Банк рефератов содержит более 364 тысяч рефератов, курсовых и дипломных работ, шпаргалок и докладов по различным дисциплинам: истории, психологии, экономике, менеджменту, философии, праву, экологии. А также изложения, сочинения по литературе, отчеты по практике, топики по английскому.
Полнотекстовый поиск
Всего работ:
364150
Теги названий
Разделы
Авиация и космонавтика (304)
Административное право (123)
Арбитражный процесс (23)
Архитектура (113)
Астрология (4)
Астрономия (4814)
Банковское дело (5227)
Безопасность жизнедеятельности (2616)
Биографии (3423)
Биология (4214)
Биология и химия (1518)
Биржевое дело (68)
Ботаника и сельское хоз-во (2836)
Бухгалтерский учет и аудит (8269)
Валютные отношения (50)
Ветеринария (50)
Военная кафедра (762)
ГДЗ (2)
География (5275)
Геодезия (30)
Геология (1222)
Геополитика (43)
Государство и право (20403)
Гражданское право и процесс (465)
Делопроизводство (19)
Деньги и кредит (108)
ЕГЭ (173)
Естествознание (96)
Журналистика (899)
ЗНО (54)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (476)
Инвестиции (106)
Иностранный язык (62792)
Информатика (3562)
Информатика, программирование (6444)
Исторические личности (2165)
История (21320)
История техники (766)
Кибернетика (64)
Коммуникации и связь (3145)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (588)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (106)
Криминология (48)
Криптология (3)
Кулинария (1167)
Культура и искусство (8485)
Культурология (537)
Литература : зарубежная (2044)
Литература и русский язык (11657)
Логика (532)
Логистика (21)
Маркетинг (7985)
Математика (3721)
Медицина, здоровье (10549)
Медицинские науки (88)
Международное публичное право (58)
Международное частное право (36)
Международные отношения (2257)
Менеджмент (12491)
Металлургия (91)
Москвоведение (797)
Музыка (1338)
Муниципальное право (24)
Налоги, налогообложение (214)
Наука и техника (1141)
Начертательная геометрия (3)
Оккультизм и уфология (8)
Остальные рефераты (21697)
Педагогика (7850)
Политология (3801)
Право (682)
Право, юриспруденция (2881)
Предпринимательство (475)
Прикладные науки (1)
Промышленность, производство (7100)
Психология (8694)
психология, педагогика (4121)
Радиоэлектроника (443)
Реклама (952)
Религия и мифология (2967)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4876)
Статистика (95)
Страхование (107)
Строительные науки (7)
Строительство (2004)
Схемотехника (15)
Таможенная система (663)
Теория государства и права (240)
Теория организации (39)
Теплотехника (25)
Технология (624)
Товароведение (16)
Транспорт (2652)
Трудовое право (136)
Туризм (90)
Уголовное право и процесс (406)
Управление (95)
Управленческие науки (24)
Физика (3463)
Физкультура и спорт (4482)
Философия (7216)
Финансовые науки (4592)
Финансы (5386)
Фотография (3)
Химия (2244)
Хозяйственное право (23)
Цифровые устройства (29)
Экологическое право (35)
Экология (4517)
Экономика (20645)
Экономико-математическое моделирование (666)
Экономическая география (119)
Экономическая теория (2573)
Этика (889)
Юриспруденция (288)
Языковедение (148)
Языкознание, филология (1140)

Контрольная работа: Дифференциальные уравнения

Название: Дифференциальные уравнения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: контрольная работа Добавлен 01:42:30 08 мая 2010 Похожие работы
Просмотров: 320 Комментариев: 2 Оценило: 0 человек Средний балл: 0 Оценка: неизвестно     Скачать

Задача №1

Даны вершины треугольника АВС.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

А(-7;5), В(5;-4), С(3;10).

Решение

1. Расстояние d между точками M1 (x11 ) и М222 ) определяется по формуле:

Подставив в эту формулу координаты точек А и В имеем:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М111 ) и М222 ), имеет вид:

Подставив в формулу (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Для нахождения углового коэффициента kab прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда

kab = - 3/4.

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

Для нахождения углового коэффициента k прямой АС разрешим полученное уравнение относительно у:

Отсюда

k = 1/2.

3. Угол α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2 , определяется по формуле:

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k1 = kab = -3/4, k2 = kac = 1/2.

< А = arctg 2 = 1,11 рад.

4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М111 ) в заданном угловом коэффициенте k имеет вид:

у – у1 = k(х – х1 ).(4)

Подставив в формулу (4) координаты точки С и kcd = 4/3, получим уравнение высоты CD:


у – 10 = 4/3(х – 3) , у – 10 = 4/3х – 4 , 4х – 3у + 18 = 0. (CD)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (СD):

Подставив в формулу (1) координаты точек C и D, находим:

СD= √(-3 -3)2 + (2 -10)2 = √36 + 64 = 10 .

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:

(х – а)2 + (у – b)2 = R2 (5)

Так как СD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно E(0;6) и R = CD/2 = 5. Используя формулу (5), получим уравнение искомой окружности:

(х – 0)2 + (у – 6)2 = 25, х2 + (у – 6)2 = 25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая прямая ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В. Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

3* 3+ 4*10 +1 = 50 > 0.

поэтому искомое неравенство имеет вид:

3х + 4у +1 ≥ 0.

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:

7* (- 7) + 5 – 31 = - 75 < 0.

Искомое неравенство будет

7х + у – 31 ≤ 0.

Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:

5 – 2(- 4) + 17 = 30 > 0.


Третье искомое неравенство

х – 2у + 17 ≥ 0.

Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

Задача №2

Даны векторы a1 , a2 , a3 , b . Показать, что векторы a1 , a2 , a3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

a1 (5;3;1) , а2 (-2;-1;2) , а3 (-2;1;4) , b(3;0;1)

Решение

1. Система векторов в пространстве Rn линейно независима тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель, строками (столбцами) которого являются координаты векторов системы:

Подставив в формулу (1) координаты векторов a1 , a2 , a3 найдем определитель:


Так как определитель не равен нулю, то данные три вектора являются линейно независимыми. Соответственно они образуют базис трехмерного пространства.

2. Вычислим координаты вектора b в новом базисе. А – матрица перехода.

b = А * bnew

Нам необходимо определить координаты bnew .

bnew = A-1 * b(2)

Для нахождения обратной матрицы применяется формула

Необходимо найти все элементы для составления обратной матрицы:

Подставляем полученные элементы в формулу (3) и найдем А-1 :


Подставив значения А-1 и вектора b в формулу (2), найдем координаты вектора b в новом базисе:

Задача №3

Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение

Обозначим через матрицу А – матрицу коэффициенты при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных Х, У, Z; H – матрицу-столбец свободных членов:

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А*Х = Н(1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель Δ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1 . Умножив обе части уравнения (1) на А-1 , получим:

А-1 * А * Х = А-1 * Н

Но А-1 * А = Е (Е- единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х = А-1 * Н(2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1 .

Пусть имеем невырожденную матрицу

где Аij (i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (- 1)ij на минор (определитель) второго- порядка, полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

Следовательно матрица А имеет обратную матрицу А-1 .

Тогда

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда

х = - 1; у = 1; z = 0.

Задача №4

Вычислить пределы.


Решение

а) Подстановка предельного значения аргумента х = 3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на множитель (х – 3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х – 3) отличен от нуля при х →3:

б) При х→∞ выражение дает неопределенность вида . Для устранения этой неопределенности применим правило Лопиталя. Для разыскания предела отношения двух функций, бесконечно больших при х→∞, можно рассматривать отношение их производных .Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение .


в) Обозначим arctg 3х = у. Тогда 3х = tg у и у→0 при х→0. Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела lim sin α/ α = 1, имеем:

г)При х→∞ выражение является неопределенностью вида 1 . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х→∞ величины и применим формулу второго замечательного предела:

Тогда имеем:

Пусть 3х – 1 = - у . Тогда 6х + 4 = - 2у + 6 и у→ -∞ при х→∞. Переходя к переменной у, получим:

Задача №5

Найти производные функций:

Решение

а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у′ нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у′ .

2 у′ + еху (у + ху′) = 0, 3у2 у′ + уеху + хеху у′ = 0,

Из последующего уравнения находим у′:

у′ (3у2 + хеху ) + уеху = 0,


Задача №6

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на непрерывность;

3) определить, является ли данная функция четной, нечетной;

4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти асимптоты графика функции.

Решение

1. Функция определена при всех значениях аргумента х.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервале (- ∞; ∞).

3. Для установления четности и нечетности функции проверим выполнимость равенств f(- х) = f( х) (тогда f( х) – четная функция) или f(-x) = - f(х) (для нечетной функции) для любых х и – х из области определения функции:

Следовательно, f(-х) ≠ f(x) и f(-х) ≠ -f(х), то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у′ = 0 при х1 = - 3, х2 = 3. Тем самым имеем две критические точки, обе принадлежать области определения функции.

Разобьем числовую ось на три интервала: (- ∞; - 3), (- 3; 3), (3; ∞).

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х = -3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум:

уmin = у(-3) = 0

Значит, А(-3;0) – точка минимума.

При переходе через точку х = 3 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум:

уmax = у(3) = 2

Значит, В(3;2) – точка максимума.

На рис. 1 знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у′, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у′′ = 0 при х1 = 0, х2 = - 3√3 , х3 = 3√3.

Разобьем числовую ось на четыре интервалы: (-∞;-3√3), (-3√3 ;0), (0;3√3), (3√3 ; ∞).

рис.2

На первом, втором и четвертом интервалах вторая производная у′′ положительна и дуга исследуемой кривой вогнута; на третьем интервале у′′ отрицательна – дуга выпукла.

При переходе через точки х = 0 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 0 – абсцисса точки перегиба.

Следовательно С(0;1) – точка перегиба графика функции.

При переходе через точку х = 3√3 у′′ меняет свой знак, поэтому х= 3√3 - абсцисса точки перегиба.

Следовательно – точка перегиба графика функции.

6. Так как точек разрыва у данной функции нет, соответственно вертикальной асимптоты она не имеет. Для определения уравнения наклонной асимптоты у=kx + b воспользуемся формулами:

Тогда

При вычислении пределов использовалось правило Лопиталя.

у=kx + b, у= 0*х + 1 = 1

Значит прямая у=1 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

рис. 3


Задача №7

Найти неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

Решение

а) Применяя свойства неопределенного интеграла и формулы табличных интегралов имеем:

Задача №8

Вычислить объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями ху=4; х=1; х=4; у=0. Сделать чертеж.

Решение

Объем тела, образованного вращением оси ОХ фигуры, ограниченной линиями определяется по формуле:

Подставим в формулу (1) у = 4/х, х1 = 1, х2 = 4, получим:

Ответ: объем тела вращения равен 12π

Оценить/Добавить комментарий
Имя
Оценка
Комментарии:
Где скачать еще рефератов? Здесь: letsdoit777.blogspot.com
Евгений07:17:59 19 марта 2016
Кто еще хочет зарабатывать от 9000 рублей в день "Чистых Денег"? Узнайте как: business1777.blogspot.com ! Cпециально для студентов!
14:23:18 25 ноября 2015

Работы, похожие на Контрольная работа: Дифференциальные уравнения

Назад
Меню
Главная
Рефераты
Благодарности
Опрос
Станете ли вы заказывать работу за деньги, если не найдете ее в Интернете?

Да, в любом случае.
Да, но только в случае крайней необходимости.
Возможно, в зависимости от цены.
Нет, напишу его сам.
Нет, забью.



Результаты(150348)
Комментарии (1830)
Copyright © 2005-2016 BestReferat.ru bestreferat@mail.ru       реклама на сайте

Рейтинг@Mail.ru