. 10°] =

= [(uk+2 + uk+1 )1 (–1 , 0 или1 )]1 .

(19°) ВведемчислаU' = (ak+1 )n + (bk+1 )n – (ck+1 )n , U'' = (an + bn – cn ) – U' , U = U' + U'' ,

U*' = (a*k+1 )n + (b*k+1 )n – (c*k+1 )n , U*'' = (a*n + b*n – c*n ) – U*' , U* = U*' + U*'' ;

(19а°) к сведению: U '(k+1) = U *'(k+1) = 0 .

(20°) Лемма: U(k+2) = U'(k+2) = U''(k+2) = U*(k+2) = U*'(k+2) = U*''(k+2) = 0 [всегда!].

Действительно, из 1° мы имеем:

U = an + bn – cn =

= (a(k+1) + nk+1 ak+2 + nk+2 Pa )n + (b(k+1) + nk+1 bk+2 + nk+2 Pb )n – (c(k+1) + nk+1 ck+2 + nk+2 Pc )n =

= (a(k+1) n + b(k+1) n – c(k+1) n ) + nk+2 (ak+2 a(k+1) n - 1 + bk+2b(k+1) n - 1 – ck+2c(k+1) n - 1 ) + nk+3 P =

= U' + U'' = 0 , где

U' = a(k+1) n + b(k+1) n – c(k+1) n ,

(20a°)U'' = nk+2 (ak+2 a(k+1) n -1 + bk+2b(k+1) n -1 – ck+2c(k+1) n -1 ) + nk+3 P ,

где(ak+2 a(k+1) n -1 + bk+2 b(k+1) n -1 – ck+2 c(k+1) n -1 )1 = (см. 0.1°)=

(20b°) = (ak+2 + bk+2 – ck+2 )1 = U''k+3 = v (см. 4°).

(21°) Следствие: (U'k+3 + U''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 )1 = 0 .

(22°) Вычислимцифру(11n U')k+3 :

[так как числа (11 u ')( k +2) и u *'( k +2) отличаются только k+2-ми цифрами на величину

(11 u ') k +2 ) , то на эту величину будут отличаться и цифры (11 n U ') k +3 и U *' k +3 , это означает,

что цифра (11 n U ') k +3 будет на (11 u ') k +2 превышать цифру U *' k +3 (см. 0.2°)]

(11n U')k+3 = U'k+3 = (U*'k+3 + (11u')k+2 )1 = (U*'k+3 + u'k+1 )1 .

(23°) ОткудаU*'k+3 = U' k+3 – u'k+1 .

(24°) Вычислим цифру U *'' k +3 :

U*'' k+3 = v* = (uk+2 + uk+1 )1 (–1 , 0 или1 ) – см. (18°);

(25°) Наконец, вычислим цифру ( U *' k +3 + U *'' k +3 )1 :

(U*'k+3 + U*''k+3 )1 = (U*'k+3 + U*''k+3 – U'k+3 – U''k+3 )1 = (U*'k+3 – U'k+3 + U*''k+3 – U''k+3 )1 =

(см. 23° и 24°) = (– u ' k +1 + v* v) = (см. 18° и 10°) =

= (– u'k+1 + [uk+2 + uk+1 (–1 , 0 или1 )] [uk+2 (–1 , 0 или1 )])1 =

= (– u ' k +1 +uk +1 + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2 ))1 = (см. 3a°) =

( u '' k +1 + (–2 , –1 , 0 , 1 , или2))1 = (см. 6°) = (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 или 8 ) 0 ,

что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство .

Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще]: b (или c ) = nt b ' , где b 1 = 0 и bt +1 = b '1 0 .

(26°) Введем число u = c a > 0 , где u ( nt – 1) = 0unt ? 0 (см. §1 в Приложении).

(27°) После умножения равенства 1° на число d 1 n (с целью превратить цифру unt в 5 )

(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.

(28°) Пусть: u ' = a ( nt – 1) c ( nt – 1) , u '' = ( a a ( nt – 1) ) – ( c c ( nt – 1) ) (где, очевидно, u '' nt = ( a nt c nt )1 );

U ' = a ( nt ) n + bn c ( nt ) n (гдеU '( nt + 1) = 0 см. 1° и 26°),U '' = ( an a ( nt ) n ) – ( cn c ( nt ) n ) ,

U *' = a *( nt ) n + b * n c *( nt ) n (гдеU *'( nt + 1) = 0 ),U *'' = ( a * n a *( nt ) n ) – ( c * n c *( nt ) n ) ,

v = ant+1 – cnt+1 .

Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bn nt +1 и bn nt +2 при умножении равенства 1° на 11n не меняются (т.к. 11n (3) = 101).

Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.

==================

ПРИЛОЖЕНИЕ

§1. Если числа a , b , c не имеют общих сомножителей и b 1 = ( c a )1 = 0 ,

тогда из числа R = ( cn an )/( c a ) =

= cn –1 + cn –2 a + cn –3 a2 + … c2 an - 3 + can - 2 + an - 1 =

= (cn –1 + an –1 ) + ca(cn –3 + an –3 ) + … + c(n –1)/2 a(n –1)/2 =

= (cn –1 – 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 + an –1 + 2c(n –1)/2 a(n –1)/2 ) + ca(cn –3 – 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 + an –3 + 2c(n –3)/2 a(n –3)/2 ) +

+ … + c ( n –1)/2 a ( n –1)/2 = ( c a )2 P + nc ( n –1)/2 a ( n –1)/2 следует, что:

c a делится на n 2 , следовательно R делится на n и не делится на n 2 ;

так как R > n , то число R имеет простой сомножитель r не равный n ;

c a не делится на r ;

если b = nt b ' , где b '1 0 , то число c – a делится на ntn – 1 и не делится ntn .

§2. Лемма . Все n цифр ( a 1 di )1 , где di = 0, 1, … n – 1 , различны.

Действительно, допустив, что ( a 1 d 1 *)1 = ( a 1 d 1 **)1 , мы находим: (( d 1 * – d 1 **) a 1 )1 = 0 .

Откуда d 1 * = d 1 ** . Следовательно, множества цифр a 1 (здесь вместе с a 1 = 0 ) и d 1 совпадают.

[Пример для a 1 = 2 : 0: 2 x0 = 0 ; 1: 2 x3 = 11 ; 2: 2 x1 = 2 ; 3: 2 x4 = 13 ; 4: 2 x2 = 4 .

При составном nЛемма несправедлива: в базе 10 и (2х2)1 = 4 , и (2х7)1 = 4 .]

§2a. Следствие . Для любой цифры a 1 0 cуществует такая цифра di , что ( a 1 di )1 = 1 .

[Пример для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x1 = 1 ; 2x3 = 11 ; 3x2 = 11 ; 4x4 = 31 .]

ВИКТОР СОРОКИН

e - mail : victor.sorokine@wanadoo.fr

4 ноября 2004, Франция

P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5 , 7 аналогично, но в (3°) цифра uk +1 превращается не в 5 , а в 1 , и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11 n , а на некоторое hn , где h – некоторое однозначное число.

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений06:55:29 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
12:14:13 29 ноября 2015
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
15:36:13 25 ноября 2015

Работы, похожие на Статья: Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150008)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru